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Cap. 5 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo básico del álgebra de Clifford

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Estrategia de resolución

Sustituimos índices concretos en el álgebra de Clifford \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\).

(a) \(\gamma^0 \gamma^0\)

Sustituyendo \(\mu = \nu = 0\):

\[ \{\gamma^0, \gamma^0\} = 2\gamma^0\gamma^0 = 2\eta^{00}\mathbf{1} = 2 \cdot (+1) \cdot \mathbf{1} \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\gamma^0\gamma^0 = \mathbf{1}} \]

(b) \(\gamma^2 \gamma^2\)

Sustituyendo \(\mu = \nu = 2\):

\[ \{\gamma^2, \gamma^2\} = 2\gamma^2\gamma^2 = 2\eta^{22}\mathbf{1} = 2 \cdot (-1) \cdot \mathbf{1} \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\gamma^2\gamma^2 = -\mathbf{1}} \]

(c) \(\gamma^1 \gamma^3 + \gamma^3 \gamma^1\)

Sustituyendo \(\mu = 1, \nu = 3\):

\[ \{\gamma^1, \gamma^3\} = \gamma^1\gamma^3 + \gamma^3\gamma^1 = 2\eta^{13}\mathbf{1} = 2 \cdot 0 \cdot \mathbf{1} \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\gamma^1\gamma^3 + \gamma^3\gamma^1 = 0} \]

(d) \(\gamma^0 \gamma^2 \gamma^0\)

Del resultado de (c), cuando \(\mu \neq \nu\) se tiene \(\gamma^\mu\gamma^\nu = -\gamma^\nu\gamma^\mu\). Como \(\mu = 0, \nu = 2\) son distintos:

\[ \gamma^0\gamma^2 = -\gamma^2\gamma^0 \]

Sustituyendo esto:

\[ \gamma^0\gamma^2\gamma^0 = (-\gamma^2\gamma^0)\gamma^0 = -\gamma^2(\gamma^0\gamma^0) = -\gamma^2 \cdot \mathbf{1} \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\gamma^0\gamma^2\gamma^0 = -\gamma^2} \]

Verificación

El resultado de (d) es un caso particular de la relación general \(\gamma^0\gamma^i\gamma^0 = -\gamma^i\) (componentes espaciales \(i = 1,2,3\)). Esto se deduce inmediatamente de la anticonmutación \(\gamma^0\gamma^i = -\gamma^i\gamma^0\) y de \((\gamma^0)^2 = \mathbf{1}\), lo cual es consistente.

B-2. Cálculo de \(\gamma^\mu \gamma_\mu\)

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Estrategia de resolución

Usando la definición \(\gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\nu\), evaluamos \(\gamma^\mu\gamma_\mu\) mediante el álgebra de Clifford.

Desarrollo del cálculo

\[ \gamma^\mu\gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu \]

Aquí \(\eta_{\mu\nu}\) es simétrica en \(\mu, \nu\), y la parte antisimétrica de \(\gamma^\mu\gamma^\nu\) se anula al contraer con \(\eta_{\mu\nu}\). Por lo tanto:

\[ \eta_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu = \eta_{\mu\nu} \cdot \frac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu) = \eta_{\mu\nu} \cdot \frac{1}{2}\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} \]

Sustituyendo el álgebra de Clifford \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\):

\[ = \eta_{\mu\nu} \cdot \eta^{\mu\nu}\mathbf{1} = \delta^\mu{}_\mu \cdot \mathbf{1} = d \cdot \mathbf{1} \]

En \(d = 4\) dimensiones:

\[ \boxed{\gamma^\mu\gamma_\mu = 4\,\mathbf{1}} \]

Verificación

Confirmamos mediante cálculo directo:

\[ \gamma^\mu\gamma_\mu = \gamma^0\gamma_0 + \gamma^1\gamma_1 + \gamma^2\gamma_2 + \gamma^3\gamma_3 \]
\[ = \gamma^0\gamma^0 + \gamma^1(-\gamma^1) + \gamma^2(-\gamma^2) + \gamma^3(-\gamma^3) \]
\[ = \mathbf{1} - (-\mathbf{1}) - (-\mathbf{1}) - (-\mathbf{1}) = \mathbf{1} + \mathbf{1} + \mathbf{1} + \mathbf{1} = 4\,\mathbf{1} \quad \checkmark \]

B-3. Transformación del conjugado de Dirac

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(a) Demostración de \(\overline{(\gamma^\mu \psi)} = \bar{\psi}\gamma^\mu\)

Estrategia de resolución

Primero demostramos que \((\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0\), y luego lo utilizamos para el cálculo.

Detalles del cálculo

Lema: \((\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0\)

  • Caso \(\mu = 0\): \((\gamma^0)^\dagger = \gamma^0\) (hermítica). Por otro lado, \(\gamma^0\gamma^0\gamma^0 = (\gamma^0)^2\gamma^0 = \gamma^0\). Por lo tanto se cumple.
  • Caso \(\mu = i\) (componentes espaciales): \((\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i\) (antihermítica). Por otro lado, \(\gamma^0\gamma^i\gamma^0 = -\gamma^i(\gamma^0)^2 = -\gamma^i\) (usando la generalización de D1(d)). Por lo tanto se cumple.

Utilizando esto:

\[ \overline{(\gamma^\mu\psi)} = (\gamma^\mu\psi)^\dagger\gamma^0 = \psi^\dagger(\gamma^\mu)^\dagger\gamma^0 \]
\[ = \psi^\dagger(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0)\gamma^0 = \psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu(\gamma^0)^2 = \psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu \cdot \mathbf{1} \]
\[ = \bar{\psi}\gamma^\mu \]
\[ \boxed{\overline{(\gamma^\mu\psi)} = \bar{\psi}\gamma^\mu} \]

(b) Demostración de que \(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\) es real

Detalles del cálculo

\(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\) es una cantidad escalar \(1 \times 1\) (un número) obtenida al contraer las componentes espinoriales. Tomando su conjugado hermítico:

\[ (\bar{\psi}\gamma^\mu\psi)^\dagger = \psi^\dagger(\gamma^\mu)^\dagger(\bar{\psi})^\dagger \]

Como \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\), tenemos \((\bar{\psi})^\dagger = (\gamma^0)^\dagger\psi = \gamma^0\psi\). Por lo tanto:

\[ (\bar{\psi}\gamma^\mu\psi)^\dagger = \psi^\dagger(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0)\gamma^0\psi = \psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\psi = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi \]
\[ \boxed{(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi)^\dagger = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi} \]

Por lo tanto, \(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\) es hermítico (clásicamente, real).

Verificación

Para el caso \(\mu = 0\), \(\bar{\psi}\gamma^0\psi = \psi^\dagger(\gamma^0)^2\psi = \psi^\dagger\psi = \sum_\alpha |\psi_\alpha|^2 \geq 0\), que efectivamente es real. Esto es consistente con la definición positiva de la densidad de probabilidad.

B-4. Reorganización del álgebra de Lorentz

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Estrategia de resolución

Expandimos \([J^i_+, J^j_-]\) según su definición y sustituimos las ecuaciones (5.3a)–(5.3c).

Desarrollo del cálculo

\[ [J^i_+, J^j_-] = \left[\frac{1}{2}(J^i + iK^i),\, \frac{1}{2}(J^j - iK^j)\right] \]
\[ = \frac{1}{4}\left[(J^i + iK^i),\, (J^j - iK^j)\right] \]

Usando la linealidad del conmutador, expandimos en cuatro términos:

\[ = \frac{1}{4}\Bigl([J^i, J^j] + [J^i, -iK^j] + [iK^i, J^j] + [iK^i, -iK^j]\Bigr) \]
\[ = \frac{1}{4}\Bigl([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] + [K^i, K^j]\Bigr) \]

Sustituimos las ecuaciones (5.3a)–(5.3c) en cada término:

Primer término: \([J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k\) (ecuación (5.3a))

Segundo término: \(-i[J^i, K^j] = -i \cdot i\varepsilon^{ijk}K^k = -i^2\varepsilon^{ijk}K^k = +\varepsilon^{ijk}K^k\) (ecuación (5.3b))

Tercer término: \(i[K^i, J^j] = i \cdot (-[J^j, K^i]) = i \cdot (-i\varepsilon^{jik}K^k) = -i^2\varepsilon^{jik}K^k = +\varepsilon^{jik}K^k\)

Dado que \(\varepsilon^{jik} = -\varepsilon^{ijk}\):

\[ \text{Tercer término} = -\varepsilon^{ijk}K^k \]

Cuarto término: \([K^i, K^j] = -i\varepsilon^{ijk}J^k\) (ecuación (5.3c))

Sumamos todos los términos:

\[ [J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}\Bigl(i\varepsilon^{ijk}J^k + \varepsilon^{ijk}K^k - \varepsilon^{ijk}K^k - i\varepsilon^{ijk}J^k\Bigr) \]

Términos en \(J^k\): \(i\varepsilon^{ijk}J^k - i\varepsilon^{ijk}J^k = 0\)

Términos en \(K^k\): \(\varepsilon^{ijk}K^k - \varepsilon^{ijk}K^k = 0\)

Por lo tanto:

\[ \boxed{[J^i_+, J^j_-] = 0} \]

Verificación

Este resultado coincide con la ecuación (5.5c). Además, es consistente con la estructura de descomposición del álgebra de Lorentz, según la cual \(\mathbf{J}_+\) y \(\mathbf{J}_-\) forman álgebras \(\mathfrak{su}(2)\) independientes entre sí.

B-5. Generador de boosts en la representación espinorial

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Estrategia de resolución

Se realiza la expansión en serie de Taylor de \(e^{-\frac{\eta}{2}\sigma^1}\) y se separa en términos de orden par e impar utilizando \((\sigma^1)^2 = \mathbf{1}\).

Detalles del cálculo

Expansión de Taylor:

\[ S_L = e^{-\frac{\eta}{2}\sigma^1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(-\frac{\eta}{2}\right)^n (\sigma^1)^n \]

Dado que \((\sigma^1)^2 = \mathbf{1}\):

\[ (\sigma^1)^{2k} = \mathbf{1}, \qquad (\sigma^1)^{2k+1} = \sigma^1 \]

Separando en términos de orden par e impar:

\[ S_L = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k)!}\left(-\frac{\eta}{2}\right)^{2k}\mathbf{1} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!}\left(-\frac{\eta}{2}\right)^{2k+1}\sigma^1 \]

Términos de orden par: como \(\left(-\frac{\eta}{2}\right)^{2k} = \left(\frac{\eta}{2}\right)^{2k}\), se tiene

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k)!}\left(\frac{\eta}{2}\right)^{2k} = \cosh\frac{\eta}{2} \]

Términos de orden impar: como \(\left(-\frac{\eta}{2}\right)^{2k+1} = -\left(\frac{\eta}{2}\right)^{2k+1}\), se tiene

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!}\left(-\frac{\eta}{2}\right)^{2k+1} = -\sinh\frac{\eta}{2} \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{S_L = \cosh\frac{\eta}{2}\,\mathbf{1} - \sinh\frac{\eta}{2}\,\sigma^1} \]

Verificación

Para \(\eta = 0\) (sin boost), \(S_L = \cosh 0 \cdot \mathbf{1} - \sinh 0 \cdot \sigma^1 = \mathbf{1}\). Se obtiene la transformación identidad, lo cual es correcto.

Además, \(\det S_L = \cosh^2\frac{\eta}{2} - \sinh^2\frac{\eta}{2} = 1\), lo que confirma que es un elemento de \(SL(2, \mathbb{C})\).

B-6. Ecuación de Euler-Lagrange del campo de Dirac (variación respecto a \(\psi\))

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Estrategia de resolución

Se escribe \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\) en componentes y se aplica la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\bar{\psi}_\alpha\).

Desarrollo del cálculo

En notación de componentes:

\[ \mathcal{L} = i\bar{\psi}_\alpha (\gamma^\mu)_{\alpha\beta}\partial_\mu\psi_\beta - m\bar{\psi}_\alpha\psi_\alpha \]

Derivada parcial respecto a \(\bar{\psi}_\alpha\):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}_\alpha} = i(\gamma^\mu)_{\alpha\beta}\partial_\mu\psi_\beta - m\psi_\alpha = \bigl[i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi\bigr]_\alpha \]

A continuación, verificamos los términos que contienen \(\partial_\mu\bar{\psi}_\alpha\). Observando \(\mathcal{L}\) directamente sin integrar por partes, \(\partial_\mu\bar{\psi}\) no aparece explícitamente (la derivada actúa sobre \(\psi\)). Por lo tanto:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi}_\alpha)} = 0 \]

En consecuencia, la ecuación de Euler-Lagrange es:

\[ i(\gamma^\mu)_{\alpha\beta}\partial_\mu\psi_\beta - m\psi_\alpha = 0 \]

Esto es precisamente la ecuación de Dirac \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\).

A continuación, derivamos la ecuación conjugada a partir de la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\psi\). Integramos por partes \(\mathcal{L}\) para transferir la derivada a \(\bar{\psi}\):

\[ \mathcal{L} = i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi \]
\[ = -i(\partial_\mu\bar{\psi})\gamma^\mu\psi - m\bar{\psi}\psi + \partial_\mu(i\bar{\psi}\gamma^\mu\psi) \]

Descartando el término de divergencia total, la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\psi_\beta\) es:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi_\beta} = -m\bar{\psi}_\beta \]
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi_\beta)} = i\bar{\psi}_\alpha(\gamma^\mu)_{\alpha\beta} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi_\beta} - \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi_\beta)} = -m\bar{\psi}_\beta - \partial_\mu\bigl(i\bar{\psi}_\alpha(\gamma^\mu)_{\alpha\beta}\bigr) = 0 \]

Volviendo a la notación matricial:

\[ -i\partial_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu - m\bar{\psi} = 0 \]
\[ \boxed{i\partial_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu + m\bar{\psi} = 0} \]

Esta es la ecuación conjugada de la ecuación de Dirac.

Verificación

Comprobamos tomando directamente el conjugado de Dirac de la ecuación \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\). Tomando \(\dagger\) en ambos miembros y multiplicando por la derecha por \(\gamma^0\):

\[ \psi^\dagger(-i(\gamma^\mu)^\dagger\overleftarrow{\partial}_\mu - m)\gamma^0 = 0 \]
\[ -i\psi^\dagger(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0)\gamma^0\overleftarrow{\partial}_\mu - m\psi^\dagger\gamma^0 = 0 \]
\[ -i\psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\overleftarrow{\partial}_\mu - m\bar{\psi} = 0 \]
\[ -i(\partial_\mu\bar{\psi})\gamma^\mu - m\bar{\psi} = 0 \]

Esto coincide con el resultado obtenido anteriormente. \(\checkmark\)

B-7. Verificación del momento conjugado

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Estrategia de resolución

Identificamos en \(\mathcal{L}\) los términos que contienen \(\dot{\psi}_\alpha = \partial_0\psi_\alpha\) y calculamos \(\Pi_\alpha = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{\psi}_\alpha\).

Detalles del cálculo

\[ \mathcal{L} = i\psi^\dagger_\alpha(\gamma^0)_{\alpha\beta}(\gamma^\mu)_{\beta\gamma}\partial_\mu\psi_\gamma - m\psi^\dagger_\alpha(\gamma^0)_{\alpha\beta}\psi_\beta \]

Los términos que contienen \(\dot{\psi}_\gamma = \partial_0\psi_\gamma\) son únicamente los correspondientes a \(\mu = 0\):

\[ \mathcal{L}\big|_{\mu=0} = i\psi^\dagger_\alpha(\gamma^0)_{\alpha\beta}(\gamma^0)_{\beta\gamma}\partial_0\psi_\gamma = i\psi^\dagger_\alpha\bigl[(\gamma^0)^2\bigr]_{\alpha\gamma}\dot{\psi}_\gamma \]

Usando \((\gamma^0)^2 = \mathbf{1}\):

\[ \mathcal{L}\big|_{\mu=0} = i\psi^\dagger_\alpha\delta_{\alpha\gamma}\dot{\psi}_\gamma = i\psi^\dagger_\gamma\dot{\psi}_\gamma \]

Por lo tanto:

\[ \Pi_\alpha = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}_\alpha} = i\psi^\dagger_\alpha \]
\[ \boxed{\Pi_\alpha = i\psi^\dagger_\alpha} \]

Verificación

Esto coincide con la ecuación (5.8) del texto, \(\Pi = i\psi^\dagger\). A diferencia del caso del campo escalar donde \(\Pi = \dot{\phi}\), el momento conjugado es proporcional al campo mismo y no a su derivada temporal; esto refleja el hecho de que el lagrangiano de Dirac es de primer orden en derivadas temporales.

B-8. Derivación de la densidad hamiltoniana

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Estrategia de resolución

Se ejecuta la transformada de Legendre \(\mathcal{H} = \Pi\dot{\psi} - \mathcal{L}\), separando \(\mathcal{L}\) en \(\mu = 0\) y \(\mu = j\).

Detalles del cálculo

Primero separamos \(\mathcal{L}\) en componentes temporal y espaciales:

\[ \mathcal{L} = i\bar{\psi}\gamma^0\partial_0\psi + i\bar{\psi}\gamma^j\partial_j\psi - m\bar{\psi}\psi \]

Reorganizamos el primer término. Como \(\bar{\psi}\gamma^0 = \psi^\dagger(\gamma^0)^2 = \psi^\dagger\):

\[ i\bar{\psi}\gamma^0\partial_0\psi = i\psi^\dagger\dot{\psi} = \Pi\dot{\psi} \]

(usando \(\Pi = i\psi^\dagger\))

Transformada de Legendre:

\[ \mathcal{H} = \Pi\dot{\psi} - \mathcal{L} = \Pi\dot{\psi} - \Pi\dot{\psi} - i\bar{\psi}\gamma^j\partial_j\psi + m\bar{\psi}\psi \]
\[ = -i\bar{\psi}\gamma^j\partial_j\psi + m\bar{\psi}\psi \]

Sustituyendo \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\):

\[ \mathcal{H} = -i\psi^\dagger\gamma^0\gamma^j\partial_j\psi + m\psi^\dagger\gamma^0\psi \]

Escribiendo \(\gamma^0\gamma^j\partial_j = \gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\):

\[ \boxed{\mathcal{H} = \psi^\dagger(-i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m\gamma^0)\psi} \]

Esto coincide con la ecuación (5.9) del texto.

Verificación

De la ecuación de Dirac \(i\gamma^0\partial_0\psi + i\gamma^j\partial_j\psi - m\psi = 0\) se obtiene \(i\partial_0\psi = (-i\gamma^0\gamma^j\partial_j + m\gamma^0)\psi\), por lo que también se puede escribir \(\mathcal{H} = \psi^\dagger(i\partial_0)\psi\). Esto tiene la forma del valor esperado del hamiltoniano de Dirac \(H_D = -i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m\gamma^0 = \boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{p} + \beta m\) (\(\boldsymbol{\alpha} = \gamma^0\boldsymbol{\gamma}\), \(\beta = \gamma^0\)), lo cual es consistente con la teoría de Dirac en mecánica cuántica. \(\checkmark\)

B-9. Relaciones de anticonmutación para un campo escalar y violación de la causalidad

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Caso de relaciones de conmutación (causalidad preservada)

El propagador obtenido de las relaciones de conmutación para un campo escalar real es:

\[ [\phi(x), \phi(y)] = i\Delta(x-y) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2\omega_p}\left(e^{-ip\cdot(x-y)} - e^{+ip\cdot(x-y)}\right) \]

El integrando consiste en la diferencia de dos términos. El primer término corresponde a la amplitud de una partícula propagándose de \(y\) a \(x\), y el segundo a la amplitud de una antipartícula (la misma partícula para un campo escalar real) propagándose de \(x\) a \(y\).

Para dos puntos separados por un intervalo espacial \((x-y)^2 < 0\), una transformación de Lorentz continua puede mapear \((x-y) \to -(x-y)\). \(\Delta(x-y)\) es una función impar de \((x-y)\):

\[ \Delta(-(x-y)) = -\Delta(x-y) \]

Por otro lado, en la región espacial el invariante de Lorentz \((x-y)^2\) no cambia, así que el valor de \(\Delta\) tampoco. Por lo tanto:

\[ \Delta(x-y) = -\Delta(x-y) \implies \Delta(x-y) = 0 \]

Así \([\phi(x), \phi(y)] = 0\) en la región espacial, y la causalidad (microcausalidad) se preserva.

Caso de relaciones de anticonmutación (causalidad violada)

Si se imponen relaciones de anticonmutación:

\[ \{\phi(x), \phi(y)\} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2\omega_p}\left(e^{-ip\cdot(x-y)} + e^{+ip\cdot(x-y)}\right) \]

Aquí el integrando se convierte en la suma de dos términos. Esta es una función par de \((x-y)\):

\[ \Delta_+(x-y) + \Delta_+^*(x-y) = 2\,\text{Re}\,\Delta_+(x-y) \]

Aplicando la transformación de Lorentz \((x-y) \to -(x-y)\) en la región espacial:

\[ f(-(x-y)) = f(x-y) \]

así que la cancelación que ocurre para funciones impares no sucede. De hecho, \(\Delta_+(x-y) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2\omega_p}e^{-ip\cdot(x-y)}\) es una función invariante de Lorentz definida positiva en la región espacial (expresada específicamente en términos de la función de Bessel modificada \(K_1\)) y no se anula.

Por lo tanto:

\[ \{\phi(x), \phi(y)\} \neq 0 \quad \text{para} \quad (x-y)^2 < 0 \]
\[ \boxed{\text{Imponer relaciones de anticonmutación a un campo escalar produce anticonmutación no trivial a separación espacial, violando la causalidad (microcausalidad)}} \]

Esta es una consecuencia física del teorema espín-estadística. Los campos de espín entero deben obedecer la estadística de Bose (relaciones de conmutación) para ser consistentes con la causalidad, mientras que los campos de espín semientero deben obedecer la estadística de Fermi (relaciones de anticonmutación).

Intermedio

M-1. Fallo de la cuantización mediante relaciones de conmutación

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(a) Hamiltoniano al imponer relaciones de conmutación

Estrategia de resolución

Se sustituye el desarrollo en modos en el Hamiltoniano \(\hat{H} = \int d^3x\,\mathcal{H}\) y se presta atención al signo de las relaciones de conmutación en el sector \(d\).

Detalles del cálculo

A partir del resultado de D8, el Hamiltoniano sin considerar el ordenamiento normal es:

\[ \hat{H} = \int d^3x\, \hat{\psi}^\dagger(-i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m\gamma^0)\hat{\psi} \]

Usando las propiedades de las soluciones de la ecuación de Dirac, al sustituir el desarrollo en modos y emplear la integración espacial junto con las relaciones de ortogonalidad y completitud de los espinores, el Hamiltoniano se reduce a la siguiente forma:

\[ \hat{H} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, E_{\boldsymbol{p}}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} + \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\right) \]

Aquí el término del sector \(d\) aparece en el orden \(\hat{d}\hat{d}^\dagger\) (esto es consecuencia del tratamiento de signos derivado del hecho de que el espinor \(v\) es una solución de energía negativa).

Usando la relación de conmutación \([\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}] = -(2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\) para intercambiar el orden:

\[ \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}} = \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}} + [\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}] = \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}} - (2\pi)^3\delta^{ss}\delta^{(3)}(\boldsymbol{0}) \]

Sustituyendo:

\[ \hat{H} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, E_{\boldsymbol{p}}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} + \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}} - (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{0})\right) \]

Eliminando el término constante:

\[ \boxed{\hat{H} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, E_{\boldsymbol{p}}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} - \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\right) + (\text{constante})} \]

El signo del sector \(d\) es negativo. Esto se debe directamente a que el signo de \([\hat{d}, \hat{d}^\dagger]\) es \(-1\).

(b) Inconsistencia física

Dado que la contribución del sector \(d\) es \(-E_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\), cada vez que se aplica \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) al vacío, la energía disminuye en \(E_{\boldsymbol{p}} > 0\).

Bajo relaciones de conmutación, \((\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^n \neq 0\) (en estadística bosónica no hay límite superior para el número de ocupación), por lo que se puede aplicar \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) un número arbitrario de veces, pudiendo reducir la energía indefinidamente.

\[ \hat{H}\bigl[(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^n|0\rangle\bigr] \sim -nE_{\boldsymbol{p}} \to -\infty \quad (n \to \infty) \]

Esto significa que la energía no está acotada inferiormente, y no existe un estado de vacío estable. Esto es físicamente inaceptable.

(c) Resolución mediante relaciones de anticonmutación

Usando la relación de anticonmutación \(\{\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\):

\[ \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}} = -\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}} + \{\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\} = -\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}} + (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{0}) \]

Sustituyendo en el Hamiltoniano:

\[ \hat{H} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, E_{\boldsymbol{p}}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} - \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}} + (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{0})\right) \]

Lo importante aquí es que al intercambiar \(\hat{d}\hat{d}^\dagger\), el signo negativo de la relación de anticonmutación cancela el signo negativo original del sector \(d\). Eliminando el término constante:

\[ \boxed{\hat{H} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, E_{\boldsymbol{p}}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} + \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\right) + (\text{constante})} \]

Tanto el sector \(b\) como el sector \(d\) tienen coeficiente positivo \(E_{\boldsymbol{p}} > 0\), y los autovalores de los operadores de número de partículas \(\hat{b}^{s\dagger}\hat{b}^s\) y \(\hat{d}^{s\dagger}\hat{d}^s\) son \(0\) o \(1\) (debido a las relaciones de anticonmutación), por lo que el Hamiltoniano es definido positivo (salvo la energía del punto cero). Existe un vacío estable.

Verificación

En el caso de relaciones de anticonmutación, \((\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2 = 0\) (demostrado en S2), por lo que el número de ocupación de partículas \(d\) está limitado a 0 o 1, y es imposible reducir la energía indefinidamente. La inconsistencia del caso con relaciones de conmutación queda completamente resuelta. \(\checkmark\)

M-2. Derivación del principio de exclusión de Pauli

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(a) Demostración de \((\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2 = 0\)

Detalles del cálculo

La relación de anticonmutación entre operadores de creación es:

\[ \{\hat{b}^{r\dagger}_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = 0 \]

(Esto se deduce de la condición de que todos los anticonmutadores son cero excepto la relación de anticonmutación fundamental \(\{\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\))

Tomando \(r = s\), \(\boldsymbol{p} = \boldsymbol{q}\):

\[ \{\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\} = 2(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2 = 0 \]
\[ \boxed{(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2 = 0} \]

(b) Principio de exclusión de Pauli

Para el estado de una partícula \(|\boldsymbol{p}, s\rangle = \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|0\rangle\), si intentamos crear otra partícula con los mismos números cuánticos:

\[ \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{p}, s\rangle = (\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2|0\rangle = 0 \]

Es decir, es imposible colocar dos o más fermiones con los mismos números cuánticos \((\boldsymbol{p}, s)\) en el mismo estado. Este es el principio de exclusión de Pauli.

El número de ocupación de los fermiones solo puede ser \(n^s_{\boldsymbol{p}} = 0\) o \(1\), y cada modo del espacio de Fock queda restringido a ser bidimensional (vacío u ocupado).

(c) Comparación con los bosones

En el caso de las relaciones de conmutación del campo escalar \([\hat{a}_{\boldsymbol{p}}, \hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{q}}] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\):

\[ (\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{p}})^2 \neq 0 \]

De hecho, \([\hat{a}_{\boldsymbol{p}}, (\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{p}})^2] = 2(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{0})\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{p}} \neq 0\), y en general:

\[ (\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{p}})^n|0\rangle \propto |n_{\boldsymbol{p}}\rangle \neq 0 \quad (\text{para cualquier entero positivo } n) \]

En el caso discretizado, \((\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle = \sqrt{n!}\,|n\rangle\), y se pueden acumular tantos bosones como se desee en el mismo estado cuántico. Esta es la estadística de Bose-Einstein, fundamentalmente diferente de la estadística de Fermi-Dirac de los fermiones.

Fermiones (anticonmutación) Bosones (conmutación)
\((\hat{a}^\dagger)^2\) \(= 0\) \(\neq 0\)
Número de ocupación \(0\) o \(1\) \(0, 1, 2, \ldots\)
Estadística Fermi-Dirac Bose-Einstein

M-3. Relaciones de anticonmutación a tiempos iguales del campo de Dirac

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Estrategia de resolución

Se sustituye la expansión en modos a tiempos iguales \(x^0 = y^0 = t\) y se calcula el anticonmutador.

Detalles del cálculo

Expansión en modos a tiempos iguales:

\[ \hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t) = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\, u^s_\alpha(\boldsymbol{p})e^{-iE_{\boldsymbol{p}}t + i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}} + \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\, v^s_\alpha(\boldsymbol{p})e^{+iE_{\boldsymbol{p}}t - i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}}\right] \]
\[ \hat{\psi}^\dagger_\beta(\boldsymbol{y}, t) = \sum_{s'}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{q}}}}\left[\hat{b}^{s'\dagger}_{\boldsymbol{q}}\, u^{s'\dagger}_\beta(\boldsymbol{q})e^{+iE_{\boldsymbol{q}}t - i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{y}} + \hat{d}^{s'}_{\boldsymbol{q}}\, v^{s'\dagger}_\beta(\boldsymbol{q})e^{-iE_{\boldsymbol{q}}t + i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{y}}\right] \]

Se calcula el anticonmutador \(\{\hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t), \hat{\psi}^\dagger_\beta(\boldsymbol{y}, t)\}\). A partir de las relaciones de anticonmutación fundamentales, las únicas contribuciones no nulas provienen de los términos \(\{\hat{b}, \hat{b}^\dagger\}\) y \(\{\hat{d}^\dagger, \hat{d}\}\) (los términos cruzados \(\{\hat{b}, \hat{d}\}\), etc., son todos cero).

Contribución del sector \(b\):

\[ \sum_{s,s'}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{q}}}}\, u^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, u^{s'\dagger}_\beta(\boldsymbol{q})\,\underbrace{\{\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s'\dagger}_{\boldsymbol{q}}\}}_{(2\pi)^3\delta^{ss'}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})}\, e^{i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x} - i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{y}} \]

(Las fases dependientes del tiempo \(e^{-iE_{\boldsymbol{p}}t}\) y \(e^{+iE_{\boldsymbol{q}}t}\) se cancelan cuando \(\boldsymbol{p} = \boldsymbol{q}\))

Se realiza la integral en \(\boldsymbol{q}\) y la suma en \(s'\):

\[ = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\, u^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, u^{s\dagger}_\beta(\boldsymbol{p})\, e^{i\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} \]

Contribución del sector \(d\):

\[ \sum_{s,s'}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{q}}}}\, v^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, v^{s'\dagger}_\beta(\boldsymbol{q})\,\underbrace{\{\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s'}_{\boldsymbol{q}}\}}_{(2\pi)^3\delta^{ss'}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})}\, e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x} + i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{y}} \]

Se realiza la integral en \(\boldsymbol{q}\) y la suma en \(s'\):

\[ = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\, v^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, v^{s\dagger}_\beta(\boldsymbol{p})\, e^{-i\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} \]

En el sector \(d\) se realiza el cambio de variable de integración \(\boldsymbol{p} \to -\boldsymbol{p}\) (\(E_{\boldsymbol{p}} = E_{-\boldsymbol{p}}\), \(d^3p\) es invariante):

\[ = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\, v^s_\alpha(-\boldsymbol{p})\, v^{s\dagger}_\beta(-\boldsymbol{p})\, e^{i\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} \]

Suma de ambos sectores:

\[ \{\hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t), \hat{\psi}^\dagger_\beta(\boldsymbol{y}, t)\} = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\left[\sum_s u^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, u^{s\dagger}_\beta(\boldsymbol{p}) + \sum_s v^s_\alpha(-\boldsymbol{p})\, v^{s\dagger}_\beta(-\boldsymbol{p})\right]e^{i\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} \]

Se aplica la relación de completitud de los espinores:

\[ \sum_s u^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, u^{s\dagger}_\beta(\boldsymbol{p}) + \sum_s v^s_\alpha(-\boldsymbol{p})\, v^{s\dagger}_\beta(-\boldsymbol{p}) = 2E_{\boldsymbol{p}}\,\delta_{\alpha\beta} \]

Sustituyendo:

\[ \{\hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t), \hat{\psi}^\dagger_\beta(\boldsymbol{y}, t)\} = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\cdot 2E_{\boldsymbol{p}}\,\delta_{\alpha\beta}\, e^{i\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} \]
\[ = \delta_{\alpha\beta}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} = \delta_{\alpha\beta}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \]
\[ \boxed{\{\hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t), \hat{\psi}^\dagger_\beta(\boldsymbol{y}, t)\} = \delta_{\alpha\beta}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} \]

Verificación

Tomando \(\alpha = \beta\) y sumando sobre todas las componentes espinoriales:

\[ \sum_\alpha \{\hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t), \hat{\psi}^\dagger_\alpha(\boldsymbol{y}, t)\} = 4\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \]

Esto es consistente con el número de grados de libertad de un espinor de Dirac de 4 componentes. \(\checkmark\)

M-4. Corriente de Noether y conservación del número fermiónico

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(a) Derivación de la corriente conservada

Estrategia de resolución

Calculamos la corriente de Noether para la transformación global \(U(1)\): \(\psi \to e^{i\alpha}\psi\), \(\bar{\psi} \to \bar{\psi}e^{-i\alpha}\).

Detalles del cálculo

Transformación infinitesimal (\(\alpha\) es una constante infinitesimal):

\[ \delta\psi = i\alpha\psi, \qquad \delta\bar{\psi} = -i\alpha\bar{\psi} \]

Fórmula de la corriente de Noether:

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi_\alpha)}\delta\psi_\alpha + \delta\bar{\psi}_\alpha\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi}_\alpha)} \]

Calculamos cada derivada parcial:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi_\alpha)} = i\bar{\psi}_\beta(\gamma^\mu)_{\beta\alpha} \]
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi}_\alpha)} = 0 \]

(ya que \(\mathcal{L}\) no contiene \(\partial_\mu\bar{\psi}\))

Por lo tanto:

\[ j^\mu = i\bar{\psi}_\beta(\gamma^\mu)_{\beta\alpha}\cdot i\alpha\psi_\alpha + 0 = -\alpha\bar{\psi}\gamma^\mu\psi \]

La corriente conservada, eliminando \(\alpha\) (con la convención de signo de tomar \(j^\mu\) como la corriente de número de partículas positiva):

\[ \boxed{j^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi} \]

La ley de conservación \(\partial_\mu j^\mu = 0\) se puede verificar directamente a partir de la ecuación de Dirac y su conjugada:

\[ \partial_\mu(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi) = (\partial_\mu\bar{\psi})\gamma^\mu\psi + \bar{\psi}\gamma^\mu(\partial_\mu\psi) = (im\bar{\psi})\psi + \bar{\psi}(-im\psi) = 0 \]

(b) Expansión en modos de la carga conservada

Detalles del cálculo

La carga conservada es la integral espacial de \(j^0 = \bar{\psi}\gamma^0\psi = \psi^\dagger\psi\):

\[ \hat{Q} = \int d^3x\, \hat{\psi}^\dagger(\boldsymbol{x}, t)\hat{\psi}(\boldsymbol{x}, t) \]

Sustituyendo la expansión en modos, al desarrollar \(\hat{\psi}^\dagger\hat{\psi}\) aparecen 4 tipos de términos: \(b^\dagger b\), \(d\, d^\dagger\), \(b^\dagger d^\dagger\) (términos cruzados), \(d\, b\) (términos cruzados).

Al realizar la integral espacial \(\int d^3x\, e^{i(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\cdot\boldsymbol{x}} = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\), los términos \(b^\dagger b\) y \(d\, d^\dagger\) sobreviven con \(\boldsymbol{p} = \boldsymbol{q}\).

Los términos cruzados tienen dependencia temporal \(e^{\pm 2iE_{\boldsymbol{p}}t}\) y se anulan por la ortogonalidad de los espinores

\[ u^{s\dagger}(\boldsymbol{p})v^{s'}(-\boldsymbol{p}) = 0, \qquad v^{s\dagger}(-\boldsymbol{p})u^{s'}(\boldsymbol{p}) = 0 \]

(después de la sustitución \(\boldsymbol{p} \to -\boldsymbol{p}\)).

Los términos que sobreviven son:

\[ \hat{Q} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\left[\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\sum_{s'}u^{s\dagger}(\boldsymbol{p})u^s(\boldsymbol{p}) + \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\sum_{s'}v^{s\dagger}(\boldsymbol{p})v^s(\boldsymbol{p})\right] \]

Usando la normalización de los espinores \(u^{s\dagger}(\boldsymbol{p})u^s(\boldsymbol{p}) = 2E_{\boldsymbol{p}}\), \(v^{s\dagger}(\boldsymbol{p})v^s(\boldsymbol{p}) = 2E_{\boldsymbol{p}}\) (sin suma):

\[ \hat{Q} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} + \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\right) \]

Usando la relación de anticonmutación \(\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}} = -\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}} + (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{0})\):

\[ \boxed{\hat{Q} = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} - \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\right) + (\text{constante})} \]

(c) Interpretación de las antipartículas

A partir de la estructura de la carga conservada \(\hat{Q}\):

  • Para \(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|0\rangle\) (estado de una partícula \(b\)): \(\hat{Q}\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|0\rangle = (+1)\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|0\rangle + \cdots\) → carga \(+1\)

  • Para \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|0\rangle\) (estado de una partícula \(d\)): \(\hat{Q}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|0\rangle = (-1)\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}|0\rangle + \cdots\) → carga \(-1\)

Las partículas \(b\) y \(d\) tienen la misma masa y el mismo espín, pero carga de signo opuesto. Esta es precisamente la relación entre partícula y antipartícula.

\[ \boxed{\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}} \text{ es el operador de creación de partículas,} \quad \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}} \text{ es el operador de creación de antipartículas}} \]

Por ejemplo, si la partícula \(b\) es el electrón, entonces la partícula \(d\) corresponde al positrón. Las soluciones de energía negativa de la ecuación de Dirac se reinterpretan naturalmente, a través de la cuantización con relaciones de anticonmutación, como antipartículas con energía positiva.

Verificación

Confirmamos que \(\hat{Q}\) no depende del tiempo (es una cantidad conservada). Los términos cruzados se anulan por la ortogonalidad de los espinores, y los términos restantes no dependen de \(t\). Esto es consistente con \(\partial_\mu j^\mu = 0\). \(\checkmark\)

Avanzado

A-1. Teorema de espín y estadística——argumento desde la causalidad

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(a) Causalidad del campo escalar

A partir de los resultados de Cap. 4, cuando se imponen relaciones de conmutación al campo escalar libre, la función de Pauli-Jordan (función de conmutador)

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = i\Delta(x-y) \]

es invariante de Lorentz, y para intervalos de tipo espacial \((x-y)^2 < 0\) se cumple

\[ \Delta(x-y) = 0 \]

Esto se debe a que la amplitud de propagación de la partícula y la amplitud de propagación de la antipartícula se cancelan exactamente para intervalos de tipo espacial. Físicamente, esto significa que las mediciones en dos puntos separados espacialmente no se influyen mutuamente (se preserva la causalidad).

(b) Violación de la causalidad al imponer relaciones de conmutación al campo de Dirac

Consideremos el caso en que se imponen relaciones de conmutación al campo de Dirac. Al calcular el conmutador \([\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)]\), formalmente se obtiene:

\[ [\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)] = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\left[(\not\!p + m)_{\alpha\beta}\, e^{-ip\cdot(x-y)} - (\not\!p - m)_{\alpha\beta}\, e^{+ip\cdot(x-y)}\right] \]

Aquí el primer término es la contribución del sector \(b\) (propagación de partículas) y el segundo término es la contribución del sector \(d\) (propagación de antipartículas).

En el caso bosónico, las amplitudes de propagación de partículas y antipartículas toman el mismo valor para intervalos de tipo espacial, y se cancelan debido a la estructura de signos de las relaciones de conmutación. Sin embargo, cuando se imponen relaciones de conmutación a fermiones, el signo de las relaciones de conmutación del sector \(d\) es \(-1\) (véase S1(a)), lo que cambia el signo relativo de los dos términos y la cancelación no ocurre.

Concretamente, en el argumento que utiliza la transformación de Lorentz que conecta \(e^{-ip\cdot(x-y)}\) y \(e^{+ip\cdot(x-y)}\) para intervalos de tipo espacial (si \((x-y)\) es de tipo espacial, existe una transformación que lleva \(x-y \to -(x-y)\)), en el caso bosónico los dos términos tienen el mismo signo y se cancelan, pero para fermiones con relaciones de conmutación tienen signos opuestos y se suman.

Por lo tanto, para \((x-y)^2 < 0\) se tiene \([\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)] \neq 0\), y la causalidad se viola.

(c) Recuperación de la causalidad al imponer relaciones de anticonmutación

Cuando se imponen relaciones de anticonmutación, al calcular el anticonmutador se obtiene:

\[ \{\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)\} = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\boldsymbol{p}}}\left[(\not\!p + m)_{\alpha\beta}\, e^{-ip\cdot(x-y)} + (\not\!p - m)_{\alpha\beta}\, e^{+ip\cdot(x-y)}\right] \]

Con relaciones de anticonmutación, el signo del sector \(d\) es \(+1\), lo que cambia el signo relativo de los dos términos. Para intervalos de tipo espacial \((x-y)^2 < 0\), por el argumento de invariancia de Lorentz, estos dos términos se cancelan exactamente:

\[ \{\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)\} = (i\not\!\partial_x + m)_{\alpha\beta}\, i\Delta(x-y) = 0 \quad \text{for } (x-y)^2 < 0 \]

donde \(\Delta(x-y)\) es la función de Pauli-Jordan del campo escalar, que se anula para intervalos de tipo espacial.

Consistencia con la causalidad: A primera vista, podría parecer cuestionable si \(\{\hat{\psi}(x), \bar{\hat{\psi}}(y)\} = 0\) es una condición suficiente para la causalidad, ya que solo el anticonmutador es cero, no el conmutador. Sin embargo, los observables físicos se escriben como productos de un número par de campos fermiónicos (formas bilineales). Por ejemplo:

  • Densidad de corriente: \(j^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi\)
  • Densidad de energía: \(\mathcal{H} = \psi^\dagger(-i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m\gamma^0)\psi\)
  • Operadores que aparecen en amplitudes de dispersión

El conmutador de estos observables \(\mathcal{O}_1(x) = \bar{\psi}(x)\Gamma_1\psi(x)\), \(\mathcal{O}_2(y) = \bar{\psi}(y)\Gamma_2\psi(y)\) es:

\[ [\mathcal{O}_1(x), \mathcal{O}_2(y)] = 0 \quad \text{for } (x-y)^2 < 0 \]

Esto se deduce de \(\{\hat{\psi}(x), \bar{\hat{\psi}}(y)\} = 0\). Al intercambiar los campos fermiónicos dos veces, el signo cambia dos veces, y como resultado el conmutador se anula. Por lo tanto, a nivel de observables, la causalidad se preserva completamente.

(d) Resumen del teorema de espín y estadística

Organizamos la discusión anterior desde dos puntos de vista.

(i) Positividad de la energía (resultados de S1):

Tipo de campo Con relaciones de conmutación Con relaciones de anticonmutación
Espín entero (bosones) Hamiltoniano definido positivo ✓ Hamiltoniano idénticamente cero (teoría trivial) ✗
Espín semientero (fermiones) Energía no acotada inferiormente ✗ Hamiltoniano definido positivo ✓

Si se imponen relaciones de anticonmutación a campos de espín entero, se obtiene \((\hat{a}^{s\dagger})^2 = 0\) y los grados de libertad del campo bosónico desaparecen (se obtiene una teoría trivial). Si se imponen relaciones de conmutación a campos de espín semientero, la energía no está acotada inferiormente (como se mostró en S1).

(ii) Causalidad (resultados de este problema):

Tipo de campo Con relaciones de conmutación Con relaciones de anticonmutación
Espín entero (bosones) Causalidad ✓ Causalidad ✗
Espín semientero (fermiones) Causalidad ✗ Causalidad ✓

La cancelación de las amplitudes de propagación para intervalos de tipo espacial depende del signo relativo de las contribuciones de partículas y antipartículas. Solo cuando se imponen relaciones de conmutación para espín entero y relaciones de anticonmutación para espín semientero ocurre la cancelación correcta.

Conclusión (Teorema de espín y estadística):

En una teoría de campos local e invariante de Lorentz, para satisfacer simultáneamente la positividad de la energía y la causalidad, los campos de espín entero deben cuantizarse como bosones (relaciones de conmutación) y los campos de espín semientero deben cuantizarse como fermiones (relaciones de anticonmutación).

Este es un teorema demostrado rigurosamente por Pauli y constituye uno de los resultados más profundos de la teoría cuántica de campos.

A-2. Transformaciones \(C\), \(P\), \(T\) y teorema \(CPT\)

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(a) Invariancia de la ecuación de Dirac bajo transformación de paridad

Estrategia de resolución

Se demuestra que el campo transformado \(\psi'(t, \boldsymbol{x}) = \eta_P\gamma^0\psi(t, -\boldsymbol{x})\) satisface la ecuación de Dirac.

Cálculo detallado

Supongamos que el campo original \(\psi(t, \boldsymbol{x})\) satisface la ecuación de Dirac:

\[ (i\gamma^0\partial_0 + i\gamma^j\partial_j - m)\psi(t, \boldsymbol{x}) = 0 \]

Escribimos el campo transformado como \(\psi'(x') = \eta_P\gamma^0\psi(x)\), donde \(x' = (t, -\boldsymbol{x})\) y \(x = (t, \boldsymbol{x})\).

La ecuación de Dirac para \(\psi'\) en coordenadas \(x'\) se escribe:

\[ \left(i\gamma^0\frac{\partial}{\partial t} + i\gamma^j\frac{\partial}{\partial x'^j} - m\right)\psi'(t, \boldsymbol{x}') = 0 \]

Como \(x'^j = -x^j\), se tiene \(\frac{\partial}{\partial x'^j} = -\frac{\partial}{\partial x^j}\). Sustituyendo \(\psi'(t, \boldsymbol{x}') = \eta_P\gamma^0\psi(t, \boldsymbol{x})\):

\[ \eta_P\left(i\gamma^0\partial_0 - i\gamma^j\partial_j - m\right)\gamma^0\psi(t, \boldsymbol{x}) = 0 \]

Para mover \(\gamma^0\) hacia la izquierda a través de las matrices \(\gamma\), usamos las relaciones de conmutación:

\[ \gamma^0\gamma^0 = \mathbf{1}, \qquad \gamma^j\gamma^0 = -\gamma^0\gamma^j \]

Por lo tanto:

\[ (i\gamma^0\partial_0 - i\gamma^j\partial_j - m)\gamma^0 = i\gamma^0\gamma^0\partial_0 - i\gamma^j\gamma^0\partial_j - m\gamma^0 \]
\[ = i\mathbf{1}\cdot\partial_0 + i\gamma^0\gamma^j\partial_j - m\gamma^0 = \gamma^0(i\gamma^0\partial_0 + i\gamma^j\partial_j - m) \]

La última igualdad se verifica extrayendo \(\gamma^0\) como factor por la izquierda: \(\gamma^0 \cdot i\gamma^0\partial_0 = i(\gamma^0)^2\partial_0 = i\partial_0\) ✓, \(\gamma^0 \cdot i\gamma^j\partial_j = i\gamma^0\gamma^j\partial_j\) ✓, \(\gamma^0 \cdot (-m) = -m\gamma^0\) ✓.

Por lo tanto:

\[ \eta_P\gamma^0(i\gamma^0\partial_0 + i\gamma^j\partial_j - m)\psi(t, \boldsymbol{x}) = 0 \]

El contenido del paréntesis es exactamente el lado izquierdo de la ecuación de Dirac original, que es cero ya que \(\psi\) satisface la ecuación de Dirac.

\[ \boxed{\text{La ecuación de Dirac es invariante bajo la transformación de paridad.}} \]

(b) Transformación de conjugación de carga e intercambio partícula-antipartícula

Estrategia de resolución

Se sustituye la expansión en modos en la definición de la transformación \(C\), \(\hat{C}\hat{\psi}(x)\hat{C}^{-1} = \eta_C C\bar{\hat{\psi}}^T(x)\), y se demuestra el intercambio de \(b\) y \(d\).

Cálculo detallado

Obtenemos la expansión en modos de \(\bar{\psi}^T\). Como \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\):

\[ \bar{\hat{\psi}}(x) = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\,\bar{u}^s(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x} + \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\,\bar{v}^s(\boldsymbol{p})e^{-ip\cdot x}\right] \]

Tomando la transpuesta:

\[ \bar{\hat{\psi}}^T(x) = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\,\bar{u}^{sT}(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x} + \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\,\bar{v}^{sT}(\boldsymbol{p})e^{-ip\cdot x}\right] \]

Multiplicando por la matriz \(C\):

\[ C\bar{\hat{\psi}}^T(x) = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\, C\bar{u}^{sT}(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x} + \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\, C\bar{v}^{sT}(\boldsymbol{p})e^{-ip\cdot x}\right] \]

Aquí, a partir de la propiedad de la matriz de conjugación de carga \(C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu\), se establecen las siguientes relaciones para las soluciones de la ecuación de Dirac:

\[ C\bar{u}^{sT}(\boldsymbol{p}) = \eta^s_v\, v^s(\boldsymbol{p}), \qquad C\bar{v}^{sT}(\boldsymbol{p}) = \eta^s_u\, u^s(\boldsymbol{p}) \]

donde \(\eta^s_v, \eta^s_u\) son factores de fase (\(|\eta| = 1\)). Esto significa que la matriz \(C\) conecta los espinores de energía positiva \(u\) con los espinores de energía negativa \(v\).

Sustituyendo:

\[ C\bar{\hat{\psi}}^T(x) = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\eta^s_v\,\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\, v^s(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x} + \eta^s_u\,\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\, u^s(\boldsymbol{p})e^{-ip\cdot x}\right] \]

Comparando con la expansión en modos original

\[ \hat{\psi}(x) = \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\, u^s(\boldsymbol{p})e^{-ip\cdot x} + \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\, v^s(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x}\right] \]

para que se cumpla \(\hat{C}\hat{\psi}\hat{C}^{-1} = \eta_C C\bar{\hat{\psi}}^T\), se requiere:

\[ \hat{C}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\hat{C}^{-1} = \eta_C\eta^s_u\,\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}, \qquad \hat{C}\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{C}^{-1} = \eta_C\eta^s_v\,\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}} \]

Es decir (salvo factores de fase):

\[ \boxed{\hat{C}: \quad \hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} \leftrightarrow \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}} \]

La transformación de conjugación de carga \(C\) intercambia partículas y antipartículas.

(c) Invariancia del lagrangiano bajo la transformación \(CPT\)

Estrategia de resolución

Se aplican sucesivamente las transformaciones \(C\), \(P\), \(T\) y se verifica que el lagrangiano es invariante.

Cálculo detallado

Resumimos la acción de cada transformación sobre el campo de Dirac:

Paridad \(P\):

\[ \hat{P}\hat{\psi}(t, \boldsymbol{x})\hat{P}^{-1} = \eta_P\gamma^0\hat{\psi}(t, -\boldsymbol{x}) \]

Inversión temporal \(T\): (\(T\) es un operador antiunitario)

\[ \hat{T}\hat{\psi}(t, \boldsymbol{x})\hat{T}^{-1} = \eta_T\gamma^1\gamma^3\hat{\psi}(-t, \boldsymbol{x}) \]

Conjugación de carga \(C\):

\[ \hat{C}\hat{\psi}(x)\hat{C}^{-1} = \eta_C C\bar{\hat{\psi}}^T(x) \]

Consideramos la composición de la transformación \(CPT\). Definiendo \(\Theta = CPT\), con una elección adecuada de los factores de fase:

\[ \hat{\Theta}\hat{\psi}(x)\hat{\Theta}^{-1} = \eta_\Theta\gamma^5\hat{\psi}^c(-x) \]

donde \(\gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\) y \(\hat{\psi}^c\) es el campo conjugado de carga. Más concretamente:

\[ \hat{\Theta}\hat{\psi}(x)\hat{\Theta}^{-1} \propto \gamma^5 C\bar{\hat{\psi}}^T(-x) \]

Verificamos la transformación \(CPT\) del lagrangiano \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\).

Bajo la transformación \(CPT\), \(x^\mu \to -x^\mu\), por lo que \(\partial_\mu \to -\partial_\mu\).

Sustituyendo las transformaciones de \(\bar{\psi}\) y \(\psi\), y utilizando las propiedades de \(\gamma^5\):

\[ \{\gamma^5, \gamma^\mu\} = 0 \quad (\text{es decir, } \gamma^5\gamma^\mu = -\gamma^\mu\gamma^5) \]
\[ (\gamma^5)^2 = \mathbf{1} \]

cada término del lagrangiano se transforma como:

Término cinético: Transformación \(CPT\) de \(\bar{\psi}(x)i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x)\)

Los dos cambios de signo provenientes de \(\partial_\mu \to -\partial'_\mu\) (por \(x \to -x\)) y de \(\gamma^5\gamma^\mu = -\gamma^\mu\gamma^5\) se cancelan mutuamente, y el término cinético es invariante.

Término de masa: Transformación \(CPT\) de \(-m\bar{\psi}(x)\psi(x)\)

\(\gamma^5\) aparece dos veces y \((\gamma^5)^2 = \mathbf{1}\), por lo que el término de masa también es invariante.

Por lo tanto:

\[ \boxed{\mathcal{L}' = \bar{\psi}'(i\gamma^\mu\partial'_\mu - m)\psi' = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = \mathcal{L}} \]

El lagrangiano de Dirac es invariante bajo la transformación \(CPT\).

Sobre el teorema \(CPT\)

El teorema \(CPT\) es un teorema general que se cumple en cualquier teoría de campos que satisfaga las siguientes condiciones:

  1. Invariancia de Lorentz (simetría de Poincaré)
  2. Localidad (el lagrangiano es una función local del campo y sus derivadas de orden finito)
  3. Positividad de la energía (el hamiltoniano está acotado inferiormente)

Bajo estas condiciones, se demuestra que la transformación \(CPT\) es siempre una simetría de la teoría (teorema de Lüders-Pauli). El caso del campo de Dirac mostrado arriba es un ejemplo concreto de este teorema general.

Como consecuencias importantes del teorema \(CPT\):

  • Partículas y antipartículas tienen la misma masa
  • Partículas y antipartículas tienen el mismo tiempo de vida
  • Si la simetría \(CP\) está violada, entonces la simetría \(T\) también está violada (y viceversa)

Verificación

La invariancia de la ecuación de Dirac bajo cada una de las transformaciones \(C\), \(P\), \(T\) individualmente fue confirmada para \(P\) en el apartado (a). Para \(C\) y \(T\) se puede verificar de manera análoga. La invariancia del lagrangiano bajo la composición de las tres transformaciones se deduce automáticamente de la invariancia bajo cada una por separado, pero arriba también se confirmó directamente.

Además, la anticonmutación de \(\gamma^5\), \(\{\gamma^5, \gamma^\mu\} = 0\), se deduce del álgebra de Clifford:

\[ \gamma^5\gamma^\mu = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^\mu = -\gamma^\mu\gamma^5 \]

(Cuando se anticonmuta \(\gamma^\mu\) con las cuatro matrices \(\gamma\) que componen \(\gamma^5\): para cualquier valor de \(\mu\) entre \(0,1,2,3\), \(\gamma^\mu\) conmuta con sí misma dentro de \(\gamma^5\) (produciendo \((\gamma^\mu)^2\)) y anticonmuta con las tres restantes, dando un signo global de \((-1)^3 = -1\).) \(\checkmark\)