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Prólogo Soluciones

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Índice

Básico

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Básico

B-1. Cálculo de la energía de un fotón

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(a) Luz amarilla del sodio

Estrategia: Sustituir directamente en \(E = h\nu\).

\[ E = h\nu = (6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}) \times (5.09 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}) \]
\[ E = 6.63 \times 5.09 \times 10^{-34+14}\ \mathrm{J} = 33.75 \times 10^{-20}\ \mathrm{J} \]
\[ \boxed{E \approx 3.38 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}} \]

(b) Láser rojo (\(\lambda = 633\ \mathrm{nm}\))

Estrategia: Convertir a frecuencia mediante \(\nu = c/\lambda\) y luego calcular \(E = h\nu = hc/\lambda\).

\[ \lambda = 633\ \mathrm{nm} = 633 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} = 6.33 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} \]
\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})}{6.33 \times 10^{-7}} \]
\[ E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{6.33 \times 10^{-7}} = 3.14 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \]
\[ \boxed{E \approx 3.14 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}} \]

(c) Ondas de radio de un teléfono móvil (\(\nu = 2.0 \times 10^{9}\ \mathrm{Hz}\))

\[ E = h\nu = (6.63 \times 10^{-34})(2.0 \times 10^{9}) = 13.26 \times 10^{-25}\ \mathrm{J} \]
\[ \boxed{E \approx 1.33 \times 10^{-24}\ \mathrm{J}} \]

Verificación: El orden de magnitud de las frecuencias es (a) > (b) > (c), y la energía sigue el mismo orden. La energía de la luz visible es del orden de \(10^{-19}\ \mathrm{J}\), mientras que la de las ondas de radio es del orden de \(10^{-24}\ \mathrm{J}\), lo cual es físicamente razonable.

B-2. Relación entre amplitud de probabilidad y probabilidad

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(a) \(\phi^*\)

El conjugado complejo de \(\phi = 3 + 4i\) se obtiene reemplazando \(i\) por \(-i\):

\[ \boxed{\phi^* = 3 - 4i} \]

(b) \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\)

\[ |\phi|^2 = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ \boxed{|\phi|^2 = 25} \]

(c) Expresar \(|\phi|^2\) en términos de \(A\) y \(\theta\)

Cuando \(\phi = Ae^{i\theta}\), se tiene \(\phi^* = Ae^{-i\theta}\) (donde \(A > 0\) es real), por lo tanto:

\[ |\phi|^2 = \phi^*\phi = Ae^{-i\theta} \cdot Ae^{i\theta} = A^2 e^{0} = A^2 \]
\[ \boxed{|\phi|^2 = A^2} \]

Verificación: Para (b), \(|\phi| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\), por lo que \(|\phi|^2 = 25\). ✓ En (c) se confirma que no depende de la fase \(\theta\), lo cual es consistente con la propiedad fundamental de la mecánica cuántica de que la probabilidad no depende del valor absoluto de la fase.

B-3. Cálculo del término de interferencia

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(a) Desarrollo de \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)

\[ |\phi_1 + \phi_2|^2 = (\phi_1^* + \phi_2^*)(\phi_1 + \phi_2) \]
\[ = |\phi_1|^2 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 + |\phi_2|^2 \]

Calculamos cada término. Dado que \(\phi_1 = e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = e^{i\beta}\):

  • \(|\phi_1|^2 = e^{-i\alpha}e^{i\alpha} = 1\)
  • \(|\phi_2|^2 = e^{-i\beta}e^{i\beta} = 1\)
  • \(\phi_1^*\phi_2 = e^{-i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\beta - \alpha)}\)
  • \(\phi_2^*\phi_1 = e^{-i\beta}e^{i\alpha} = e^{i(\alpha - \beta)}\)

Suma de los términos de interferencia:

\[ \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = e^{i(\beta-\alpha)} + e^{-i(\beta-\alpha)} = 2\cos(\alpha - \beta) \]

Por lo tanto,

\[ \boxed{|\phi_1 + \phi_2|^2 = 2 + 2\cos(\alpha - \beta)} \]

(b) \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)

\[ \boxed{|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1 + 1 = 2} \]

(c) Término de interferencia expresado en función de la diferencia de fase \(\delta = \alpha - \beta\)

\[ |\phi_1 + \phi_2|^2 - (|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2) = (2 + 2\cos\delta) - 2 \]
\[ \boxed{\text{Término de interferencia} = 2\cos\delta} \]

(d) Casos especiales

  • \(\delta = 0\) (en fase): \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = 2 + 2\cos 0 = 2 + 2 = \boxed{4}\)
  • \(\delta = \pi\) (en contrafase): \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = 2 + 2\cos\pi = 2 - 2 = \boxed{0}\)

Verificación: Cuando \(\delta = 0\), se tiene \(\phi_1 = \phi_2 = e^{i\alpha}\), por lo que \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = |2e^{i\alpha}|^2 = 4\). ✓ Cuando \(\delta = \pi\), se tiene \(\phi_2 = e^{i(\alpha-\pi)} = -e^{i\alpha} = -\phi_1\), por lo que \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = 0\). ✓

B-4. Distribución de probabilidad de balas y electrones

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(a) Caso de las balas: \(x = 0\)

\[ P_1(0) = e^{-(0-a)^2} = e^{-a^2}, \quad P_2(0) = e^{-(0+a)^2} = e^{-a^2} \]
\[ \boxed{P_{12}^{\text{balas}}(0) = P_1(0) + P_2(0) = 2e^{-a^2}} \]

(b) Caso de los electrones: \(x = 0\)

Calculamos la amplitud de probabilidad:

\[ \phi_1(0) = e^{-(0-a)^2/2} = e^{-a^2/2}, \quad \phi_2(0) = e^{-(0+a)^2/2} = e^{-a^2/2} \]
\[ P_{12}^{\text{electrones}}(0) = |\phi_1(0) + \phi_2(0)|^2 = (e^{-a^2/2} + e^{-a^2/2})^2 = (2e^{-a^2/2})^2 \]
\[ \boxed{P_{12}^{\text{electrones}}(0) = 4e^{-a^2}} \]

(c) Comparación

\[ P_{12}^{\text{electrones}}(0) = 4e^{-a^2}, \quad P_{12}^{\text{balas}}(0) = 2e^{-a^2} \]
\[ \frac{P_{12}^{\text{electrones}}(0)}{P_{12}^{\text{balas}}(0)} = \frac{4e^{-a^2}}{2e^{-a^2}} = 2 \]
\[ \boxed{P_{12}^{\text{electrones}}(0) = 2 \times P_{12}^{\text{balas}}(0) > P_{12}^{\text{balas}}(0)} \]

El caso de los electrones es mayor. Esto se debe a que en \(x = 0\) (el punto medio entre las dos rendijas) las amplitudes de probabilidad se superponen en fase, produciéndose interferencia constructiva.

Verificación: \(|\phi_1|^2 = (e^{-a^2/2})^2 = e^{-a^2} = P_1(0)\), lo cual es consistente con el planteamiento del problema. ✓

B-5. Forma polar de números complejos y fórmula de Euler

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(a) \(e^{i\pi}\)

\[ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = \boxed{-1} \]

(b) \(e^{i\pi/2}\)

\[ e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = \boxed{i} \]

(c) Parte real e imaginaria de \(e^{i\pi/4}\)

\[ e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \boxed{\text{Parte real} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \text{Parte imaginaria} = \frac{\sqrt{2}}{2}} \]

(d) \(|e^{i\theta}|^2\)

\[ |e^{i\theta}|^2 = e^{-i\theta} \cdot e^{i\theta} = e^{0} = 1 \]

O bien \(|e^{i\theta}|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\).

\[ \boxed{|e^{i\theta}|^2 = 1 \quad (\text{independiente de } \theta)} \]

Verificación: (a) es la famosa identidad de Euler \(e^{i\pi} + 1 = 0\). (d) corresponde al hecho de que el valor absoluto de un punto sobre el círculo unitario es 1. ✓

B-6. Intensidad de ondas e interferencia

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(a) \(h_1 + h_2\) en forma de producto

Usamos la fórmula de suma \(\cos P + \cos Q = 2\cos\!\left(\frac{P+Q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{P-Q}{2}\right)\).

Sea \(P = \omega t\), \(Q = \omega t + \delta\):

\[ h_1 + h_2 = A(\cos\omega t + \cos(\omega t + \delta)) \]
\[ = 2A\cos\!\left(\frac{\omega t + \omega t + \delta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\omega t - (\omega t + \delta)}{2}\right) \]
\[ \boxed{h_1 + h_2 = 2A\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right)\cos\!\left(\omega t + \frac{\delta}{2}\right)} \]

(b) Cuando \(\delta = 0\)

\[ h_1 + h_2 = 2A\cos(0)\cos(\omega t) = 2A\cos(\omega t) \]

La amplitud es \(\boxed{2A}\)

(c) Cuando \(\delta = \pi\)

\[ h_1 + h_2 = 2A\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = 2A \cdot 0 \cdot \cos\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \]
\[ \boxed{h_1 + h_2 = 0} \]

Verificación: (b) Las ondas en fase se refuerzan mutuamente, duplicando la amplitud. (c) Las ondas en contrafase se cancelan completamente. Físicamente coherente. ✓

B-7. Discretización de la energía — la metáfora de la escalera con números

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(a) Energía del estado fundamental y del primer estado excitado

\[ E_1 = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{1^2} = \boxed{-13.6\ \mathrm{eV}} \]
\[ E_2 = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{2^2} = -\frac{13.6}{4}\ \mathrm{eV} = \boxed{-3.4\ \mathrm{eV}} \]

(b) Energía del fotón emitido

\[ \Delta E = E_2 - E_1 = (-3.4) - (-13.6) = \boxed{10.2\ \mathrm{eV}} \]

(c) Frecuencia del fotón

Primero convertimos eV a J:

\[ \Delta E = 10.2\ \mathrm{eV} \times 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{J/eV} = 16.32 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.632 \times 10^{-18}\ \mathrm{J} \]
\[ \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{1.632 \times 10^{-18}}{6.63 \times 10^{-34}} = 2.46 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz} \]
\[ \boxed{\nu \approx 2.46 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz}} \]

(d) ¿Se encuentra dentro del rango de la luz visible?

El rango de frecuencias de la luz visible es de \(4.3 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) a \(7.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\).

\(\nu \approx 2.46 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz}\) es mayor que el límite superior \(7.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) de este rango.

\[ \boxed{\text{No se encuentra en el rango visible (corresponde al ultravioleta).}} \]

Verificación: Se sabe que la serie de Lyman del hidrógeno (\(n \geq 2 \to n = 1\)) se encuentra en la región ultravioleta, por lo que el resultado es coherente. Comprobando la longitud de onda: \(\lambda = c/\nu = 3.00 \times 10^8 / 2.46 \times 10^{15} \approx 122\ \mathrm{nm}\), lo cual coincide con la línea Lyman-\(\alpha\) (121.6 nm). ✓

B-8. Superposición de amplitudes de probabilidad — ejemplo numérico

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(a) \(P_1 = |\phi_1|^2\)

\[ P_1 = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2 = \boxed{\frac{1}{3}} \]

(b) \(P_2 = |\phi_2|^2\)

\[ P_2 = \left|\sqrt{\frac{2}{3}}\, e^{i\pi/3}\right|^2 = \frac{2}{3} \cdot |e^{i\pi/3}|^2 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \boxed{\frac{2}{3}} \]

(c) Verificación de la condición de normalización

\[ P_1 + P_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \quad \checkmark \]
\[ \boxed{P_1 + P_2 = 1 \text{ se cumple.}} \]

(d) Parte real e imaginaria de \(\phi_2\)

\[ \phi_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}\, e^{i\pi/3} = \sqrt{\frac{2}{3}}\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ \boxed{\text{Parte real} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}, \quad \text{Parte imaginaria} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}} \]

Comprobación: \(|\phi_2|^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). ✓

Intermedio

M-1. Comparación entre probabilidad clásica y probabilidad cuántica

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(a) Razón por la que \(P_{12} = P_1 + P_2\) se cumple para las balas

Las balas son partículas macroscópicas que, al pasar por la doble rendija, necesariamente atraviesan solo una de las dos aberturas. El evento de pasar por la abertura 1 y el evento de pasar por la abertura 2 son eventos mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir simultáneamente). Por lo tanto, se puede aplicar directamente el teorema de adición de probabilidades clásico, y

\[ P_{12}(x) = P_1(x) + P_2(x) \]

se cumple. Cuando una bala pasa por una abertura, el hecho de que la otra esté abierta o no, no afecta la trayectoria de la bala, por lo que las distribuciones de probabilidad provenientes de cada abertura pueden sumarse de manera independiente.

(b) Razón por la que \(P_{12} \neq P_1 + P_2\) para los electrones

En el caso del electrón, a cada proceso de paso por una abertura se le asigna una amplitud de probabilidad (número complejo) \(\phi_1(x)\), \(\phi_2(x)\). Según las reglas de la mecánica cuántica, las amplitudes de probabilidad de caminos indistinguibles se suman primero y luego se toma el módulo al cuadrado:

\[ P_{12}(x) = |\phi_1(x) + \phi_2(x)|^2 \]

Expandiendo esto:

\[ P_{12} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \underbrace{\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1}_{\text{término de interferencia}} \]
\[ = P_1 + P_2 + 2\,\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) \]

Como el término de interferencia \(2\,\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\) en general no es cero, se tiene \(P_{12} \neq P_1 + P_2\). Este término de interferencia puede ser positivo o negativo dependiendo de la posición \(x\), produciendo un patrón de franjas claras y oscuras (patrón de interferencia) en la pantalla. Los electrones se detectan uno a uno como partículas, pero al acumular muchos electrones, este patrón de interferencia aparece estadísticamente.

(c) Caso en que las amplitudes de probabilidad se restringen a números reales

Incluso en el caso real, aparece un término de interferencia. Cuando \(\phi_1, \phi_2\) son reales:

\[ \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\phi_1\phi_2 \]

Como esto no es necesariamente cero, la interferencia en sí misma ocurre.

Sin embargo, surge una limitación importante. En el caso de amplitudes de probabilidad reales, la "diferencia de fase" entre dos amplitudes solo puede tomar 2 valores: \(0\) (mismo signo: \(\phi_1\phi_2 > 0\)) o \(\pi\) (signo opuesto: \(\phi_1\phi_2 < 0\)). Por lo tanto, el término de interferencia solo puede ser \(+2|\phi_1||\phi_2|\) (interferencia constructiva) o \(-2|\phi_1||\phi_2|\) (interferencia destructiva), y no se puede reproducir un patrón de interferencia suave donde la diferencia de fase varía continuamente.

En el caso complejo, la diferencia de fase \(\delta\) puede variar continuamente de \(0\) a \(2\pi\), y el término de interferencia \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\) cambia suavemente desde \(-2|\phi_1||\phi_2|\) hasta \(+2|\phi_1||\phi_2|\). Esto permite describir correctamente las franjas de interferencia continuas observadas experimentalmente.

M-2. Hipótesis del cuanto de luz y efecto fotoeléctrico

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(a) Energía cinética máxima \(K_{\max}\)

La energía de un fotón \(h\nu\) se transfiere a un electrón en el metal. La energía mínima necesaria para que el electrón escape de la superficie metálica es la función de trabajo \(W\). Por conservación de la energía:

\[ h\nu = W + K_{\max} \]
\[ \boxed{K_{\max} = h\nu - W} \]

(b) Frecuencia umbral \(\nu_0\)

La condición para que el electrón apenas logre escapar es \(K_{\max} = 0\), por lo tanto:

\[ h\nu_0 - W = 0 \]
\[ \boxed{\nu_0 = \frac{W}{h}} \]

(c) Contradicción con la teoría clásica

En la teoría ondulatoria clásica, la energía de la luz es proporcional al cuadrado de la amplitud (es decir, a la intensidad) y no depende de la frecuencia. Por lo tanto, la premisa de la teoría clásica es:

"Si se aumenta la intensidad de la luz, se puede transferir cualquier cantidad de energía a un electrón, independientemente de la frecuencia."

Sin embargo, los experimentos muestran que la luz con \(\nu < \nu_0\) no emite electrones sin importar cuánto se aumente su intensidad. Esto se debe a que la energía de la luz se transfiere a los electrones en unidades discretas de \(h\nu\) (fotones), y si la energía de un solo fotón \(h\nu\) es menor que \(W\), no es posible hacer escapar un electrón sin importar cuántos fotones incidan (ya que cada fotón interactúa independientemente con los electrones). Esto contradice la premisa clásica de que "la energía se acumula de forma continua".

(d) Cálculo numérico

Energía del fotón:

\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)}{400 \times 10^{-9}} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{4.00 \times 10^{-7}} = 4.97 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \]

Conversión a eV:

\[ E = \frac{4.97 \times 10^{-19}}{1.60 \times 10^{-19}}\ \mathrm{eV} \approx 3.11\ \mathrm{eV} \]

Energía cinética máxima:

\[ K_{\max} = E - W = 3.11 - 2.3 = \boxed{0.8\ \mathrm{eV}} \]

Verificación: La luz de longitud de onda 400 nm es luz violeta, con una energía de aproximadamente 3.1 eV. La función de trabajo de 2.3 eV es un valor cercano al de metales como el cesio. \(K_{\max} \approx 0.8\ \mathrm{eV}\) es un valor razonable. ✓

M-3. Modelos en física y falsabilidad

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(a) En qué sentido la mecánica de Newton es una "hipótesis"

Que la mecánica de Newton sea una "hipótesis" significa que no es la "verdad" de la naturaleza, sino simplemente "el mejor modelo que, hasta el momento, no contradice los experimentos". Si es refutada experimentalmente, será reemplazada por un modelo mejor.

  • Ámbito donde tuvo éxito: El movimiento de los cuerpos celestes (órbitas planetarias, movimiento lunar, etc.). Mediante las ecuaciones de movimiento de Newton y la ley de gravitación universal, se pueden predecir las posiciones de los planetas con alta precisión. El descubrimiento de Neptuno se basó en las predicciones de la mecánica newtoniana.

  • Ámbito donde fracasó: Los fenómenos a escala atómica. Por ejemplo, la discretización de las líneas espectrales del átomo de hidrógeno y el patrón de interferencia en el experimento de doble rendija con electrones no pueden explicarse con la mecánica de Newton. Además, el valor preciso de la precesión del perihelio de Mercurio tampoco puede reproducirse con la mecánica newtoniana, y se requiere la relatividad general.

(b) Por qué llamamos "hipótesis" a la mecánica cuántica

La mecánica cuántica ha visto confirmadas sus predicciones durante más de 100 años en todo tipo de experimentos de física atómica, física del estado sólido, física de partículas elementales, entre otros. Sin embargo, las razones por las que aun así la llamamos "hipótesis" son las siguientes:

La mecánica cuántica y la relatividad general (el modelo de la gravedad) son extremadamente precisas cada una en su ámbito de aplicación, pero en situaciones donde ambas deben aplicarse simultáneamente (el centro de un agujero negro, el inicio del universo, etc., regiones de escala extremadamente pequeña donde la gravedad es intensa) se contradicen mutuamente. Aún no se ha encontrado un modelo de "gravedad cuántica" que unifique ambas. Por lo tanto, existe la posibilidad de que la mecánica cuántica en su forma actual sea incompleta, y podría ser posicionada en el futuro como una aproximación de un modelo más abarcador. Por muy exitosa que sea, mientras no pueda descartarse en principio la posibilidad de ser refutada, sigue siendo una "hipótesis".

(c) Qué es la falsabilidad

La falsabilidad (falsifiability) es la propiedad de que, para una afirmación dada, se pueda definir claramente "qué resultado observacional permitiría juzgar que dicha afirmación es errónea". Una hipótesis científica debe ser falsable.

La afirmación "mañana el clima será soleado, lluvioso o nublado" abarca todos los estados meteorológicos posibles, por lo que no entra en contradicción con ningún resultado observacional. Ya sea soleado, lluvioso o nublado, esta afirmación resulta "correcta". Dado que no existe forma de refutarla, esta afirmación no es falsable y carece de valor como predicción científica.

M-4. La dualidad de Einstein — fundador y crítico

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(a) Fundamentos como fundador

Hipótesis del cuanto de luz de 1905:

En aquella época, estaba establecido por la electromagnetismo de Maxwell que la luz era una onda. Sin embargo, en el efecto fotoeléctrico (fenómeno en el que al iluminar un metal se liberan electrones), el hecho experimental de que la energía de los electrones emitidos dependiera de la frecuencia y no de la intensidad de la luz no podía explicarse con la teoría ondulatoria. Einstein propuso que la luz es un conjunto de partículas (cuantos de luz, posteriormente llamados fotones) con energía \(E = h\nu\) proporcional a la frecuencia \(\nu\). Con esto explicó cuantitativamente el efecto fotoeléctrico y estableció la naturaleza corpuscular de la luz.

Predicción de la emisión estimulada en 1917:

Einstein, a partir de consideraciones de mecánica estadística sobre átomos en equilibrio térmico y el campo de radiación, demostró que además de la absorción y la emisión espontánea de luz, debía existir la emisión estimulada (proceso en el que un fotón externo induce la emisión de un fotón con la misma frecuencia, misma dirección y misma fase) para que fuera consistente con la fórmula de radiación de cuerpo negro de Planck. Esta emisión estimulada es el mecanismo que produce un estado en el que todos los fotones están coordinados, y constituye el principio de funcionamiento del láser (LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), realizado en 1960.

(b) Razones por las que se convirtió en crítico

El núcleo de la mecánica cuántica completada en la década de 1920 es una visión del mundo probabilística y no determinista: "las magnitudes físicas no tienen valores definidos hasta que se miden" y "solo se pueden predecir probabilidades". Einstein no aceptó fundamentalmente esta visión del mundo.

La frase "Dios no juega a los dados (Gott würfelt nicht)" expresa la convicción de Einstein de que en la base de la naturaleza deben existir leyes deterministas. Einstein reconocía que la mecánica cuántica proporcionaba predicciones experimentales correctas, pero consideraba que era una descripción "incompleta" y que debía existir un modelo más profundo (determinista) que determinara los valores de las magnitudes físicas antes de la medición. La posición de Einstein era que la probabilidad aparece simplemente porque estamos ignorando variables que aún no conocemos (variables ocultas).

(c) La paradoja EPR y el teorema de Bell

Einstein, en el artículo EPR de 1935, sostuvo la incompletitud de la mecánica cuántica. Argumentó que en las correlaciones entre dos partículas separadas (entrelazamiento cuántico), dado que la medición sobre una parece determinar instantáneamente el resultado de la otra, deben existir variables ocultas que fijan los valores antes de la medición. En 1964, Bell derivó la desigualdad de Bell como restricción estadística que se deduce de la hipótesis de variables ocultas. Si existen variables ocultas, las correlaciones de los resultados de medición deben satisfacer esta desigualdad. Posteriormente, experimentos (como el experimento de Aspect (1982)) confirmaron que la desigualdad de Bell se viola, y el modelo de variables ocultas locales que Einstein suponía fue refutado.

M-5. Interferencia de amplitudes de probabilidad — Análisis cuantitativo

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(a) Probabilidad combinada \(P_{12}(x)\)

\[ \phi_1 + \phi_2 = Ae^{ikr_1} + Ae^{ikr_2} = Ae^{ikr_1}\left(1 + e^{ik(r_2 - r_1)}\right) \]

Tomando el módulo al cuadrado:

\[ P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2 = A^2 \left|1 + e^{-ik\Delta r}\right|^2 \]

Aquí hemos definido \(\Delta r = r_1 - r_2\), por lo que \(r_2 - r_1 = -\Delta r\).

\[ \left|1 + e^{-ik\Delta r}\right|^2 = (1 + e^{ik\Delta r})(1 + e^{-ik\Delta r}) = 1 + e^{ik\Delta r} + e^{-ik\Delta r} + 1 \]
\[ = 2 + 2\cos(k\Delta r) \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{P_{12}(x) = 2A^2\left[1 + \cos(k\Delta r(x))\right] = 4A^2\cos^2\!\left(\frac{k\Delta r(x)}{2}\right)} \]

Solución alternativa (desarrollo directo):

\[ P_{12} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 \]
\[ = A^2 + A^2 + A^2 e^{-ikr_1}e^{ikr_2} + A^2 e^{-ikr_2}e^{ikr_1} \]
\[ = 2A^2 + A^2\left(e^{ik(r_2-r_1)} + e^{-ik(r_2-r_1)}\right) = 2A^2 + 2A^2\cos(k(r_2-r_1)) \]
\[ = 2A^2(1 + \cos(k\Delta r)) \quad (\text{aquí } r_2 - r_1 = -\Delta r \text{ por lo que } \cos(k(r_2-r_1)) = \cos(k\Delta r)) \]

El resultado es el mismo.

(b) Condición para el máximo

\(P_{12}\) es máximo cuando \(\cos(k\Delta r) = 1\), es decir:

\[ k\Delta r = 2n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
\[ \boxed{\Delta r = \frac{2n\pi}{k} \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

En este caso:

\[ \boxed{P_{12}^{\max} = 2A^2(1 + 1) = 4A^2} \]

(c) Condición para el mínimo \(0\)

\(P_{12} = 0\) cuando \(\cos(k\Delta r) = -1\), es decir:

\[ k\Delta r = (2n+1)\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
\[ \boxed{\Delta r = \frac{(2n+1)\pi}{k} \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

(d) Reescritura usando \(\lambda = 2\pi/k\)

De \(k = 2\pi/\lambda\) se obtiene \(2\pi/k = \lambda\).

Condición de interferencia constructiva (máximo):

\[ \Delta r = \frac{2n\pi}{k} = n\lambda \]
\[ \boxed{\Delta r = n\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

Condición de interferencia destructiva (mínimo):

\[ \Delta r = \frac{(2n+1)\pi}{k} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \]
\[ \boxed{\Delta r = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

Verificación: Cuando la diferencia de caminos es un múltiplo entero de la longitud de onda se produce interferencia constructiva, y cuando es un múltiplo semientero se produce interferencia destructiva. Esto coincide con las condiciones clásicas de interferencia de ondas. Además, \(P_{12}^{\max} = 4A^2 = 4 \times |\phi_1|^2\), es decir, 4 veces la probabilidad \(A^2\) proveniente de cada rendija. Esto corresponde a que la amplitud se duplica y por tanto la probabilidad se cuadruplica. ✓

Avanzado

A-1. Carácter indispensable de las amplitudes de probabilidad complejas

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(a) Condición geométrica en el caso real

Cuando \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son ambos reales, la condición de normalización es:

\[ |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = \phi_1^2 + \phi_2^2 = 1 \]

Esto representa un punto sobre la circunferencia unitaria en el plano \((\phi_1, \phi_2)\). Es decir, \((|\phi_1|, |\phi_2|)\) satisface las condiciones de un punto sobre la circunferencia unitaria en el primer cuadrante (\(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\), \(|\phi_1| \geq 0\), \(|\phi_2| \geq 0\)).

Sin embargo, dado que \(\phi_1, \phi_2\) pueden tener signo, los grados de libertad consisten únicamente en un parámetro angular (que puede escribirse como \(\phi_1 = \cos\theta\), \(\phi_2 = \pm\sin\theta\)) junto con la elección del signo (\(+\) o \(-\)) de cada amplitud.

(b) Aumento de grados de libertad en el caso complejo

En el caso complejo, podemos escribir \(\phi_1 = |\phi_1|e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = |\phi_2|e^{i\beta}\). Contemos los parámetros reales independientes:

  • \(|\phi_1|\): por la condición de normalización \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\), una vez determinado \(|\phi_1|\), \(|\phi_2|\) queda fijado → 1 parámetro
  • \(\alpha\): 1 parámetro
  • \(\beta\): 1 parámetro

Total: 3 parámetros. Sin embargo, la fase global \(e^{i\gamma}\) (\(\phi_1 \to \phi_1 e^{i\gamma}\), \(\phi_2 \to \phi_2 e^{i\gamma}\)) no es físicamente observable, por lo que se resta 1 parámetro.

Por lo tanto, los parámetros físicamente independientes son \(3 - 1 = 2\).

Caso real: \(|\phi_1|\) (1 parámetro, restringido por la normalización) y la elección de signo de cada componente. En la práctica, si escribimos \(\phi_1 = \cos\theta\), \(\phi_2 = \sin\theta\), tenemos 1 parámetro (\(\theta\)). Aunque incluyamos la libertad de signo, la diferencia de fase solo puede tomar los valores discretos \(0\) o \(\pi\), por lo que como parámetro continuo hay solo 1.

Los grados de libertad físicos en el caso complejo son 2 (por ejemplo, \(|\phi_1|\) y la fase relativa \(\alpha - \beta\)).

\[ \boxed{\text{Los grados de libertad aumentan en 1 (la fase relativa } \alpha - \beta \text{ se añade como nuevo grado de libertad continuo).}} \]

(c) Restricciones en el patrón de interferencia para el caso real

En el caso de amplitudes de probabilidad reales, el término de interferencia es:

\[ \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\phi_1\phi_2 \]

Dado que en cada punto de posición \(x\), \(\phi_1(x)\) y \(\phi_2(x)\) toman valores reales, el signo de su producto \(\phi_1(x)\phi_2(x)\) es positivo si ambos tienen el mismo signo, y negativo si tienen signos opuestos. Es decir, el término de interferencia solo puede tomar:

\[ 2\phi_1\phi_2 = \pm 2|\phi_1||\phi_2| \]

dos valores (en cada punto, es una elección binaria entre interferencia constructiva o destructiva).

Por otro lado, las franjas de interferencia observadas experimentalmente presentan un patrón continuo en el que la probabilidad varía suavemente con la posición \(x\), como una función coseno. Con amplitudes de probabilidad complejas, la diferencia de fase \(\delta(x) = k(r_1(x) - r_2(x))\) varía continuamente con la posición \(x\), y el término de interferencia se convierte en \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta(x)\), que cambia suavemente desde \(-2|\phi_1||\phi_2|\) hasta \(+2|\phi_1||\phi_2|\).

En el caso real, el término de interferencia solo puede producir patrones discontinuos (o que conmutan discretamente pasando por cero) con cambios abruptos de signo, siendo imposible reproducir las franjas de interferencia suaves de tipo \(\cos\) observadas experimentalmente.

(d) Resumen del significado físico

El significado físico de que las amplitudes de probabilidad sean complejas en mecánica cuántica reside en poseer el grado de libertad de una fase continua. La fase de un número complejo puede variar continuamente de \(0\) a \(2\pi\), lo que permite que la interferencia entre las amplitudes de probabilidad de dos caminos varíe suavemente desde constructiva hasta destructiva a través de \(\cos\delta\). Este grado de libertad de fase continua hace posibles las franjas de interferencia suaves observadas experimentalmente, la rotación de fase en la evolución temporal (\(e^{-iEt/\hbar}\)) y las correlaciones no clásicas en el entrelazamiento cuántico. Con números reales, la diferencia de fase queda restringida a los valores discretos \(0\) o \(\pi\), y no es posible reproducir las ricas predicciones de la mecánica cuántica. (200 caracteres)

A-2. De la hipótesis del cuanto de luz a la emisión estimulada — La cadena lógica de Einstein

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(a) Límites de la distribución de Boltzmann

\[ \frac{N_2}{N_1} = \exp\!\left(-\frac{E_2 - E_1}{k_B T}\right) \]

Cuando \(T \to \infty\):

\[ \frac{E_2 - E_1}{k_B T} \to 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{N_2}{N_1} \to e^0 = 1 \]
\[ \boxed{T \to \infty: \quad N_2/N_1 \to 1} \]

Significado físico: En el límite de alta temperatura, la energía térmica \(k_B T\) es suficientemente grande comparada con la diferencia de energía \(E_2 - E_1\), por lo que el estado fundamental y el estado excitado se ocupan de manera aproximadamente igual (equipartición).

Cuando \(T \to 0\):

\[ \frac{E_2 - E_1}{k_B T} \to +\infty \quad \Longrightarrow \quad \frac{N_2}{N_1} \to e^{-\infty} = 0 \]
\[ \boxed{T \to 0: \quad N_2/N_1 \to 0} \]

Significado físico: En el cero absoluto, todos los átomos caen al estado de mínima energía (estado fundamental), y el número de ocupación del estado excitado se hace cero.

(b) Obtención de \(\rho(\nu)\) a partir de la condición de equilibrio

Condición de equilibrio térmico:

\[ B'\rho(\nu) N_1 = A N_2 + B\rho(\nu) N_2 \]

Resolviendo para \(\rho(\nu)\):

\[ B'\rho(\nu) N_1 - B\rho(\nu) N_2 = A N_2 \]
\[ \rho(\nu)(B' N_1 - B N_2) = A N_2 \]
\[ \rho(\nu) = \frac{A N_2}{B' N_1 - B N_2} = \frac{A}{B'(N_1/N_2) - B} \]

Sustituyendo la distribución de Boltzmann \(N_1/N_2 = \exp\!\left(\frac{E_2 - E_1}{k_B T}\right)\). Dado que \(E_2 - E_1 = h\nu\):

\[ \boxed{\rho(\nu) = \frac{A}{B'\, e^{h\nu/(k_B T)} - B}} \]

(c) Comparación con la fórmula de Planck

Fórmula de Planck para la radiación del cuerpo negro:

\[ \rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} \]

Comparamos con el resultado de (b). Para que ambas coincidan a toda temperatura \(T\), la estructura del denominador debe coincidir.

El denominador del resultado de (b) es \(B' e^{h\nu/(k_BT)} - B\), mientras que el de la fórmula de Planck (en la forma dividida por \(A\)) corresponde a \((A \cdot c^3/(8\pi h\nu^3))(e^{h\nu/(k_BT)} - 1)\).

Para comparar directamente, reescribimos (b):

\[ \rho(\nu) = \frac{A/B}{(B'/B)\, e^{h\nu/(k_B T)} - 1} \]

Fórmula de Planck:

\[ \rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3/c^3}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} \]

Para que ambas coincidan a toda \(T\):

  1. Los coeficientes de \(e^{h\nu/(k_BT)}\) en el denominador deben coincidir: \(B'/B = 1\), es decir
\[ \boxed{B' = B} \]
  1. Los numeradores deben coincidir:
\[ \frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \]
\[ \boxed{\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}} \]

Verificación (límite \(T \to \infty\)): Cuando \(T \to \infty\), \(e^{h\nu/(k_BT)} \approx 1 + h\nu/(k_BT)\), por lo que:

Resultado de (b): \(\rho(\nu) \approx \frac{A}{B'(1 + h\nu/(k_BT)) - B} = \frac{A}{(B'-B) + B' h\nu/(k_BT)}\)

Con \(B' = B\): \(\rho(\nu) \approx \frac{A}{B \cdot h\nu/(k_BT)} = \frac{A k_B T}{B h\nu}\)

Fórmula de Planck: \(\rho(\nu) \approx \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \cdot \frac{k_BT}{h\nu} = \frac{8\pi\nu^2 k_BT}{c^3}\)

Esta es la ley de Rayleigh-Jeans, y es consistente con \(A/B = 8\pi h\nu^3/c^3\). ✓

(d) Caso en que no existe emisión estimulada (\(B = 0\))

Si hacemos \(B = 0\), la condición de equilibrio se convierte en:

\[ B'\rho(\nu) N_1 = A N_2 \]
\[ \rho(\nu) = \frac{A N_2}{B' N_1} = \frac{A}{B'} \cdot \frac{N_2}{N_1} = \frac{A}{B'}\, e^{-h\nu/(k_BT)} \]
\[ \rho(\nu) = \frac{A}{B'}\, e^{-h\nu/(k_B T)} \]

Esto tiene la forma de la ley de radiación de Wien y contradice la fórmula de Planck:

\[ \rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_BT)} - 1} \]

Concretamente:

  1. Falta el factor \(\nu^3\). En el resultado con \(B = 0\), la dependencia en frecuencia de \(\rho(\nu)\) es solo \(e^{-h\nu/(k_BT)}\), y no aparece el prefactor \(\nu^3\) contenido en la fórmula de Planck (suponiendo que \(A/B'\) no depende de \(\nu\)).

  2. Discrepancia en el límite de baja frecuencia (alta temperatura). Cuando \(h\nu \ll k_BT\), el resultado con \(B = 0\) da \(\rho(\nu) \approx A/B'\) (constante), mientras que la fórmula de Planck (y la ley de Rayleigh-Jeans confirmada experimentalmente) da \(\rho(\nu) \propto \nu^2 T\).

  3. La estructura del denominador es diferente. El denominador de la fórmula de Planck es \(e^{h\nu/(k_BT)} - 1\), pero en el caso \(B = 0\) se obtiene simplemente una exponencial \(e^{-h\nu/(k_BT)}\), sin que aparezca el término \(-1\).

Por lo tanto, la emisión estimulada (\(B \neq 0\)) es lógicamente necesaria por exigencia del equilibrio térmico. Dado que la fórmula de radiación del cuerpo negro de Planck es experimentalmente correcta, la absorción y la emisión espontánea por sí solas no pueden realizar el equilibrio térmico, y sin la emisión estimulada no se puede establecer el balance detallado entre los átomos y el campo de radiación. Einstein dedujo la existencia de un nuevo proceso físico —la emisión estimulada— únicamente a partir de la exigencia de consistencia termodinámica.

Verificación: El resultado con \(B = 0\), \(\rho \propto e^{-h\nu/(k_BT)}\), corresponde a la ley de radiación de Wien, que se sabe es una buena aproximación de la fórmula de Planck solo en el régimen de alta frecuencia (\(h\nu \gg k_BT\)). En baja frecuencia falla, por lo que \(B = 0\) no es válido en general. ✓