Cap. 1 Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Cálculo de la aceleración gravitatoria en la superficie terrestre
- B-2. Derivada de la componente \(x\) del potencial gravitatorio
- B-3. Representación vectorial del campo gravitatorio
- B-4. Superposición debida a dos masas puntuales
- B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\)
- B-6. Ecuación de Laplace en el exterior de una masa puntual
- B-7. Constante del potencial en el interior de una esfera de densidad uniforme
- B-8. Divergencia del campo gravitatorio y ecuación de Poisson
- B-9. Contradicción entre la propagación instantánea y la relatividad especial
- B-10. Estimación de los efectos relativistas en la superficie del Sol
- B-11. Estimación del parámetro relativista de una estrella de neutrones
Intermedio
- M-1. Derivación de la ecuación de Poisson a partir de la ley de Gauss
- M-2. Solución completa del potencial de una esfera de densidad uniforme
- M-3. Estimación de escala del avance del perihelio de Mercurio
- M-4. Comparación entre la ecuación de ondas y la ecuación de Poisson
Avanzado
Básico¶
B-1. Cálculo de la aceleración gravitatoria en la superficie terrestre¶
Usando la masa de la Tierra \(M_\oplus \approx 5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}\) y su radio \(R_\oplus \approx 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}\), calcula la magnitud del campo gravitatorio en la superficie \(|\mathbf{g}| = GM_\oplus/R_\oplus^2\) y verifica que coincide con la aceleración gravitatoria \(g \approx 9.8\ \mathrm{m/s^2}\) aprendida en la enseñanza secundaria.
Pista
Sustituye \(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}\) y realiza el cálculo.
B-2. Derivada de la componente \(x\) del potencial gravitatorio¶
Cuando una masa \(M\) se encuentra en el origen, el potencial gravitatorio (gravitational potential) es \(\Phi = -GM/r\). Usando coordenadas cartesianas \((x, y, z)\) con \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), calcula \(\partial \Phi / \partial x\) y obtén la componente \(x\) del campo gravitatorio \(g_x = -\partial \Phi / \partial x\).
Pista
Utiliza la regla de la cadena para derivar, empleando \(\partial r / \partial x = x/r\).
B-3. Representación vectorial del campo gravitatorio¶
Extiende el resultado de Problema B-2. Derivada de la componente \(x\) del potencial gravitatorio a las componentes \(y\) y \(z\), y demuestra en forma vectorial que \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) coincide con la expresión (1.3): \(\mathbf{g} = -GM\,\hat{\mathbf{r}}/r^2\).
Pista
Utiliza que \(\hat{\mathbf{r}} = (x/r,\; y/r,\; z/r)\).
B-4. Superposición debida a dos masas puntuales¶
Escribe el potencial gravitatorio resultante creado por dos masas puntuales \(M_1\) (ubicada en el origen) y \(M_2\) (ubicada en la posición \(\mathbf{r}_0\)), utilizando el principio de superposición (superposition principle). Además, obtén el campo gravitatorio \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\) en la posición \(\mathbf{r}\).
Pista
Dado que la ecuación de Poisson es lineal, la suma de los potenciales creados por cada masa constituye el potencial total.
B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\)¶
La parte radial del laplaciano en coordenadas esféricas \((r, \theta, \varphi)\) es
Calcula \(\nabla^2(r^n)\) para \(f(r) = r^n\) (donde \(n\) es un entero) y organiza el resultado en función del valor de \(n\).
Pista
Sustituye \(df/dr = n\,r^{n-1}\) y deriva una vez más con respecto a \(r\) la expresión \(r^2 \cdot n\,r^{n-1}\).
B-6. Ecuación de Laplace en el exterior de una masa puntual¶
Utilizando el resultado de Problema B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\), verifica que para \(\Phi = -GM/r = -GM\,r^{-1}\), se cumple \(\nabla^2 \Phi = 0\) en \(r \neq 0\). Explica por qué este resultado no contradice la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\).
Pista
Ten en cuenta que para \(r \neq 0\), la densidad de masa de una partícula puntual \(\rho = M\,\delta^3(\mathbf{r})\) es igual a cero.
B-7. Constante del potencial en el interior de una esfera de densidad uniforme¶
Supón que en el interior de una esfera (radio \(R\)) de densidad uniforme \(\rho_0\) (constante), el potencial toma la forma \(\Phi(r) = Ar^2 + B\) (\(A, B\) son constantes). Sustituyendo en la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho_0\), expresa la constante \(A\) en términos de \(G\) y \(\rho_0\).
Pista
Utiliza \(\nabla^2(r^2)\) para el caso \(n = 2\) del resultado de Problema B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\).
B-8. Divergencia del campo gravitatorio y ecuación de Poisson¶
Expresa la divergencia \(\nabla \cdot \mathbf{g}\) del campo gravitatorio \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) en términos de \(\rho\) utilizando la ecuación de Poisson.
Pista
Se puede escribir \(\nabla \cdot \mathbf{g} = \nabla \cdot (-\nabla\Phi) = -\nabla^2\Phi\).
B-9. Contradicción entre la propagación instantánea y la relatividad especial¶
En el modelo gravitatorio de Newton, si el Sol desapareciera repentinamente, la Tierra comenzaría un movimiento rectilíneo en ese mismo instante. Calcula el tiempo que tarda la luz en viajar del Sol a la Tierra (aproximadamente 8 minutos) y explica con valores numéricos concretos la contradicción entre el modelo newtoniano y la relatividad especial.
Pista
Divide la distancia Sol–Tierra \(\approx 1.5 \times 10^{11}\) m entre la velocidad de la luz \(c \approx 3.0 \times 10^8\) m/s.
B-10. Estimación de los efectos relativistas en la superficie del Sol¶
Usando la masa del Sol \(M_\odot \approx 1.99 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}\) y su radio \(R_\odot \approx 6.96 \times 10^8\ \mathrm{m}\), calcula \(GM_\odot/(R_\odot c^2)\). A partir de este valor, estima la magnitud de los efectos relativistas cerca de la superficie del Sol.
Pista
Usa \(c \approx 3.0 \times 10^8\) m/s, calcula primero el numerador \(GM_\odot\) y luego divide entre \(R_\odot c^2\).
B-11. Estimación del parámetro relativista de una estrella de neutrones¶
Para la cantidad adimensional \(GM/(Rc^2)\), utiliza los valores típicos de una estrella de neutrones (neutron star): masa \(M \approx 1.4\,M_\odot\) y radio \(R \approx 10\ \mathrm{km}\). Organiza esta cantidad como una expresión que contenga \(G\), \(M_\odot\), \(R\) y \(c\), y determina el orden de magnitud (potencia de \(10\)) del valor aproximado.
Pista
Es conveniente utilizar la relación \(GM_\odot/c^2 \approx 1.48\ \mathrm{km}\).
Intermedio¶
M-1. Derivación de la ecuación de Poisson a partir de la ley de Gauss¶
La ley de Gauss para el campo gravitatorio se escribe, para la masa total \(M_{\mathrm{enc}}\) contenida en una región \(V\) encerrada por una superficie cerrada \(S\), como
Utilizando \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) y el teorema de la divergencia (divergence theorem), deriva la ecuación de Poisson \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) a partir de esta forma integral.
Pista
Aplica el teorema de la divergencia \(\oint_S \mathbf{g} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{g}\; dV\) y utiliza \(M_{\mathrm{enc}} = \int_V \rho\; dV\). A partir del hecho de que la igualdad se cumple para cualquier volumen \(V\), obtén la forma diferencial.
M-2. Solución completa del potencial de una esfera de densidad uniforme¶
Para una esfera de radio \(R\), densidad uniforme \(\rho_0\) y masa total \(M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0\), realiza lo siguiente.
(a) Demuestra que en el exterior de la esfera (\(r > R\)) se cumple \(\Phi_{\mathrm{out}}(r) = -GM/r\), resolviendo la ecuación de Poisson con simetría esférica (con \(\rho = 0\)).
(b) Resuelve la ecuación de Poisson en el interior de la esfera (\(r < R\)) y obtén \(\Phi_{\mathrm{in}}(r)\). Utiliza las condiciones de frontera de continuidad del potencial y de su derivada \(d\Phi/dr\) en \(r = R\).
(c) Encuentra el valor de \(\Phi\) en \(r = 0\) y compáralo con el valor en la superficie \(\Phi(R)\).
Pista
En el interior, supón una forma \(\Phi = Ar^2 + B\) (utilizando el resultado de Problema B-7. Constante del potencial en el interior de una esfera de densidad uniforme) y determina \(A\) y \(B\) a partir de las dos condiciones de empalme en \(r = R\).
M-3. Estimación de escala del avance del perihelio de Mercurio¶
Para el semieje mayor de la órbita de Mercurio \(a \approx 5.79 \times 10^{10}\ \mathrm{m}\), calcula la cantidad adimensional \(GM_\odot/(ac^2)\). Discute, desde el punto de vista del análisis dimensional, cómo este valor se corresponde en orden de magnitud con el avance del perihelio de 43 segundos de arco por siglo (\(\approx 2.1 \times 10^{-7}\ \mathrm{rad}\)), que representa la "desviación respecto al modelo newtoniano".
Pista
El período orbital de Mercurio es de aproximadamente 88 días, así que estima el número de órbitas en 100 años y compara el ángulo de desviación por órbita con \(GM_\odot/(ac^2)\).
M-4. Comparación entre la ecuación de ondas y la ecuación de Poisson¶
En la ecuación de ondas del electromagnetismo
muestra a qué forma se reduce esta ecuación cuando la fuente \(\rho_e\) no varía en el tiempo (campo electrostático). Además, organiza las similitudes y diferencias estructurales con la ecuación de Poisson de Newton.
Pista
Si estableces \(\partial/\partial t = 0\), el término con la derivada temporal desaparece. Compara la ecuación restante con la ecuación de Poisson del campo electrostático.
Avanzado¶
A-1. Intento de una teoría escalar de la gravedad¶
Si añadimos una derivada temporal a la ecuación de Poisson \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\), obtenemos formalmente
lo cual constituye una "ecuación de onda gravitatoria" en la que los cambios en la gravedad se propagan a velocidad \(c_g\).
(a) Tomando \(c_g = c\) (velocidad de la luz), encuentra la relación de dispersión (dispersion relation) \(\omega(\mathbf{k})\) para la solución de onda plana \(\Phi = \Phi_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\) de esta ecuación sin fuente (\(\rho = 0\)).
(b) Aunque esta modificación resuelve el problema de la "propagación instantánea" del modelo newtoniano, en realidad esta teoría escalar (scalar) de la gravedad presenta otro problema grave. Comparando con la electrodinámica, donde el campo se describe mediante el potencial vectorial \(A^\mu\), discute físicamente las limitaciones de describir la gravedad únicamente con un potencial escalar \(\Phi\). (Pista: presta atención a la cantidad física que actúa como fuente. Recuerda que en relatividad especial la energía y el momento se unifican.)
(c) Muestra que al tomar el límite \(c_g \to \infty\) en la ecuación \((\ast)\) se recupera la ecuación de Poisson, y explica por qué esto es consistente con la afirmación de que "la gravedad newtoniana es una aproximación en el límite \(c \to \infty\)".
Pista
(a) Sustituye la onda plana y obtén la relación entre \(\omega\) y \(|\mathbf{k}|\). (b) Considera que en relatividad especial la fuente de la gravedad debe ser el tensor de energía-momento (energy-momentum tensor) \(T^{\mu\nu}\). Discute por qué el escalar \(\rho\) por sí solo es insuficiente. (c) Basta con tomar \(1/c_g^2 \to 0\).
A-2. Teorema de la corteza esférica y fuerza de marea¶
Demuestra que el potencial gravitatorio \(\Phi\) es constante en la cavidad interior (\(r < R_1\)) de una corteza esférica de densidad uniforme (radio interior \(R_1\), radio exterior \(R_2\)), a partir de la ecuación de Poisson y las condiciones de contorno apropiadas (teorema de la corteza esférica de Newton, shell theorem).
Además, utilizando este resultado, discute lo siguiente:
(a) Si se coloca un objeto de masa \(m\) en una posición \(\mathbf{r}_0\) ligeramente desplazada del centro de la corteza esférica, ¿es nula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el objeto? Explica la razón.
(b) Si la corteza esférica no es perfectamente esféricamente simétrica sino que está ligeramente deformada en forma de elipsoide, el potencial en el interior de la cavidad deja de ser constante. Discute cualitativamente las propiedades del campo gravitatorio que surge en el interior de la cavidad y explica cómo se relaciona esto con el concepto de fuerza de marea (tidal force). (Pista: en relatividad general, la fuerza de marea se describe como curvatura del espacio-tiempo (curvature). ¿Cuál es su análogo en la gravedad newtoniana?)
Pista
En el interior de la corteza esférica \(\rho = 0\), por lo que \(\nabla^2\Phi = 0\). La única solución esféricamente simétrica que es regular en \(r = 0\) es una constante. En (b), observa que las derivadas segundas de \(\Phi\) (la variación espacial del campo gravitatorio) corresponden a la fuerza de marea.
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