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Cap. 1 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Experimentar la pequeñez de la constante de Planck

Se toma como frecuencia representativa de la luz visible \(\nu = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\). Calcula la energía de un solo fotón \(E = h\nu\) en unidades del SI (J) y conviértela a electronvoltios (eV). Usa \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\) y \(1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}\).

Pista

Sustituye los valores numéricos en \(E = h\nu\) y para la conversión a eV utiliza \(E\;[\mathrm{eV}] = E\;[\mathrm{J}] / (1.602 \times 10^{-19})\).

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B-2. Función de trabajo y frecuencia umbral

La función de trabajo del sodio (Na) es \(W = 2.28\;\mathrm{eV}\). Determina la frecuencia umbral \(\nu_0\) para que ocurra el efecto fotoeléctrico. Además, calcula la longitud de onda umbral correspondiente \(\lambda_0\) en unidades de nm. Considera \(c = 3.00 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\).

Pista

La condición umbral es \(h\nu_0 = W\). La relación con la longitud de onda es \(c = \lambda_0 \nu_0\). Convierte \(W\) a J antes de sustituir.

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B-3. Energía cinética en el efecto fotoeléctrico

Se ilumina un metal con función de trabajo \(W = 4.50\;\mathrm{eV}\) con luz ultravioleta de longitud de onda \(\lambda = 200\;\mathrm{nm}\). Determina la energía cinética máxima \(K\) de los electrones emitidos en unidades de eV.

Pista

La energía del fotón se obtiene mediante \(E = hc/\lambda\). Usar \(hc \simeq 1240\;\mathrm{eV \cdot nm}\) facilita el cálculo. Luego se aplica \(K = E - W\).

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B-4. Cálculo de longitud de onda mediante la fórmula de Rydberg

Utilizando la fórmula de Rydberg (1.6), calcula la longitud de onda \(\lambda\) en unidades de nm de la línea espectral correspondiente a \(m = 3\) dentro de la serie de Balmer (\(n = 2\)) del átomo de hidrógeno. Toma \(R_\infty = 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}\).

Pista
\[\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right)\]

Sustituye los valores numéricos y obtén \(\lambda\).

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B-5. Condición de cuantización de Bohr y radio orbital

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el equilibrio de fuerzas en el movimiento circular del electrón (fuerza de Coulomb = fuerza centrípeta) viene dado por

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \]

Combinando esto con la condición de cuantización de Bohr \(m_e v r = n\hbar\), expresa el radio de la \(n\)-ésima órbita \(r_n\) en función de \(n\), \(\hbar\), \(m_e\), \(e\) y \(\varepsilon_0\).

Pista

A partir de la condición de cuantización obtén \(v = n\hbar/(m_e r)\), sustitúyelo en la ecuación de equilibrio de fuerzas y resuelve para \(r\).

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B-6. Cálculo numérico del radio de Bohr

Al resultado de D5 con \(n = 1\) se le denomina radio de Bohr \(a_0\). Utilizando las siguientes constantes, calcula el valor de \(a_0\) con 3 cifras significativas.

  • \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\)
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\;\mathrm{kg}\)
  • \(e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}\)
  • \(4\pi\varepsilon_0 = 1.113 \times 10^{-10}\;\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}\)
Pista
\[a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\]

Sustituye los valores numéricos. La respuesta debería ser del orden de \(10^{-10}\;\mathrm{m}\).

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B-7. Límite de la distribución de Planck

Respecto a la fórmula de la energía promedio de Planck

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / k_B T} - 1} \]

demuestra que en el límite \(h\nu \ll k_B T\) se obtiene \(\langle E \rangle \simeq k_B T\), utilizando la aproximación \(e^x \simeq 1 + x\) (\(x \ll 1\)).

Pista

Si defines \(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\), el denominador se convierte en \(e^x - 1 \simeq x\).

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B-8. Comparación del factor de Boltzmann

A una temperatura \(T = 6000\;\mathrm{K}\) (aproximadamente la temperatura de la superficie solar), calcula el factor de Boltzmann \(e^{-h\nu / k_B T}\) para cada una de las siguientes dos frecuencias.

(a) Luz visible: \(\nu_1 = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)

(b) Luz ultravioleta: \(\nu_2 = 3.0 \times 10^{15}\;\mathrm{Hz}\)

Compara los resultados y verifica cómo los modos de alta frecuencia quedan suprimidos.

Pista

Primero calcula \(k_B T\) (con \(k_B = 1.38 \times 10^{-23}\;\mathrm{J/K}\)), luego obtén \(h\nu/(k_B T)\) y finalmente evalúa la función exponencial.

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Intermedio

M-1. Derivación de los niveles de energía del átomo de hidrógeno mediante el modelo de Bohr

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, deriva los niveles de energía \(E_n\) siguiendo los pasos indicados a continuación.

(a) Combina el equilibrio de fuerzas en el movimiento circular del electrón (fuerza de Coulomb = fuerza centrípeta) con la condición de cuantización de Bohr \(L = n\hbar\), y obtén el radio \(r_n\) y la velocidad \(v_n\) de la \(n\)-ésima órbita.

(b) Expresa la energía total del electrón (energía cinética + energía potencial de Coulomb) en función de \(r_n\) y deriva

\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{*} \]

(c) Utilizando la condición de frecuencia \(h\nu = E_m - E_n\) y \(c = \lambda\nu\), reproduce la fórmula de Rydberg (1.6) y expresa la constante de Rydberg \(R_\infty\) en términos de las constantes fundamentales.

Pista

(a) Obtén \(r_n\) siguiendo el mismo procedimiento que en D5, y sustitúyelo de vuelta en la condición de cuantización para obtener \(v_n\). (b) La energía cinética es \(\frac{1}{2}m_e v_n^2\) y la energía potencial es \(-e^2/(4\pi\varepsilon_0 r_n)\). Usando la relación del equilibrio de fuerzas \(\frac{1}{2}m_e v_n^2 = e^2/(8\pi\varepsilon_0 r_n)\), la expresión se simplifica. (c) Reorganiza escribiendo \(1/\lambda = \nu/c\).

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M-2. Determinación de la constante de Planck a partir de datos experimentales del efecto fotoeléctrico

En un experimento del efecto fotoeléctrico, se ilumina un metal con luz de diversas frecuencias \(\nu\) y se mide la energía cinética máxima \(K\) de los electrones emitidos. Supón que se obtienen los siguientes datos:

\(\nu\;[10^{14}\;\mathrm{Hz}]\) \(K\;[\mathrm{eV}]\)
6.0 0.21
7.5 0.83
9.0 1.45
10.5 2.07

(a) Dibuja el esquema del gráfico de \(K\) como función de \(\nu\) y verifica que se cumple la relación lineal \(K = h\nu - W\).

(b) A partir de los datos, determina el valor de la constante de Planck \(h\) en unidades de eV·s.

(c) Determina la función de trabajo \(W\) de este metal en unidades de eV.

(d) Convierte el valor obtenido de \(h\) a unidades del SI (J·s) y compáralo con el valor de la literatura \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\).

Pista

(b) La pendiente de la recta corresponde a \(h\). Basta con elegir dos puntos y calcular \(\Delta K / \Delta \nu\). (c) Puedes obtener \(W = h\nu_0\) a partir de la intersección con el eje \(\nu\) (la frecuencia \(\nu_0\) para la cual \(K = 0\)), o leerlo directamente de la intersección con el eje \(K\).

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M-3. Estimación del orden de magnitud del tiempo de colapso atómico clásico

En la electrodinámica clásica, la energía radiada por unidad de tiempo por una carga \(e\) que se mueve con aceleración \(a\) (fórmula de Larmor) viene dada por

\[ P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]

Suponiendo que el electrón del átomo de hidrógeno se encuentra en una órbita circular de radio igual al radio de Bohr \(a_0 \simeq 5.3 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}\), determina lo siguiente:

(a) Expresa la aceleración centrípeta \(a\) del electrón en términos de \(a_0\), \(m_e\), \(e\), \(\varepsilon_0\) a partir del equilibrio de fuerzas, y calcula su valor numérico.

(b) Calcula la potencia radiada \(P\) utilizando la fórmula de Larmor.

(c) Utilizando la energía total del electrón \(E_1 = -13.6\;\mathrm{eV}\), estima el tiempo de colapso clásico \(\tau\) a partir del orden de magnitud de \(|E_1|/P\), y verifica que es consistente con \(\tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s}\) de la ecuación (1.5).

Pista

(a) Se obtiene \(a\) a partir de la fuerza de Coulomb \(F = e^2/(4\pi\varepsilon_0 a_0^2)\) y \(F = m_e a\). (c) Convierte la energía a J antes de dividir por \(P\). No se trata de un cálculo riguroso del tiempo de colapso, pero basta con que el orden de magnitud coincida.

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M-4. Límite de alta frecuencia de la distribución de Planck y la ley de Wien

La radiancia espectral del cuerpo negro de Planck (por unidad de frecuencia) viene dada por

\[ B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \]

(a) Demuestra que en el límite \(h\nu \gg k_B T\) se obtiene \(B(\nu, T) \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} e^{-h\nu/k_B T}\) (ley de radiación de Wien).

(b) Demuestra que la frecuencia \(\nu_{\max}\) para la cual \(B(\nu, T)\) es máxima es proporcional a la temperatura \(T\) (ley de desplazamiento de Wien: \(\nu_{\max} \propto T\)), reescribiendo \(\partial B / \partial \nu = 0\) en términos de \(x = h\nu/(k_B T)\). (No es necesario resolver la ecuación trascendente; basta con mostrar que \(x\) resulta ser una constante.)

Pista

(a) Cuando \(h\nu \gg k_B T\), se tiene \(e^{h\nu/k_B T} \gg 1\), por lo que se puede despreciar el \(-1\) en el denominador. (b) Al sustituir \(x = h\nu/(k_B T)\), la condición \(\partial B / \partial \nu = 0\) se convierte en una ecuación trascendente que depende únicamente de \(x\). Del hecho de que \(x\) es una constante independiente de \(T\), se deduce que \(\nu_{\max} = (\text{constante}) \times k_B T / h\).

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Avanzado

A-1. Derivación de la ley de Rayleigh–Jeans mediante el teorema clásico de equipartición y la catástrofe ultravioleta

Consideremos el número de modos de ondas estacionarias del campo electromagnético existente en una cavidad cúbica de lado \(L\).

(a) Demuestra que el número de modos (incluyendo los 2 grados de libertad de polarización) en el rango de número de onda de \(k\) a \(k + dk\) es

\[ g(k)\,dk = \frac{V}{\pi^2} k^2\,dk \]

donde \(V = L^3\) es el volumen de la cavidad. (Utiliza como condiciones de contorno \(k_x = n_x \pi / L\), \(k_y = n_y \pi / L\), \(k_z = n_z \pi / L\) (\(n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots\)) en cada dirección.)

(b) Utilizando la relación \(k = 2\pi\nu/c\), reescribe el número de modos en el rango de frecuencia de \(\nu\) a \(\nu + d\nu\) como

\[ g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu \]

(c) Asignando a cada modo la energía media \(k_B T\) según el teorema clásico de equipartición, demuestra que la densidad espectral de energía por unidad de volumen \(u(\nu, T)\) es

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \]

(ley de Rayleigh–Jeans).

(d) Demuestra que al integrar \(u(\nu, T)\) desde \(\nu = 0\) hasta \(\infty\) el resultado diverge, y explica que esto constituye la catástrofe ultravioleta.

(e) Explica cualitativamente por qué, al utilizar la energía media de Planck \(\langle E \rangle = h\nu/(e^{h\nu/k_B T} - 1)\) en lugar del teorema de equipartición, la densidad total de energía resulta finita.

Pista

(a) En el primer octante del espacio \(k\) (\(n_x, n_y, n_z > 0\)), toma \(1/8\) del volumen de la capa esférica de radio \(k\), es decir \(4\pi k^2 dk\), multiplica por la densidad de puntos de red \((\pi/L)^{-3}\), y duplica por las dos polarizaciones. (d) \(\int_0^\infty \nu^2 d\nu\) diverge. (e) A altas frecuencias \(\langle E \rangle\) decrece exponencialmente, por lo que la integral de \(\nu^2 \cdot \langle E \rangle\) converge.

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A-2. Generalización del modelo de Bohr: iones hidrogenoides y principio de correspondencia

Se aplica el modelo de Bohr a un ion hidrogenoide (número atómico \(Z\), un solo electrón).

(a) Considerando que la carga del núcleo es \(Ze\), deduce el radio de la \(n\)-ésima órbita \(r_n\) y el nivel de energía \(E_n\) en función de \(Z\).

(b) Calcula la energía y el radio orbital del estado fundamental (\(n = 1\)) del \(\mathrm{He^+}\) (\(Z = 2\)) y compáralos con los del átomo de hidrógeno.

(c) Principio de correspondencia de Bohr (correspondence principle): Demuestra que, cuando el número cuántico \(n\) es suficientemente grande, la frecuencia \(\nu_{n \to n-1}\) de la luz emitida en la transición entre niveles adyacentes coincide con la frecuencia clásica de rotación \(f_n\) del electrón en la \(n\)-ésima órbita. Es decir, verifica que en el límite \(n \gg 1\)

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq f_n \]
Pista

(a) Solo cambia la fuerza de Coulomb a \(Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\). Se sigue el mismo procedimiento que en S1 incluyendo \(Z\) en el cálculo. (c) Calcula \(\nu_{n \to n-1} = (E_n - E_{n-1})/h\) y utiliza la aproximación \((1/(n-1)^2 - 1/n^2) \simeq 2/n^3\) para \(n \gg 1\). La frecuencia clásica de rotación se obtiene como \(f_n = v_n/(2\pi r_n)\).

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