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Apéndice B Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Antisimetría de las transformaciones de Lorentz infinitesimales

Sustituye la transformación de Lorentz infinitesimal \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) en la condición de preservación de la métrica

\[ \Lambda^\mu{}_\alpha\,\Lambda^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu} \]

y, conservando solo los términos hasta primer orden en \(\omega\), demuestra que \(\omega_{\mu\nu} + \omega_{\nu\mu} = 0\) (antisimetría).

Pista

Sustituye \(\Lambda^\mu{}_\alpha = \delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha\) y desarrolla, descartando los términos de segundo orden en \(\omega\): \(\omega^\mu{}_\alpha \omega^\nu{}_\beta \eta^{\alpha\beta}\). Utiliza identidades como \(\delta^\mu{}_\alpha \eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\beta}\) y baja los índices con \(\omega^{\mu\nu} = \omega^\mu{}_\alpha \eta^{\alpha\nu}\) para simplificar.

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B-2. Verificación de los elementos de matriz de los generadores

Usando la definición de la ecuación (B.10)

\[ (M^{[\rho\sigma]})^{\mu}{}_{\nu} = \eta^{\rho\mu}\,\delta^{\sigma}{}_{\nu} - \eta^{\sigma\mu}\,\delta^{\rho}{}_{\nu} \]

escribe todas las componentes de la matriz \(4 \times 4\) de \(M^{[23]}\) (el generador de rotaciones en el plano \(yz\)). Usa la métrica \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\).

Pista

Tomando \(\rho = 2, \sigma = 3\), calcula \((M^{[23]})^\mu{}_\nu = \eta^{2\mu}\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\delta^2{}_\nu\) para cada combinación de \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\). Ten en cuenta que \(\eta^{2\mu}\) vale \(+1\) solo cuando \(\mu = 2\), y es \(0\) en los demás casos.

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B-3. Representación matricial del generador de boost \(K^2 = M^{[02]}\)

Calcula la representación matricial \(4 \times 4\) de \(K^2 = M^{[02]}\) a partir de la ecuación (B.10), y verifica que la transformación infinitesimal del boost en la dirección \(y\)

\[ \Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \phi\,(M^{[02]})^\mu{}_\nu \]

da \(t' \approx t - \phi\, y\), \(y' \approx y - \phi\, t\) (con \(x, z\) invariantes).

Pista

Calcula \((M^{[02]})^\mu{}_\nu = \eta^{0\mu}\delta^2{}_\nu - \eta^{2\mu}\delta^0{}_\nu\). Ten en cuenta que \(\eta^{00} = -1\). Sustituye la matriz obtenida en \(x'^\mu = (\delta^\mu{}_\nu + \phi\,(M^{[02]})^\mu{}_\nu)\,x^\nu\) y lee cada componente.

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B-4. Cálculo directo de las relaciones de conmutación de los generadores de rotación

Utilizando la representación en matrices \(4 \times 4\) (B.11), calcula directamente el conmutador \([J^3, J^1]\) de \(J^3 = M^{[12]}\) y \(J^1 = M^{[23]}\) (obtenido en D2) como producto de matrices, y verifica que se cumple \([J^3, J^1] = iJ^2\). Para ello, obtén también la matriz de \(J^2 = M^{[31]}\) a partir de la ecuación (B.10).

Pista

Calcula el producto de matrices \(4 \times 4\) componente a componente: \(J^3 \cdot J^1 - J^1 \cdot J^3\). Como hay pocas componentes no nulas, resulta eficiente centrarse únicamente en las columnas que no son cero. \(M^{[31]}\) se obtiene de la ecuación (B.10) con \(\rho = 3, \sigma = 1\) (o alternativamente, usando \(\rho = 1, \sigma = 3\) y la relación \(M^{[13]} = -M^{[31]}\)).

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B-5. Recuperación de los generadores de rotación usando el símbolo de Levi-Civita

Usando la definición \(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\), verifica que \(J^1\), \(J^2\), \(J^3\) son iguales a \(M^{[23]}\), \(M^{[31]}\), \(M^{[12]}\) respectivamente (desarrolla prestando atención a la convención de suma).

Pista

En \(J^1 = \frac{1}{2}\varepsilon^{1jk}M^{[jk]}\), los únicos casos en que \(\varepsilon^{1jk} \neq 0\) son \((j,k) = (2,3)\) y \((3,2)\). Como \(M^{[jk]}\) se define para \(j < k\), se usa \(M^{[32]} = -M^{[23]}\), y ten en cuenta que \(\varepsilon^{132} = -1\).

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B-6. \(\mathbf{J}_+\) と \(\mathbf{J}_-\) から \(\mathbf{J}\), $\mathbf{K}…

A partir de las definiciones de la ecuación (B.18)

\[ \mathbf{J}_+ = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2}, \qquad \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} \]

resuélvelas de forma inversa y expresa \(\mathbf{J}\) y \(\mathbf{K}\) en términos de \(\mathbf{J}_+\) y \(\mathbf{J}_-\).

Pista

Es simple álgebra lineal: solo hay que sumar o restar las dos ecuaciones. Calcula \(\mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-\) y \(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-\).

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B-7. Cálculo de la dimensión de representaciones

Para cada una de las siguientes representaciones \((j_+, j_-)\) del grupo de Lorentz, calcula la dimensión del espacio de representación \((2j_+ + 1)(2j_- + 1)\):

(a) \((1, 0)\)　　(b) \((1, 1)\)　　(c) \((3/2, 0)\)　　(d) \((1/2, 1)\)

Pista

La dimensión de la representación de espín \(j\) de \(\mathrm{SU}(2)\) es \(2j + 1\). Solo tienes que calcular para cada \(j_+\) y \(j_-\), y tomar el producto.

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B-8. Verificación de \([K^1, K^2] = -iJ^3\)

Usando la representación matricial \(4 \times 4\), calcula directamente \([K^1, K^2]\) (es decir, \([M^{[01]}, M^{[02]}]\)) y verifica que el resultado es igual a \(-iJ^3 = -iM^{[12]}\).

Pista

\(M^{[01]}\) está dado por la ecuación (B.12). \(M^{[02]}\) es el que obtuviste en D3. Calcula el producto de matrices \(M^{[01]}M^{[02]} - M^{[02]}M^{[01]}\). Sin embargo, ten en cuenta que los generadores \(M^{[\rho\sigma]}\) del texto no son hermíticos, por lo que debes prestar atención al manejo del factor \(i\). Sé consciente de la diferencia entre la convención en la que la transformación de Lorentz se escribe como \(\Lambda = \exp(i\omega_{\rho\sigma}M^{\rho\sigma}/2)\) y la convención en la que se escribe como \(\Lambda = \exp(\omega_{\rho\sigma}\mathcal{J}^{\rho\sigma}/2)\). En el texto se adopta la forma de la ecuación (B.14), \(\Lambda = \exp(i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J} + i\boldsymbol{\phi}\cdot\mathbf{K})\), por lo que las relaciones de conmutación llevan el factor \(i\).

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Intermedio

M-1. Derivación completa de \([J^i_+, J^j_-] = 0\)

Expande \([J^i_+, J^j_-]\) usando las definiciones de la ecuación (B.18), sustituye las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz (B.15)–(B.17), y demuestra que todos los términos se cancelan dando cero. Muestra explícitamente cada término intermedio.

Pista

Calcula \([J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] + [K^i, K^j])\). Para el tercer término \([K^i, J^j]\), invierte el signo de \([J^j, K^i]\) y usa (B.16). Ten en cuenta que \(\varepsilon^{jik} = -\varepsilon^{ijk}\).

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M-2. Forma explícita de los generadores de boost en la representación \((1/2, 0)\)

En la representación de espinor de Weyl levógiro \((j_+, j_-) = (1/2, 0)\), \(\mathbf{J}_+\) se representa mediante la representación de espín \(1/2\) (\(\boldsymbol{\sigma}/2\), donde \(\boldsymbol{\sigma}\) son las matrices de Pauli) y \(\mathbf{J}_- = 0\).

(a) Usando \(\mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-\) y \(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\), expresa los generadores de rotación \(\mathbf{J}\) y los generadores de boost \(\mathbf{K}\) en esta representación en términos de las matrices de Pauli.

(b) Calcula la matriz \(2 \times 2\) \(\Lambda_L = \exp(i\phi K^3)\) que realiza un boost con rapidez \(\phi\) en la dirección \(z\), y expresa el resultado en términos de funciones hiperbólicas.

(c) Verifica que la \(\Lambda_L\) obtenida no es unitaria y explica su significado físico.

Pista

(a) Sustituye \(\mathbf{J}_+ = \boldsymbol{\sigma}/2\), \(\mathbf{J}_- = 0\) en \(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\). (b) Calcula \(e^{i\phi K^3} = e^{i\phi \cdot (-i\sigma^3/2)} = e^{\phi\sigma^3/2}\) usando el carácter diagonal de \(\sigma^3\). (c) La exponencial de una matriz hermítica no es unitaria. Relaciónalo con el hecho de que los boosts son transformaciones no compactas.

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M-3. Correspondencia entre la representación \((1/2, 1/2)\) y los cuadrivectores

La representación \((1/2, 1/2)\) puede identificarse con el espacio de matrices hermitianas \(2 \times 2\). Para cualquier cuadrivector \(V^\mu\), se define

\[ \tilde{V} = V^\mu \sigma_\mu = \begin{pmatrix} V^0 + V^3 & V^1 - iV^2 \\ V^1 + iV^2 & V^0 - V^3 \end{pmatrix} \]

(donde \(\sigma_\mu = (\mathbf{1}, \boldsymbol{\sigma})\)).

(a) Demuestra que \(\det \tilde{V} = -(V^\mu V_\mu)\) (cambio de signo de la norma de Minkowski).

(b) Explica que las transformaciones de Lorentz se realizan en la forma \(\tilde{V} \to M\,\tilde{V}\,M^\dagger\) (con \(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)), y verifica que \(\det \tilde{V}\) es invariante.

Pista

(a) Calcula directamente el determinante de la matriz \(2 \times 2\). (b) Usa \(\det(M\tilde{V}M^\dagger) = |\det M|^2 \det \tilde{V}\) y la condición de \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\): \(\det M = 1\).

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M-4. Demostración cuantitativa de por qué el espín \(1/3\) está prohibido

En una representación irreducible de \(\mathrm{SU}(2)\), demuestra que \(J^2 = j(j+1)\mathbf{1}\) y que los valores propios de \(J_3\) son \(m = -j, -j+1, \ldots, j-1, j\), partiendo de las propiedades de los operadores de ascenso y descenso \(J_\pm = J_1 \pm iJ_2\):

\[ J_\pm |j, m\rangle = \sqrt{j(j+1) - m(m \pm 1)}\,|j, m \pm 1\rangle \]

y de las condiciones \(J_+ |j, j\rangle = 0\), \(J_- |j, -j\rangle = 0\). En particular, muestra que \(2j\) debe ser un entero no negativo.

Pista

A partir de \(J_+|j,j\rangle = 0\), verifica que \(j(j+1) - j(j+1) = 0\). Del requisito de que la norma del estado obtenido al aplicar \(J_-\) un total de \(n\) veces sea no negativa, se deduce que \(j - n \geq -j\), es decir, \(n \leq 2j\). Como \(n\) es un entero no negativo, \(2j\) también debe ser un entero no negativo.

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Avanzado

A-1. Grupo de recubrimiento del grupo de Lorentz \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) y rotación de \(2\pi\) de espinores

\(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) es el grupo de recubrimiento universal del grupo de Lorentz \(SO^+(1,3)\), y existe un homomorfismo 2 a 1 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \to SO^+(1,3)\).

(a) Para la matriz de rotación de espinores de Weyl levógiros \(U(\theta) = \exp(i\theta J^3)\) (\(J^3 = \sigma^3/2\)) obtenida en S2, demuestra que cuando \(\theta = 2\pi\) el signo del espinor se invierte (\(U(2\pi) = -\mathbf{1}\)).

(b) Por otro lado, en la representación de cuadrivectores (representación \((1/2, 1/2)\) de S3), dado que \(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\), verifica que cuando \(M = -\mathbf{1}\), \(\tilde{V}\) permanece invariante, y explica concretamente la correspondencia 2 a 1 \(\pm M \to \Lambda\).

(c) Discute cómo este resultado se corresponde con el hecho físico de que "una partícula de espín \(1/2\) adquiere una fase \(-1\) bajo una rotación de \(360°\)", incluyendo la relación con la discusión del momento angular en mecánica cuántica (capítulo N).

Pista

(a) Calcula \(e^{i\cdot 2\pi \cdot \sigma^3/2} = e^{i\pi\sigma^3}\). Los valores propios de \(\sigma^3\) son \(\pm 1\), así que \(e^{i\pi\sigma^3} = \cos\pi\,\mathbf{1} + i\sin\pi\,\sigma^3\)... en realidad no, sino que como matriz diagonal usa directamente \(e^{i\pi} = -1\). (b) Verifica que \((-\mathbf{1})\tilde{V}(-\mathbf{1})^\dagger = \tilde{V}\). (c) Discute la relación entre representaciones proyectivas y el grupo de recubrimiento universal.

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A-2. Representación \((1, 0) \oplus (0, 1)\) y el tensor del campo electromagnético

El tensor del campo electromagnético \(F^{\mu\nu}\) es un tensor antisimétrico de rango 2 y posee 6 componentes independientes.

(a) Demuestra que la parte autodual \(F^+_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(F_{\mu\nu} + \frac{i}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma})\) y la parte anti-autodual \(F^-_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(F_{\mu\nu} - \frac{i}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma})\) de \(F^{\mu\nu}\) pertenecen respectivamente a las representaciones \((1, 0)\) y \((0, 1)\) del grupo de Lorentz, investigando las propiedades de transformación de \(\mathbf{E} \pm i\mathbf{B}\).

(b) Confirma mediante conteo de dimensiones que \(F^{\mu\nu}\) en su totalidad constituye la representación \((1, 0) \oplus (0, 1)\), y explica cómo esta descomposición es consistente con la condición de que \(F^+\) y \(F^-\) son complejos conjugados entre sí bajo transformaciones de Lorentz reales.

(c) Utilizando este resultado, interpreta la simetría de las ecuaciones de Maxwell en el vacío (dualidad electromagnética (electromagnetic duality)) en el lenguaje de la teoría de representaciones de Lorentz.

Pista

(a) Calcula cómo se transforman las combinaciones de campo eléctrico y magnético \(\mathbf{F}_\pm = \mathbf{E} \pm i\mathbf{B}\) bajo boosts. Demuestra que \(\mathbf{J}_+\) actúa únicamente sobre \(\mathbf{F}_+\) y \(\mathbf{J}_-\) actúa únicamente sobre \(\mathbf{F}_-\). (b) \((1,0)\) es de dimensión 3, \((0,1)\) también es de dimensión 3, sumando un total de 6 dimensiones. La condición de realidad \((F^+)^* = F^-\) proporciona 6 componentes reales. (c) Conecta el hecho de que la transformación \(\mathbf{F}_+ \to e^{i\alpha}\mathbf{F}_+\) preserva las ecuaciones de Maxwell sin fuentes con que la rotación de fase en el espacio de la representación \((1,0)\) corresponde a la rotación dual.

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