Apéndice E Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Valor absoluto y argumento de números complejos
- B-2. Fórmula de Euler \(e^{i\pi}+1=0\)
- B-3. Producto en forma polar
- B-4. Cauchy-Riemann: verificación con \(z^2\)
- B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) no las satisface
- B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)
- B-7. Residuo de \(1/(z-1)\)
- B-8. Desarrollo de Laurent y residuo de \(1/z^2\)
- B-9. Desarrollo de Laurent de \(e^{1/z}\)
Intermedio
- M-1. Teorema de los residuos: dos polos
- M-2. Residuos de \(z/[(z-1)(z-2)]\)
- M-3. Composición de transformaciones de Möbius
Avanzado
Básico¶
B-1. Valor absoluto y argumento de números complejos¶
B-2. Fórmula de Euler \(e^{i\pi}+1=0\)¶
B-3. Producto en forma polar¶
Funciones holomorfas (E.3-E.4)¶
B-4. Cauchy-Riemann: verificación con \(z^2\)¶
B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) no las satisface¶
B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)¶
Desarrollo de Laurent y residuos (E.5-E.6)¶
B-7. Residuo de \(1/(z-1)\)¶
B-8. Desarrollo de Laurent y residuo de \(1/z^2\)¶
B-9. Desarrollo de Laurent de \(e^{1/z}\)¶
Intermedio¶
M-1. Teorema de los residuos: dos polos¶
M-2. Residuos de \(z/[(z-1)(z-2)]\)¶
M-3. Composición de transformaciones de Möbius¶
Dadas dos transformaciones de Möbius \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\) y \(w_2(w) = 2w + 3\), encuentra la transformación compuesta \(w_2(w_1(z))\) y verifica que el producto matricial correspondiente coincide.
Avanzado¶
A-1. Transformación conforme \(w = 1/z\)¶
A-2. Términos cruzados de \(\partial X\) y \(\bar\partial X\)¶
En el texto E.8「Función de Green del campo libre en 2D」 se derivó la función de 2 puntos \(\langle X(z,\bar z)\, X(w,\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\). A partir de este resultado, demuestra lo siguiente:
(a) Que \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) es 0 para \(z \neq w\). (b) Que \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\) (OPE del lado antiholomorfo).
Pista: Descompón \(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\) y utiliza el hecho de que \(\partial_z\) solo actúa sobre la parte holomorfa y \(\partial_{\bar z}\) solo sobre la parte antiholomorfa.
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