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Apéndice A Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Multiplicación de números complejos

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Problema:

Expresa los siguientes productos en la forma \(a + bi\).

(a) \((2 + 3i)(4 - i)\)

(b) \((1 + i)^3\)

(c) \((-2 + i)(3 + 2i)\)

(a) \((2 + 3i)(4 - i)\):

Estrategia: Expandir normalmente y sustituir \(i^2 = -1\).

\[ (2 + 3i)(4 - i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i) \]
\[ = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i - 3(-1) = 8 + 10i + 3 \]
\[ \boxed{11 + 10i} \]

Verificación: Comprobamos mediante el producto de los módulos. \(|2+3i|^2 = 4+9 = 13\), \(|4-i|^2 = 16+1 = 17\). El cuadrado del módulo del producto es \(13 \times 17 = 221\). Resultado: \(|11+10i|^2 = 121 + 100 = 221\). ✓

(b) \((1 + i)^3\):

Primero calculamos \((1+i)^2\).

\[ (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \]

Luego multiplicamos por \((1+i)\).

\[ (1+i)^3 = 2i \cdot (1+i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 \]
\[ \boxed{-2 + 2i} \]

Verificación: \(|1+i|^2 = 2\), por lo que \(|1+i|^6 = 8\). \(|-2+2i|^2 = 4+4 = 8\). ✓

(c) \((-2 + i)(3 + 2i)\):

\[ (-2+i)(3+2i) = -6 - 4i + 3i + 2i^2 = -6 - i + 2(-1) = -6 - i - 2 \]
\[ \boxed{-8 - i} \]

Verificación: \(|-2+i|^2 = 4+1=5\), \(|3+2i|^2 = 9+4=13\). Producto \(= 65\). \(|-8-i|^2 = 64+1=65\). ✓

B-2. División de números complejos

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Problema:

Simplifica los siguientes cocientes en la forma \(a + bi\).

(a) \(\dfrac{2 + i}{1 + 3i}\)

(b) \(\dfrac{5}{2 - i}\)

(c) \(\dfrac{1 + 2i}{3 - 4i}\)

(a) \(\dfrac{2 + i}{1 + 3i}\):

Estrategia: Multiplicar numerador y denominador por el conjugado complejo del denominador \(1 - 3i\) para hacer el denominador real.

\[ \frac{2+i}{1+3i} \cdot \frac{1-3i}{1-3i} = \frac{(2+i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} \]

Denominador: \((1+3i)(1-3i) = 1 + 9 = 10\)

Numerador: \((2+i)(1-3i) = 2 - 6i + i - 3i^2 = 2 - 5i + 3 = 5 - 5i\)

\[ \boxed{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i} \]

Verificación: \(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right)(1+3i) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i - \frac{1}{2}i - \frac{3}{2}i^2 = \frac{1}{2} + i + \frac{3}{2} = 2 + i\). ✓

(b) \(\dfrac{5}{2 - i}\):

\[ \frac{5}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i} = \frac{5(2+i)}{4+1} = \frac{10+5i}{5} \]
\[ \boxed{2 + i} \]

Verificación: \((2+i)(2-i) = 4+1 = 5\). ✓

(c) \(\dfrac{1 + 2i}{3 - 4i}\):

\[ \frac{1+2i}{3-4i} \cdot \frac{3+4i}{3+4i} = \frac{(1+2i)(3+4i)}{9+16} \]

Numerador: \((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)

\[ \frac{-5+10i}{25} = \boxed{-\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i} \]

Verificación: \(\left(-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\right)(3-4i) = -\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i+\frac{6}{5}i-\frac{8}{5}i^2 = -\frac{3}{5}+\frac{10}{5}i+\frac{8}{5} = \frac{5}{5}+2i = 1+2i\). ✓

B-3. Valor absoluto y conjugado complejo

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Problema:

Para cada uno de los siguientes números complejos, encuentra el conjugado complejo \(z^*\) y el valor absoluto \(|z|\).

(a) \(z = 5 - 12i\)

(b) \(z = -3i\)

(c) \(z = -2 + 2i\)

(d) \(z = 7\) (número real)

(a) \(z = 5 - 12i\):

\[ z^* = 5 + 12i, \qquad |z| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = \boxed{13} \]

Verificación: \(zz^* = (5-12i)(5+12i) = 25 + 144 = 169 = 13^2 = |z|^2\). ✓

(b) \(z = -3i\):

\[ z^* = 3i, \qquad |z| = \sqrt{0 + 9} = \boxed{3} \]

Verificación: \(zz^* = (-3i)(3i) = -9i^2 = 9 = 3^2\). ✓

(c) \(z = -2 + 2i\):

\[ z^* = -2 - 2i, \qquad |z| = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \boxed{2\sqrt{2}} \]

Verificación: \(zz^* = (-2+2i)(-2-2i) = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2\). ✓

(d) \(z = 7\):

\[ z^* = 7, \qquad |z| = \sqrt{49} = \boxed{7} \]

El conjugado complejo de un número real es él mismo. \(zz^* = 49 = |z|^2\). ✓

B-4. Conversión a forma polar

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Problema:

Expresa los siguientes números complejos en forma polar \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Da el argumento \(\theta\) en el rango \(-\pi < \theta \leq \pi\).

(a) \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\)

(b) \(z = -2\)

(c) \(z = -1 - i\)

(d) \(z = 3i\)

(a) \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\):

\[ r = \sqrt{1 + 3} = 2 \]

\(\tan\theta = \sqrt{3}/1 = \sqrt{3}\), y como está en el primer cuadrante, \(\theta = \pi/3\).

\[ \boxed{z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)} \]

Verificación: \(2(\cos 60° + i\sin 60°) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \sqrt{3}\,i\). ✓

(b) \(z = -2\):

\[ r = 2 \]

Como apunta en la dirección negativa del eje real, \(\theta = \pi\).

\[ \boxed{z = 2(\cos\pi + i\sin\pi)} \]

Verificación: \(2(-1 + 0i) = -2\). ✓

(c) \(z = -1 - i\):

\[ r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

\(a = -1, b = -1\), por lo que está en el tercer cuadrante. \(\tan\theta = (-1)/(-1) = 1\), pero como está en el tercer cuadrante, \(\theta = -\frac{3\pi}{4}\) (en el rango \(-\pi < \theta \leq \pi\)).

\[ \boxed{z = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)} \]

Verificación: \(\cos(-3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(-3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 - i\). ✓

(d) \(z = 3i\):

\[ r = 3 \]

Como apunta en la dirección positiva del eje imaginario, \(\theta = \pi/2\).

\[ \boxed{z = 3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)} \]

Verificación: \(3(0 + i) = 3i\). ✓

B-5. Potencias de \(i\)

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Problema:

Calcula los siguientes valores.

(a) \(i^5\)

(b) \(i^{13}\)

(c) \(i^{-1}\)

(d) \(i^{100}\)

Las potencias de \(i\) son cíclicas con período 4: \(i^0 = 1,\; i^1 = i,\; i^2 = -1,\; i^3 = -i\).

(a) \(i^5\):

Como \(5 = 4 \times 1 + 1\), se tiene \(i^5 = i^1 = \boxed{i}\)

(b) \(i^{13}\):

Como \(13 = 4 \times 3 + 1\), se tiene \(i^{13} = i^1 = \boxed{i}\)

(c) \(i^{-1}\):

\(i^{-1} = \dfrac{1}{i} = \dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = -i\). Alternativamente, \(i^{-1} = i^3 = \boxed{-i}\)

Verificación: \((-i) \cdot i = -i^2 = 1\). ✓

(d) \(i^{100}\):

Como \(100 = 4 \times 25 + 0\), se tiene \(i^{100} = i^0 = \boxed{1}\)

B-6. Reglas de cálculo del conjugado complejo

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Problema:

Sea \(z_1 = 2 + i\), \(z_2 = 1 - 3i\). Verifica lo siguiente mediante cálculo directo.

(a) Confirma que se cumple \((z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\) calculando el lado izquierdo y el lado derecho por separado.

(b) Confirma que se cumple \((z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^*\).

\(z_1 = 2 + i\), \(z_2 = 1 - 3i\).

(a) Verificación de \((z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\):

Lado izquierdo:

\[ z_1 z_2 = (2+i)(1-3i) = 2 - 6i + i - 3i^2 = 2 - 5i + 3 = 5 - 5i \]
\[ (z_1 z_2)^* = 5 + 5i \]

Lado derecho:

\[ z_1^* = 2 - i, \quad z_2^* = 1 + 3i \]
\[ z_1^* z_2^* = (2-i)(1+3i) = 2 + 6i - i - 3i^2 = 2 + 5i + 3 = 5 + 5i \]

Lado izquierdo \(= 5 + 5i =\) Lado derecho. ✓ \(\quad \blacksquare\)

(b) Verificación de \((z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^*\):

Lado izquierdo:

\[ z_1 + z_2 = (2+i) + (1-3i) = 3 - 2i \]
\[ (z_1 + z_2)^* = 3 + 2i \]

Lado derecho:

\[ z_1^* + z_2^* = (2-i) + (1+3i) = 3 + 2i \]

Lado izquierdo \(= 3 + 2i =\) Lado derecho. ✓ \(\quad \blacksquare\)

B-7. Cálculo de términos de la expansión de Maclaurin

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Problema:

Escribe la expansión de Maclaurin de \(e^x\) (ecuación (A.25)) hasta el término de quinto orden, sustituye \(x = 2\) y obtén el valor aproximado de \(e^2\) hasta la segunda cifra decimal. (Referencia: \(e^2 \approx 7.389\))

Escribimos la expansión de Maclaurin de \(e^x\) hasta el término de quinto orden:

\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} \]

Sustituimos \(x = 2\):

\[ e^2 \approx 1 + 2 + \frac{4}{2} + \frac{8}{6} + \frac{16}{24} + \frac{32}{120} \]
\[ = 1 + 2 + 2 + 1.3333\ldots + 0.6667\ldots + 0.2667\ldots \]
\[ \approx 7.27 \]
\[ \boxed{e^2 \approx 7.27} \]

Verificación: El valor exacto es \(e^2 \approx 7.389\). Si añadimos el término de sexto orden \(\frac{2^6}{6!} = \frac{64}{720} \approx 0.089\), obtenemos \(7.36\), acercándonos aún más. Para un truncamiento hasta quinto orden, es una aproximación razonable. ✓

B-8. Cálculo de \(e^{i\theta}\)

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Problema:

Usando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), expresa los siguientes valores en la forma \(a + bi\).

(a) \(e^{i\pi/4}\)

(b) \(e^{i\pi/2}\)

(c) \(e^{i\pi}\)

(d) \(e^{-i\pi/3}\)

Se utiliza la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).

(a) \(e^{i\pi/4}\):

\[ e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\,i} \]

(b) \(e^{i\pi/2}\):

\[ e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = \boxed{i} \]

(c) \(e^{i\pi}\):

\[ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0i = \boxed{-1} \]

Esto corresponde a la famosa identidad de Euler \(e^{i\pi} + 1 = 0\).

(d) \(e^{-i\pi/3}\):

\[ e^{-i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} = \boxed{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i} \]

Verificación: El módulo de (a) \(= \sqrt{1/2 + 1/2} = 1\). Esto es consistente con \(|e^{i\theta}| = 1\). Los demás también tienen módulo 1. ✓

B-9. Forma polar y reescritura con la fórmula de Euler

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Problema:

Expresa los siguientes números complejos en la forma \(re^{i\theta}\) (forma polar usando la fórmula de Euler).

(a) \(z = 1 + i\)

(b) \(z = -\sqrt{3} + i\)

(c) \(z = -5i\)

(a) \(z = 1 + i\):

\[ r = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4} \quad (\text{primer cuadrante}) \]
\[ \boxed{z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}} \]

(b) \(z = -\sqrt{3} + i\):

\[ r = \sqrt{3 + 1} = 2 \]

\(a = -\sqrt{3},\; b = 1\) (segundo cuadrante). \(\tan\theta = \frac{1}{-\sqrt{3}}\) y, como está en el segundo cuadrante, \(\theta = \frac{5\pi}{6}\).

\[ \boxed{z = 2\,e^{i \cdot 5\pi/6}} \]

Verificación: \(2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i\). ✓

(c) \(z = -5i\):

\[ r = 5, \quad \theta = -\frac{\pi}{2} \quad (\text{dirección negativa del eje imaginario}) \]
\[ \boxed{z = 5\,e^{-i\pi/2}} \]

Verificación: \(5(\cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2)) = 5(0 - i) = -5i\). ✓

B-10. Cálculo de \(|e^{i\theta}|\)

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Problema:

Demuestra que \(|e^{i\theta}| = 1\) para cualquier número real \(\theta\), utilizando la relación \(|z|^2 = zz^*\) de la ecuación (A.15).

Estrategia: Se utiliza la relación \(|z|^2 = zz^*\) de la ecuación (A.15).

Sea \(z = e^{i\theta}\), entonces \(z^* = e^{-i\theta}\) (a partir de la fórmula de Euler, el conjugado complejo de \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) es \(\cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}\)).

\[ |e^{i\theta}|^2 = e^{i\theta} \cdot e^{-i\theta} = e^{i\theta - i\theta} = e^0 = 1 \]

Como \(|e^{i\theta}|\) es un número real no negativo,

\[ \boxed{|e^{i\theta}| = 1} \]

Esto se cumple para cualquier número real \(\theta\). Geométricamente, significa que \(e^{i\theta}\) es siempre un punto sobre el círculo unitario. \(\blacksquare\)

Intermedio

M-1. Demostración general de la regla del producto de conjugados complejos

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Problema:

Para cualesquiera números complejos \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) (donde \(a, b, c, d\) son reales), demuestra que

\[ (z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\]

utilizando la definición de multiplicación de la ecuación (A.5) y la definición de conjugado complejo (ecuación (A.12)).

Demostración:

Sean \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) (donde \(a, b, c, d\) son números reales).

Cálculo del lado izquierdo:

A partir de la ecuación (A.5),

\[ z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

Por la definición del conjugado complejo (ecuación (A.12)),

\[ (z_1 z_2)^* = (ac - bd) - (ad + bc)i \tag{*} \]

Cálculo del lado derecho:

\[ z_1^* = a - bi, \quad z_2^* = c - di \]
\[ z_1^* z_2^* = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 \]
\[ = ac - adi - bci - bd = (ac - bd) - (ad + bc)i \tag{**} \]

Comparando \((*)\) y \((**)\),

\[ (z_1 z_2)^* = (ac - bd) - (ad + bc)i = z_1^* z_2^* \]

Por lo tanto, se cumple que \((z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\). \(\blacksquare\)

Verificación: Se comprobó de forma concreta en D6(a) para el caso \(z_1 = 2+i\), \(z_2 = 1-3i\). Es consistente con la demostración general. ✓

M-2. Demostración del teorema de de Moivre

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Problema:

Utilizando la fórmula de Euler, demuestra que para cualquier entero \(n\) se cumple

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\]

Además, para el caso \(n = 2\), deriva las fórmulas del ángulo doble de \(\cos 2\theta\) y \(\sin 2\theta\) comparando las partes real e imaginaria.

Demostración del teorema de De Moivre:

Estrategia: Utilizando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), reescribimos el lado izquierdo en forma exponencial.

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n \]

Por la ley de exponentes \((e^a)^n = e^{na}\),

\[ (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \]

Aplicando nuevamente la fórmula de Euler,

\[ e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \]

Reuniendo todo,

\[ \boxed{(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)} \]

se cumple para todo entero \(n\). \(\blacksquare\)

Caso \(n = 2\): Derivación de las fórmulas del ángulo doble:

Expandiendo el lado izquierdo:

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta + i^2\sin^2\theta \]
\[ = (\cos^2\theta - \sin^2\theta) + 2i\cos\theta\sin\theta \]

Lado derecho (teorema de De Moivre):

\[ \cos 2\theta + i\sin 2\theta \]

Comparando las partes reales:

\[ \boxed{\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta} \]

Comparando las partes imaginarias:

\[ \boxed{\sin 2\theta = 2\cos\theta\sin\theta} \]

Estas son precisamente las fórmulas del ángulo doble de las funciones trigonométricas.

Verificación: Comprobamos con \(\theta = \pi/4\). \(\cos(\pi/2) = 0\), \(\cos^2(\pi/4) - \sin^2(\pi/4) = 1/2 - 1/2 = 0\). ✓ \(\sin(\pi/2) = 1\), \(2\cos(\pi/4)\sin(\pi/4) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\). ✓

M-3. Derivación de la fórmula de división en forma polar

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Problema:

Para dos números complejos \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\), \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\) (\(r_2 \neq 0\)), demuestra que se cumple:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\]

Utilizando este resultado, explica por qué "la división de números complejos consiste en dividir los módulos y restar los argumentos".

Estrategia: Simplificar la fracción utilizando las leyes de exponentes.

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} \]

Primero, calculamos \(\frac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}}\). Multiplicando numerador y denominador por \(e^{-i\theta_2}\),

\[ \frac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}} = e^{i\theta_1} \cdot e^{-i\theta_2} = e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \]

donde hemos utilizado que \(e^{i\theta_2} \cdot e^{-i\theta_2} = e^0 = 1\).

Por lo tanto,

\[ \boxed{\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)}} \]

\(\blacksquare\)

Interpretación: A partir de este resultado, para el cociente \(z_1/z_2\):

  • El módulo es \(\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\) (división de módulos)
  • El argumento es \(\theta_1 - \theta_2 = \arg(z_1) - \arg(z_2)\) (resta de argumentos)

Es decir, la división de números complejos se descompone en la división de módulos y la resta de argumentos. Esto constituye la operación inversa natural del hecho de que la multiplicación es "el producto de módulos y la suma de argumentos" (ecuación (A.11)).

Verificación: Cuando \(z_1 = z_2\), se tiene \(z_1/z_2 = 1\). A partir de la fórmula: \(\frac{r_1}{r_1} e^{i \cdot 0} = 1 \cdot 1 = 1\). ✓

M-4. Representación exponencial de \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\)

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Problema:

Resolviendo como sistema de ecuaciones la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) y su conjugado complejo \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\), demuestra que:

\[ \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\]

Además, compara este resultado con la estructura de las ecuaciones (A.13) y (A.14), y verifica que la relación entre \(e^{i\theta}\) y \(e^{-i\theta}\) es una relación de conjugación compleja.

Estrategia: Resolver la fórmula de Euler y su conjugado complejo como un sistema de ecuaciones.

Fórmula de Euler:

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \tag{1} \]

Sustituyendo \(\theta\) por \(-\theta\) (o tomando el conjugado complejo de la ecuación (1)):

\[ e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta \tag{2} \]

Derivación de \(\cos\theta\):

Ecuación (1) + Ecuación (2):

\[ e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta \]
\[ \boxed{\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}} \]

Derivación de \(\sin\theta\):

Ecuación (1) − Ecuación (2):

\[ e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta \]
\[ \boxed{\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}} \]

Comparación con las ecuaciones (A.13) y (A.14):

La ecuación (A.13) establece que \(\operatorname{Re}(z) = \frac{z + z^*}{2}\). Si tomamos \(z = e^{i\theta}\), entonces \(z^* = e^{-i\theta}\), por lo que:

\[ \operatorname{Re}(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \cos\theta \]

Esto es consistente con el hecho de que la parte real de \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) es \(\cos\theta\).

De manera análoga, la ecuación (A.14) establece que \(\operatorname{Im}(z) = \frac{z - z^*}{2i}\), y:

\[ \operatorname{Im}(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \sin\theta \]

Esto también es consistente con el hecho de que la parte imaginaria de \(e^{i\theta}\) es \(\sin\theta\).

Con lo anterior, se confirma que las representaciones exponenciales de \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\) no son más que un caso particular (con \(z = e^{i\theta}\), \(z^* = e^{-i\theta}\)) de las fórmulas de extracción de parte real e imaginaria mediante el conjugado complejo (ecuaciones (A.13) y (A.14)). \(\blacksquare\)

Verificación: Sustituyendo \(\theta = 0\): \(\cos 0 = \frac{e^0 + e^0}{2} = \frac{2}{2} = 1\). ✓ \(\sin 0 = \frac{e^0 - e^0}{2i} = 0\). ✓

M-5. Condiciones para que un número complejo sea real

→ Volver al problema

Problema:

Demuestra que la condición necesaria y suficiente para que un número complejo \(z\) sea real es \(z = z^*\). De manera análoga, demuestra que la condición necesaria y suficiente para que \(z\) sea imaginario puro es \(z = -z^*\) (con \(z \neq 0\)).

\(z\) es real \(\iff\) \(z = z^*\):

Demostración:

Sea \(z = a + bi\) (\(a, b\) son reales).

(\(\Rightarrow\)) Si \(z\) es real, entonces \(b = 0\), por lo que \(z = a\), \(z^* = a\). Por tanto, \(z = z^*\).

(\(\Leftarrow\)) Si \(z = z^*\), entonces \(a + bi = a - bi\). Comparando las partes imaginarias de ambos lados, \(b = -b\), es decir, \(2b = 0\), por lo que \(b = 0\). Por tanto, \(z = a\) es real. \(\blacksquare\)

\(z\) es imaginario puro (\(z \neq 0\)) \(\iff\) \(z = -z^*\) (y \(z \neq 0\)):

Demostración:

(\(\Rightarrow\)) Si \(z\) es imaginario puro, entonces \(a = 0\) y \(b \neq 0\), por lo que \(z = bi\), \(z^* = -bi\). Por tanto, \(-z^* = bi = z\).

(\(\Leftarrow\)) Si \(z = -z^*\), entonces \(a + bi = -(a - bi) = -a + bi\). Comparando las partes reales de ambos lados, \(a = -a\), es decir, \(2a = 0\), por lo que \(a = 0\). Por la condición \(z \neq 0\), se tiene \(b \neq 0\). Por tanto, \(z = bi\) es imaginario puro. \(\blacksquare\)

Verificación (ejemplos concretos): - \(z = 5\) (real): \(z^* = 5 = z\). ✓ - \(z = 3i\) (imaginario puro): \(z^* = -3i\), \(-z^* = 3i = z\). ✓ - \(z = 1 + i\) (ninguno de los dos): \(z^* = 1 - i \neq z\) y \(-z^* = -1 + i \neq z\). ✓

Avanzado

A-1. Raíces \(n\)-ésimas de un número complejo y el polígono regular de \(n\) lados

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Problema:

Encuentra todas las soluciones de la ecuación \(z^n = 1\) (donde \(n\) es un entero positivo).

(a) Escribiendo \(z = re^{i\theta}\), demuestra que a partir de la condición \(|z| = 1\) y la condición sobre el argumento, las \(n\) soluciones son

\[ z_k = e^{2\pi i k/n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)\]

(b) Explica por qué al representar estas \(n\) soluciones en el plano complejo, los puntos corresponden a los vértices de un polígono regular de \(n\) lados inscrito en el círculo unitario.

(c) Demuestra, utilizando la fórmula de la serie geométrica, que la suma de las \(n\) raíces \(n\)-ésimas de la unidad satisface $$

\sum_{k=0}^{n-1} z_k = 0$$

(d) En mecánica cuántica aparece la misma estructura en la transformada discreta de Fourier. Para el caso \(n = 4\), encuentra explícitamente las 4 soluciones y verifica que son \(\{1, i, -1, -i\}\).

(a) Las \(n\) soluciones de \(z^n = 1\):

Estrategia: Escribimos \(z = re^{i\theta}\) y separamos las condiciones sobre el módulo y el argumento.

\[ z^n = r^n e^{in\theta} = 1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0} \]

Comparación de módulos: \(r^n = 1\). Como \(r > 0\), se tiene \(r = 1\).

Comparación de argumentos: \(n\theta = 0 + 2\pi k\) (\(k\) entero). Aquí el argumento tiene una indeterminación de múltiplos enteros de \(2\pi\).

\[ \theta = \frac{2\pi k}{n} \]

Para \(k = 0, 1, 2, \ldots, n-1\), \(\theta\) toma los valores distintos \(0, \frac{2\pi}{n}, \frac{4\pi}{n}, \ldots, \frac{2\pi(n-1)}{n}\). Cuando \(k = n\), \(\theta = 2\pi\) representa el mismo punto que \(\theta = 0\), por lo que no se obtienen soluciones nuevas.

Por lo tanto, las \(n\) soluciones de \(z^n = 1\) son

\[ \boxed{z_k = e^{2\pi i k/n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)} \]

\(\blacksquare\)

(b) Vértices de un polígono regular de \(n\) lados:

Las \(n\) soluciones \(z_k = e^{2\pi i k/n}\) satisfacen todas \(|z_k| = 1\), por lo que son puntos sobre la circunferencia unitaria.

La diferencia de argumentos entre dos soluciones consecutivas \(z_k\) y \(z_{k+1}\) es

\[ \frac{2\pi(k+1)}{n} - \frac{2\pi k}{n} = \frac{2\pi}{n} \]

que es constante. Es decir, los \(n\) puntos están distribuidos de manera equidistante sobre la circunferencia unitaria.

Un polígono inscrito en la circunferencia unitaria con \(n\) vértices equidistantes no es otra cosa que un polígono regular de \(n\) lados. El primer vértice \(z_0 = 1\) se encuentra en el punto \((1, 0)\) del eje real, y los demás vértices se ubican en posiciones rotadas \(2\pi/n\) sucesivamente en sentido antihorario. \(\blacksquare\)

(c) La suma de las raíces \(n\)-ésimas de la unidad es 0:

Estrategia: Utilizamos la fórmula de la serie geométrica.

Sea \(\omega = e^{2\pi i/n}\), entonces \(z_k = \omega^k\).

\[ \sum_{k=0}^{n-1} z_k = \sum_{k=0}^{n-1} \omega^k \]

Esta es una serie geométrica con primer término \(1\), razón \(\omega\) y \(n\) términos, así que (cuando \(\omega \neq 1\), es decir, \(n \geq 2\)),

\[ \sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega} \]

Dado que \(\omega^n = (e^{2\pi i/n})^n = e^{2\pi i} = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1\), se tiene

\[ \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = \frac{0}{1 - \omega} = 0 \]

Para \(n = 1\) solo existe \(z_0 = 1\) y la suma es \(1 \neq 0\), pero normalmente se considera \(n \geq 2\).

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{n-1} z_k = 0} \]

\(\blacksquare\)

Verificación (interpretación geométrica): La suma de los vectores de posición hacia los vértices de un polígono regular de \(n\) lados apunta al origen por simetría. Esto corresponde a que el centro de masa se encuentra en el origen. ✓

(d) Caso \(n = 4\):

\[ z_k = e^{2\pi i k/4} = e^{i\pi k/2} \quad (k = 0, 1, 2, 3) \]
  • \(k = 0\): \(e^{0} = 1\)
  • \(k = 1\): \(e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i\)
  • \(k = 2\): \(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1\)
  • \(k = 3\): \(e^{i3\pi/2} = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = -i\)
\[ \boxed{\{z_0, z_1, z_2, z_3\} = \{1,\; i,\; -1,\; -i\}} \]

Verificación: Suma total \(= 1 + i + (-1) + (-i) = 0\). ✓ Además, comprobamos que \(z_k^4 = 1\) para cada \(z_k\): \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\), \((-1)^4 = 1\), \((-i)^4 = ((-i)^2)^2 = (-1)^2 = 1\). ✓

A-2. Puente hacia la mecánica cuántica: interferencia de amplitudes complejas

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Problema:

En mecánica cuántica, la "amplitud de probabilidad" de que una partícula llegue a un punto determinado se expresa como un número complejo. Cuando existen dos caminos (camino 1 y camino 2), si las amplitudes de cada camino son \(\phi_1 = r_1 e^{i\alpha}\) y \(\phi_2 = r_2 e^{i\beta}\), la amplitud total es \(\phi = \phi_1 + \phi_2\), y la probabilidad de detección viene dada por \(P = |\phi|^2\).

(a) Desarrolla \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\) y demuestra que:

\[ P = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1 r_2 \cos(\alpha - \beta)\]

(b) Si las amplitudes de probabilidad solo pudieran tomar valores reales (es decir, \(\alpha, \beta\) solo pueden ser \(0\) o \(\pi\)), muestra que los valores que puede tomar el término de interferencia \(2r_1 r_2 \cos(\alpha - \beta)\) se limitan a \(\pm 2r_1 r_2\). Por otro lado, explica que cuando \(\alpha - \beta\) puede variar de forma continua, el término de interferencia cambia continuamente desde \(-2r_1 r_2\) hasta \(+2r_1 r_2\), y discute una de las razones por las que "los números complejos son esencialmente necesarios".

(c) En particular, cuando \(r_1 = r_2 = r\), muestra que para \(\alpha - \beta = \pi\) (diferencia de fase \(\pi\)) se obtiene \(P = 0\). Esto corresponde a que las dos ondas se cancelan completamente (destructive interference; interferencia destructiva). Describe en 2 o 3 oraciones cómo este resultado difiere de la intuición clásica de que "la probabilidad siempre es positiva".

(a) Desarrollo de \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\):

Estrategia: Desarrollar usando \(|\phi|^2 = \phi\phi^*\).

\[ P = |\phi_1 + \phi_2|^2 = (\phi_1 + \phi_2)(\phi_1 + \phi_2)^* = (\phi_1 + \phi_2)(\phi_1^* + \phi_2^*) \]

Desarrollando,

\[ P = \phi_1\phi_1^* + \phi_1\phi_2^* + \phi_2\phi_1^* + \phi_2\phi_2^* \]
\[ = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1\phi_2^* + (\phi_1\phi_2^*)^* \]

Aquí sustituimos \(\phi_1 = r_1 e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = r_2 e^{i\beta}\).

\[ |\phi_1|^2 = r_1^2, \quad |\phi_2|^2 = r_2^2 \]
\[ \phi_1\phi_2^* = r_1 e^{i\alpha} \cdot r_2 e^{-i\beta} = r_1 r_2 e^{i(\alpha - \beta)} \]
\[ \phi_2\phi_1^* = r_1 r_2 e^{-i(\alpha - \beta)} = (\phi_1\phi_2^*)^* \]

La suma de los términos cruzados es,

\[ \phi_1\phi_2^* + \phi_2\phi_1^* = r_1 r_2 \left[e^{i(\alpha-\beta)} + e^{-i(\alpha-\beta)}\right] \]

Usando la representación exponencial del \(\cos\) derivada en S4, \(\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\),

\[ e^{i(\alpha-\beta)} + e^{-i(\alpha-\beta)} = 2\cos(\alpha - \beta) \]

Por lo tanto,

\[ \boxed{P = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1 r_2 \cos(\alpha - \beta)} \]

\(\blacksquare\)

Verificación: Cuando \(\phi_2 = 0\) (no hay camino 2), \(r_2 = 0\) por lo que \(P = r_1^2 = |\phi_1|^2\). ✓ Además, cuando \(\alpha = \beta\) (en fase), \(P = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1 r_2 = (r_1 + r_2)^2\). Esto corresponde a que las amplitudes se suman. ✓

(b) Comparación entre amplitudes reales y amplitudes complejas:

Caso de amplitudes reales (\(\alpha, \beta\) solo toman valores \(0\) o \(\pi\)):

Los valores posibles de \(\alpha - \beta\) son \(0, \pi, -\pi\).

  • Cuando \(\alpha - \beta = 0\): \(\cos(\alpha - \beta) = \cos 0 = 1\)
  • Cuando \(\alpha - \beta = \pm\pi\): \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\pi = -1\)

Por lo tanto, el término de interferencia \(2r_1 r_2 \cos(\alpha - \beta)\) solo toma dos valores: \(+2r_1 r_2\) o \(-2r_1 r_2\).

\[ \text{Caso real: término de interferencia} \in \{-2r_1 r_2,\; +2r_1 r_2\} \]

Caso de amplitudes complejas (\(\alpha - \beta\) varía continuamente):

La diferencia de fase \(\delta = \alpha - \beta\) puede variar continuamente de \(0\) a \(2\pi\), y \(\cos\delta\) toma continuamente todos los valores desde \(-1\) hasta \(+1\). Por lo tanto, el término de interferencia varía continuamente en el rango

\[ -2r_1 r_2 \leq 2r_1 r_2 \cos(\alpha - \beta) \leq +2r_1 r_2 \]

Razón por la que los números complejos son esencialmente necesarios: Con amplitudes reales, la interferencia solo puede ser "completamente constructiva" o "completamente destructiva", sin poder representar interferencia intermedia. En cambio, con amplitudes complejas, la diferencia de fase es un parámetro continuo, permitiendo describir todo grado de interferencia, incluyendo refuerzo y debilitamiento parciales. Para describir correctamente los patrones de interferencia observados en la naturaleza (por ejemplo, la variación continua de franjas claras y oscuras en el experimento de la doble rendija), es esencialmente necesario que las amplitudes sean números complejos.

(c) Interferencia destructiva completa:

Cuando \(r_1 = r_2 = r\), el resultado de (a) es

\[ P = r^2 + r^2 + 2r^2\cos(\alpha - \beta) = 2r^2(1 + \cos(\alpha - \beta)) \]

Sustituyendo \(\alpha - \beta = \pi\),

\[ P = 2r^2(1 + \cos\pi) = 2r^2(1 - 1) = \boxed{0} \]

Cuando las amplitudes de los dos caminos son iguales y la diferencia de fase es exactamente \(\pi\), la probabilidad de detección es completamente cero. Esto es la interferencia destructiva (destructive interference).

Diferencia con la intuición clásica:

En la teoría clásica de probabilidades, las probabilidades de cada camino se suman simplemente como \(P_1 = r^2\) y \(P_2 = r^2\), por lo que

\[ P_{\text{clásica}} = P_1 + P_2 = 2r^2 > 0 \]

y la probabilidad nunca puede ser cero. Sin embargo, en mecánica cuántica, lo que se suma no son las probabilidades sino las amplitudes de probabilidad (números complejos), y como la cancelación ocurre a nivel de las amplitudes, la probabilidad resultante puede ser cero. Este es un fenómeno que contradice la intuición clásica de que "la partícula debería pasar por uno u otro camino, pero no se detecta", y constituye una característica esencial de la mecánica cuántica.

Verificación: Cuando \(\alpha - \beta = 0\) (interferencia constructiva), \(P = 2r^2(1+1) = 4r^2 = (2r)^2\). La amplitud se duplica a \(2r\) y la probabilidad se cuadruplica. Es el doble del valor clásico \(2r^2\), y el efecto de la interferencia se manifiesta claramente. ✓