Apéndice E Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Valor absoluto y argumento de un número complejo
- B-2. Fórmula de Euler \(e^{i\pi}+1=0\)
- B-3. Producto en forma polar
- B-4. Cauchy-Riemann: verificación con \(z^2\)
- B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) no las satisface
- B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)
- B-7. Residuo de \(1/(z-1)\)
- B-8. Desarrollo de Laurent de \(1/z^2\) y residuo
- B-9. Desarrollo de Laurent de \(e^{1/z}\)
Intermedio
Avanzado
Básico¶
B-1. Valor absoluto y argumento de un número complejo¶
Determina el valor absoluto \(|z|\) y el argumento \(\arg(z)\) de \(z = 1 + i\). Escríbelo en forma polar \(z = re^{i\theta}\).
B-2. Fórmula de Euler \(e^{i\pi}+1=0\)¶
Utilizando la fórmula de Euler, verifica que \(e^{i\pi} + 1 = 0\). Enumera las cinco constantes matemáticas contenidas en esta expresión (\(e, i, \pi, 1, 0\)).
B-3. Producto en forma polar¶
Dados los números complejos \(z_1 = 2e^{i\pi/3}\) y \(z_2 = 3e^{i\pi/6}\), encuentra el producto \(z_1 z_2\) en forma polar y luego conviértelo a forma rectangular \(a + bi\).
B-4. Cauchy-Riemann: verificación con \(z^2\)¶
Verifica que \(f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = (x^2-y^2) + 2ixy\) satisface las relaciones de Cauchy-Riemann.
B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) no las satisface¶
Verifica que \(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2\) no satisface las relaciones de Cauchy-Riemann.
B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)¶
Usando la definición de la derivada de Wirtinger
demuestra que para \(f(z) = z^2\) (donde \(z = x + iy\)) se cumple \(\partial_z(z^2) = 2z\).
B-7. Residuo de \(1/(z-1)\)¶
Calcula el residuo de \(f(z) = 1/(z-1)\) en \(z = 1\).
B-8. Desarrollo de Laurent de \(1/z^2\) y residuo¶
Escribe el desarrollo de Laurent de \(f(z) = 1/z^2\) en \(z = 0\) y confirma que el residuo es \(0\).
B-9. Desarrollo de Laurent de \(e^{1/z}\)¶
Escribe el desarrollo de Laurent de \(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! z^n}\) en \(z = 0\) y confirma que el residuo (el coeficiente de \(z^{-1}\)) es \(1\). ¿Qué tipo de singularidad es \(z = 0\)?
Intermedio¶
M-1. Residuos de \(z/[(z-1)(z-2)]\)¶
Determina los residuos de \(f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)}\) en \(z = 1\) y \(z = 2\), respectivamente, y calcula \(\oint_{|z|=3} f(z) dz\).
M-2. Composición de transformaciones de Möbius¶
Dadas dos transformaciones de Möbius \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\) y \(w_2(w) = 2w + 3\), encuentra la transformación compuesta \(w_2(w_1(z))\) y verifica que el producto matricial correspondiente coincide.
Avanzado¶
A-1. Transformación conforme \(w = 1/z\)¶
Determina a dónde la transformación conforme \(w = 1/z\) envía el círculo unitario \(|z| = 1\) del plano \(z\) en el plano \(w\). Además, determina a dónde envía el eje real del plano \(z\) en el plano \(w\).
A-2. Términos cruzados de \(\partial X\) y \(\bar\partial X\)¶
En el texto E.8「Función de Green del campo libre en 2D」 se derivó la función de 2 puntos \(\langle X(z,\bar z)\, X(w,\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\). A partir de este resultado, demuestra lo siguiente:
(a) Que \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) es 0 para \(z \neq w\). (b) Que \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\) (OPE del lado antiholomorfo).
Pista: Descompón \(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\) y utiliza el hecho de que \(\partial_z\) solo actúa sobre la parte holomorfa y \(\partial_{\bar z}\) solo sobre la parte antiholomorfa.
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