Appendix A Análisis vectorial y ecuaciones en derivadas parciales¶
Resumen de los capítulos anteriores: En Cap. 1 del texto principal aparecieron el gradiente del potencial gravitatorio y el laplaciano, y en Cap. 2 la divergencia y el rotacional en las ecuaciones de Maxwell. A partir de Cap. 13, la ecuación de onda bidimensional será central para tratar las vibraciones de la cuerda.
Objetivo de este apéndice
- Organizar, de entre las herramientas de análisis vectorial y ecuaciones en derivadas parciales que aparecen en el texto principal, únicamente la parte específica de la teoría de cuerdas: la ecuación de onda bidimensional, la descomposición en ondas que se propagan a izquierda y derecha, y los modos de vibración de la cuerda determinados por las condiciones de contorno
- Las herramientas generales (derivadas parciales, grad, div, rot, laplaciano, teoremas de Gauss/Stokes, solución de d'Alembert de la ecuación de onda, etc.) están resumidas de forma autocontenida en Relatividad General, Relatividad General Apéndice A, así que consulta primero ese recurso
🟡 Lina: Quienes hayan leído Relatividad General Apéndice A de Relatividad General pueden conformarse con repasar brevemente los puntos clave de este apéndice. Las partes específicas de la teoría de cuerdas son solo A.3 y A.4, así que pueden concentrarse en ellas.
🔵 Kai: En Relatividad General ya vimos derivadas parciales y grad/div/rot, ¿verdad? Y la solución general de la ecuación de onda también está en Relatividad General Apéndice A de Relatividad General.
🟡 Lina: Así es. Aquí, para evitar repeticiones, nos concentramos en la parte que se necesita de nuevo para la teoría de cuerdas: la estructura de la ecuación de onda bidimensional que describe «el proceso de evolución temporal de una cuerda como objeto unidimensional».
A.1 Resumen de los puntos clave del Appendix A de Relatividad General¶
🟡 Lina: Voy a hacer un listado de las herramientas que usamos en este apéndice. Las derivaciones detalladas, demostraciones y ejemplos de cálculo están todos en Relatividad General Apéndice A de Relatividad General, así que consulta allí.
Operadores diferenciales¶
Tabla A.1: Definición y significado de los operadores diferenciales
| Operación | Definición (coordenadas cartesianas) | Significado |
|---|---|---|
| Derivada parcial | \(\partial f / \partial x\): derivar solo respecto a \(x\) manteniendo las demás variables fijas | Tasa de cambio en cada dirección de una función multivariable |
| Gradiente | \(\nabla\varphi = (\partial_x\varphi,\, \partial_y\varphi,\, \partial_z\varphi)\) | Dirección de máximo ascenso y tasa de cambio |
| Divergencia | \(\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z\) | Intensidad de las fuentes |
| Rotacional | \((\nabla \times \boldsymbol{F})_i = \epsilon_{ijk}\partial_j F_k\) | Intensidad y dirección del vórtice |
| Laplaciano | \(\nabla^2\varphi = \partial_x^2\varphi + \partial_y^2\varphi + \partial_z^2\varphi\) | Desviación respecto al promedio del entorno |
Identidades importantes¶
- \(\nabla \times (\nabla\varphi) = 0\) (un campo de fuerzas conservativo no tiene vórtices)
- \(\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) = 0\) (los vórtices no tienen fuentes)
- \(\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F}) - \nabla^2 \boldsymbol{F}\) (se usa en la derivación de la ecuación de onda de Maxwell)
Teoremas integrales¶
- Teorema de Gauss: \(\displaystyle\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{F}\, dV\)
- Teorema de Stokes: \(\displaystyle\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S}\)
Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden¶
Tabla A.2: Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
| Tipo | Forma estándar | Propiedades de la solución | Ejemplo representativo |
|---|---|---|---|
| Tipo onda (hiperbólica) | \(\partial_t^2 f = v^2 \nabla^2 f\) | Se propaga a velocidad \(v\) | Ondas electromagnéticas, ondas gravitacionales, vibraciones de cuerdas |
| Tipo difusión (parabólica) | \(\partial_t f = D \nabla^2 f\) | Atenuación | Conducción de calor, Schrödinger (coeficiente imaginario) |
| Tipo elíptica | \(\nabla^2 f = \rho\) | Distribución estática | Gravedad newtoniana, campo electrostático |
Solución general de d'Alembert para la ecuación de onda unidimensional¶
\(f\) es una onda que se propaga a la derecha, \(g\) es una onda que se propaga a la izquierda. \(f, g\) son funciones arbitrarias dos veces diferenciables.
La derivación detallada (mediante el cambio de variables \(\xi = x - ct\), \(\eta = x + ct\)) se encuentra en Relatividad General, Relatividad General Apéndice A, A.7.
🔵 Kai: Hasta aquí son los prerrequisitos, ¿verdad? ¿Qué es lo nuevo que aparece en la teoría de cuerdas?
🟡 Lina: Esencialmente son dos puntos: trasladar esta ecuación de onda unidimensional a la hoja de mundo bidimensional, y que las condiciones de contorno de la cuerda discretizan los modos de vibración. Vamos a verlo en A.3 y A.4.
A.2 Mapa de ejercicios¶
🟡 Lina: Los ejercicios de este apéndice sirven para repasar y confirmar el contenido de Relatividad General Relatividad General Apéndice A en el contexto de la teoría de cuerdas. Si ya dominas el tema puedes saltarlos; si no te sientes seguro, resolver los problemas te ayudará a repasar cada tema.
Tabla A.3: Correspondencia entre ejercicios y temas
| Ejercicio | Tema | Referencia |
|---|---|---|
| A.1–A.4 | Derivadas parciales (cálculos básicos, ecuación de difusión) | Relatividad General Relatividad General Apéndice A.0 |
| A.5–A.7 | Gradiente (potencial gravitatorio, curvas de nivel) | Relatividad General Relatividad General Apéndice A.4.2 |
| A.8–A.11 | Divergencia (cálculos concretos, campo eléctrico de Coulomb) | Relatividad General Relatividad General Apéndice A.4.3 |
| A.12–A.15 | Rotacional (presencia o ausencia de vórtices, potencial vector) | Relatividad General Relatividad General Apéndice A.4.4 |
| A.16–A.19 | Laplaciano (ecuación de Laplace) | Relatividad General Relatividad General Apéndice A.4.5 |
| A.20–A.22 | Identidades vectoriales (\(\nabla\cdot\nabla\times\), \(\nabla\times\nabla\)) | Relatividad General Relatividad General Apéndice A.5 |
| A.23–A.28 | Ecuación de onda, ondas estacionarias, modos de vibración de cuerdas | Este apéndice A.3, A.4 |
📝 Todos los ejercicios → Ejercicios del Appendix A
A.3 Ecuación de onda bidimensional para la teoría de cuerdas¶
🟡 Lina: A partir de aquí comienza la parte específica de la teoría de cuerdas. La cuerda es un objeto unidimensional (una línea), así que necesitamos un parámetro \(\sigma\) que especifique la posición a lo largo de la cuerda. El rango de \(\sigma\) varía según el tipo de cuerda (para la cuerda cerrada va de \(0\) a \(2\pi\) dando una vuelta completa; para la cuerda abierta va de \(0\) a \(\pi\) de un extremo al otro). La razón de elegir estos rangos es que, cuando más adelante expandimos los modos de vibración en funciones trigonométricas (lo trataremos en detalle en A.4), los cálculos quedan más limpios por convención. Para la cuerda cerrada se elige \(2\pi\) porque «una vuelta = \(2\pi\)» coincide con el período fundamental de \(e^{in\sigma}\) (se cumple automáticamente que \(e^{in(\sigma + 2\pi)} = e^{in\sigma}\)); para la cuerda abierta se elige \(\pi\) por compatibilidad con las condiciones de contorno —verificaremos la razón concreta en A.4.
🔵 Kai: \(\sigma\) es un parámetro que indica qué posición de la cuerda estamos mirando, y su rango viene determinado por la forma de la cuerda (si es un anillo o un segmento), ¿no?
🟡 Lina: Exacto. Además, si incluimos el tiempo \(\tau\), el movimiento de la cuerda se describe con dos parámetros \(\tau\) y \(\sigma\) —esta extensión bidimensional se llama hoja de mundo. Por ejemplo, si dibujamos en un diagrama espacio-temporal el movimiento de una partícula puntual (un punto de tamaño cero), en cada instante su posición es un solo punto, y conforme pasa el tiempo esos puntos se conectan formando una línea —esto se llama línea de mundo (un concepto introducido en Relatividad General Cap. 2 de Relatividad General). Como la cuerda no es un punto sino que tiene extensión unidimensional, su «figura» en cada instante es un segmento (o un anillo), y con el paso del tiempo estos se conectan formando una superficie bidimensional —esa es la hoja de mundo.
🔵 Kai: La partícula puntual dibuja una «línea» con el tiempo, así que es línea de mundo; la cuerda dibuja una «superficie» con el tiempo, así que es hoja de mundo... \(\sigma\) es el parámetro que indica qué posición de la cuerda, y \(\tau\) corresponde al tiempo, ¿verdad?
🟡 Lina: Exactamente. La función que indica dónde se encuentra cada punto de la cuerda en el espacio-tiempo \(D\)-dimensional es \(X^\mu(\tau, \sigma)\) (\(\mu = 0, 1, \ldots, D-1\) es un índice que recorre las direcciones del espacio-tiempo). \(D\) es el número de dimensiones del espacio-tiempo: en nuestra vida cotidiana es \(D = 4\) (3 espaciales + 1 temporal), pero en la teoría de cuerdas la consistencia exige \(D = 26\) o \(D = 10\) —esto lo derivaremos en capítulos posteriores, así que por ahora solo recuerda que «discutimos en \(D\) dimensiones generales». Clásicamente, estas \(X^\mu\) obedecen la ecuación de onda bidimensional:
🔵 Kai: La diferencia entre la derivada segunda en la dirección temporal y en la dirección espacial es cero... En la ecuación de onda normal sería \(\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u\) con la velocidad \(c\). ¿Por qué aquí no aparece \(c\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. En la tabla de A.1 escribimos la ecuación de onda como \(\partial_t^2 f = v^2 \nabla^2 f\), ¿verdad? Ahí \(v\) es la velocidad de propagación. En la teoría de cuerdas se usa el sistema de unidades naturales donde la velocidad de la luz es \(c = 1\) (consulta Apéndice B para más detalles). Así, el coeficiente \(c^2\) desaparece y el operador de d'Alembert \(\Box = \partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2\) actúa sobre \(X^\mu\) dando cero, quedando una forma muy limpia. Es la ecuación de onda en 1+1 dimensiones (1 temporal + 1 espacial). El punto clave es que, aunque formalmente tiene la misma estructura que la ecuación de onda ordinaria, las variables pasan de \((t, x)\) a \((\tau, \sigma)\) de la hoja de mundo, y la solución \(X^\mu\) representa las coordenadas del espacio-tiempo mismas —eso es lo novedoso.
⚪ Mei: Es decir, la ecuación de la cuerda es un caso particular de la ecuación de onda general \(\partial_t^2 f = v^2 \nabla^2 f\) de la tabla de A.1 (con \(v = c = 1\) y espacio unidimensional).
Descomposición en ondas que se propagan a izquierda y derecha¶
🟡 Lina: Aplicando directamente la solución general de d'Alembert (véase Relatividad General Relatividad General Apéndice A.7):
\(X_R\) y \(X_L\) son ondas que dependen respectivamente solo de \(\tau - \sigma\) y \(\tau + \sigma\). La nomenclatura \(R/L\) varía según la literatura —por ejemplo, en el libro de texto de Polchinski la componente que depende de \(\tau - \sigma\) se llama right-mover, pero hay textos que adoptan la convención opuesta. En este libro definimos \(X_R(\tau - \sigma)\) como right-mover y \(X_L(\tau + \sigma)\) como left-mover. Más que el nombre, lo seguro es distinguirlos por «si el argumento es \(\tau - \sigma\) o \(\tau + \sigma\)». En la teoría de cuerdas, esta descomposición es el punto de partida de la cuantización.
✅ Verificación de comprensión: ¿En qué forma se descompone la solución general de la ecuación de onda bidimensional de la cuerda \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0\)? Además, ¿por qué no aparece la velocidad \(c\) en la ecuación de onda?
Respuesta
La solución general se descompone en la suma de una onda que se propaga a la derecha \(X_R^\mu(\tau - \sigma)\) y una onda que se propaga a la izquierda \(X_L^\mu(\tau + \sigma)\). La velocidad \(c\) no aparece porque en la teoría de cuerdas se adopta el sistema de unidades naturales donde la velocidad de la luz es \(c = 1\).
🟡 Lina: Ahora voy a introducir un cambio de variables conveniente. Definimos las nuevas coordenadas \(\sigma^+ = \tau + \sigma\), \(\sigma^- = \tau - \sigma\). Estas se llaman coordenadas del cono de luz de la hoja de mundo. Más adelante, cuando escribamos la densidad lagrangiana (en la segunda parte de A.3), las coordenadas de la hoja de mundo se escribirán conjuntamente como \(\sigma^a\) (\(a = 0, 1\), es decir, \(\sigma^0 = \tau\), \(\sigma^1 = \sigma\)), pero \(\sigma^\pm\) es un sistema de coordenadas diferente. En estas coordenadas, la ecuación de onda toma la forma simple \(\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}X^\mu = 0\).
🔵 Kai: \(\sigma^+\) y \(\sigma^-\) son simplemente \(\tau\) y \(\sigma\) sumados o restados, ¿no? ¿Solo con eso la ecuación se simplifica?
🟡 Lina: Así es. Usando la regla de la cadena:
y aparece un coeficiente \(4\). Veamos de dónde sale ese \(4\).
Primero, por la regla de la cadena:
(como \(\sigma^\pm = \tau \pm \sigma\), tenemos \(\partial\sigma^\pm/\partial\tau = 1\)). De forma análoga, \(\partial_\sigma = \partial_{\sigma^+} - \partial_{\sigma^-}\) (ya que \(\partial\sigma^+/\partial\sigma = 1\), \(\partial\sigma^-/\partial\sigma = -1\)).
«Elevar \(\partial_\tau\) al cuadrado» significa aplicar \(\partial_\tau\) dos veces sucesivamente, es decir, \(\partial_\tau^2 = \partial_\tau \circ \partial_\tau\). Como \(\partial_\tau = \partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-}\), expandimos \(\partial_\tau^2 = (\partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-})(\partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-})\). El orden de las derivadas parciales es intercambiable (\(\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-} = \partial_{\sigma^-}\partial_{\sigma^+}\), esto es una propiedad llamada teorema de Schwarz que se cumple para funciones suficientemente suaves), así que podemos tratar \(\partial_{\sigma^+}\) y \(\partial_{\sigma^-}\) como si fueran letras \(A\), \(B\) al expandir. El producto de operadores conmutativos se expande con las mismas reglas que el producto de letras ordinarias, así que con la misma lógica de \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) obtenemos \(\partial_\tau^2 = (\partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-})^2 = \partial_{\sigma^+}^2 + 2\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-} + \partial_{\sigma^-}^2\). De forma análoga, elevando al cuadrado \(\partial_\sigma = \partial_{\sigma^+} - \partial_{\sigma^-}\) con la forma \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) obtenemos \(\partial_{\sigma^+}^2 - 2\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-} + \partial_{\sigma^-}^2\).
Al calcular \(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2\), los términos \(\partial_{\sigma^+}^2\) y \(\partial_{\sigma^-}^2\) se cancelan, y solo quedan los términos cruzados con \(2 - (-2) = 4\), es decir, solo queda \(4\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}\) —verifica el cálculo detallado en el ejercicio (Problema B-18. La onda plana satisface la ecuación de ondas). En cualquier caso, como el lado derecho es cero, dividimos ambos lados de \(4\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}X^\mu = 0\) entre \(4\) (\(\neq 0\)) y obtenemos \(\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}X^\mu = 0\). Esta es exactamente la misma técnica de cambio de variables \(\xi = x - ct\), \(\eta = x + ct\) que se usó para derivar la solución de d'Alembert en Relatividad General Apéndice A de Relatividad General (como \(c = 1\), \(\sigma^- = \tau - \sigma\) corresponde a \(\xi\) y \(\sigma^+ = \tau + \sigma\) corresponde a \(\eta\)). Esta ecuación significa «derivar respecto a \(\sigma^+\) y luego respecto a \(\sigma^-\) da cero», y las funciones que satisfacen esto se limitan a \(X^\mu = F(\sigma^+) + G(\sigma^-)\) —es decir, la suma de una función que depende solo de \(\sigma^+\) y otra que depende solo de \(\sigma^-\). Como \(\sigma^+ = \tau + \sigma\), \(F(\sigma^+) = X_L^\mu(\tau + \sigma)\) (onda que se propaga a la izquierda), y como \(\sigma^- = \tau - \sigma\), \(G(\sigma^-) = X_R^\mu(\tau - \sigma)\) (onda que se propaga a la derecha). El nombre «cono de luz» proviene de que en el espacio-tiempo de 4 dimensiones la trayectoria de la luz dibuja una superficie cónica. En la hoja de mundo bidimensional, las trayectorias de la luz son las dos rectas \(\tau = \pm\sigma\) (\(\sigma^+ = \text{const}\) o \(\sigma^- = \text{const}\)), y \(\sigma^\pm\) son precisamente coordenadas a lo largo de estas trayectorias de la luz. Lo que hay que tener en cuenta es que las \(\sigma^\pm\) introducidas aquí son coordenadas del cono de luz de la hoja de mundo, que son diferentes de las coordenadas del cono de luz del espacio-tiempo \(x^\pm = (x^0 \pm x^1)/\sqrt{2}\) introducidas en Cap. 5 —tienen el mismo nombre, pero las primeras son coordenadas de la hoja de mundo bidimensional y las segundas son coordenadas del espacio-tiempo \(D\)-dimensional. En la teoría de cuerdas aparecen ambas, así que distínguelas por el contexto. La aplicación sistemática de las coordenadas del cono de luz en la teoría de cuerdas se trata en Cap. 13 y Cap. 14.
⚪ Mei: Es decir, al cambiar las variables a \(\sigma^\pm\), de la condición «derivar respecto a \(\sigma^+\) y luego respecto a \(\sigma^-\) da cero» se deduce que la onda que se propaga a la derecha y la que se propaga a la izquierda dependen cada una de una sola variable, separándose.
🔵 Kai: Entiendo que el cambio a coordenadas del cono de luz simplifica la ecuación. ...Pero, para empezar, ¿de dónde sale esta ecuación de onda? Si me dicen de golpe «la cuerda obedece la ecuación de onda» sin más explicación...
Derivación a partir de la acción de Polyakov (adelanto)¶
🟡 Lina: Buena duda. Voy a adelantar solo de dónde viene la ecuación de onda bidimensional de la cuerda. Se aplica a la cuerda el principio de mínima acción —que la trayectoria que hace estacionaria la acción proporciona las ecuaciones de movimiento— que aprendimos en Relatividad General Cap. 1 de Relatividad General y en Cap. 1 (la aplicación concreta a la cuerda se trata en detalle en Cap. 13). En el caso de la cuerda, la densidad lagrangiana (la cantidad que corresponde a la diferencia entre energía cinética y energía potencial, definida en cada punto de la hoja de mundo) después de elegir una forma especial de coordenadas llamada gauge conforme (que explicaremos después) es:
Hay muchos símbolos, así que vamos a verificarlos uno por uno.
🔵 Kai: Por favor. ¿Qué es \(\partial_a X^\mu\)?
🟡 Lina: \(\partial_a X^\mu\) es la derivada parcial de \(X^\mu\) respecto a las coordenadas de la hoja de mundo \(\sigma^a\) (\(\sigma^0 = \tau\), \(\sigma^1 = \sigma\)), es decir, \(\partial_a X^\mu = \partial X^\mu / \partial \sigma^a\). Puede ser confuso, pero \(\sigma^a\) es una notación para agrupar las dos coordenadas de la hoja de mundo, y cuando \(a = 1\) coincide con el parámetro de posición \(\sigma\) de la cuerda que mencionamos antes. Y cuando el mismo índice aparece arriba y abajo, se adopta la convención de sumar sobre todas las direcciones de ese índice (la convención de suma de Einstein, la regla introducida en Relatividad General Cap. 2 de Relatividad General). 🟡 Lina: Por ejemplo, cuando escribimos \(\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu\) en esta fórmula, significa sumar sobre todas las combinaciones donde \(a\) y \(b\) toman los valores \(0, 1\) (\(4\) combinaciones en total). En realidad, esta fórmula tiene dos niveles de sumas anidados: primero la suma en la dirección de la hoja de mundo (\(a, b = 0, 1\)), y luego la suma en la dirección del espacio-tiempo (\(\mu, \nu = 0, 1, \ldots, D-1\)).
⚪ Mei: La suma sobre la hoja de mundo y la suma sobre el espacio-tiempo recorren índices diferentes por separado.
🟡 Lina: Exacto. Veámoslo paso a paso.
🔵 Kai: Dos niveles... ¿Empezamos mirando la suma exterior sobre \(a, b\)?
🟡 Lina: Sí. Primero voy a escribir explícitamente solo la suma exterior (la suma sobre \(a, b\)). Calculamos la expresión original \(\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu}\) en el orden «ejecutar primero la suma sobre \(a, b\) y dejar la suma sobre \(\mu, \nu\) para después». Expandiendo la suma sobre \(a, b\): \(\eta^{00}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu \eta_{\mu\nu} + \eta^{01}\partial_\tau X^\mu \partial_\sigma X^\nu \eta_{\mu\nu} + \eta^{10}\partial_\sigma X^\mu \partial_\tau X^\nu \eta_{\mu\nu} + \eta^{11}\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X^\nu \eta_{\mu\nu}\), pero como \(\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1,1)\) es una matriz diagonal, \(\eta^{01} = \eta^{10} = 0\) y los términos cruzados desaparecen, quedando \(\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu} = -(\partial_\tau X^\mu)(\partial_\tau X^\nu)\eta_{\mu\nu} + (\partial_\sigma X^\mu)(\partial_\sigma X^\nu)\eta_{\mu\nu}\) (la suma sobre \(\mu, \nu\) aún queda pendiente —la ejecutaremos concretamente en el siguiente paso).
⚪ Mei: Ya veo, como los términos con \(a \neq b\) se anulan todos, solo quedan los dos términos en la dirección \(\tau\) y la dirección \(\sigma\).
🟡 Lina: Exacto. A continuación tomamos la suma interior (la suma sobre \(\mu, \nu\)) —esta es la operación de multiplicar por \(\eta_{\mu\nu}\) y sumar sobre \(\mu, \nu = 0, 1, \ldots, D-1\), que es la generalización del producto interior (producto escalar) de vectores. Por ejemplo, si \(D = 2\), \(\eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu = -(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2\). Si \(D = 4\) (nuestro espacio-tiempo), simplemente se añaden más términos: \(-(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2 + (\partial_\tau X^2)^2 + (\partial_\tau X^3)^2\), pero la estructura es la misma.
🔵 Kai: Ah, aunque la dimensión \(D\) aumente la forma es la misma. Solo la componente temporal lleva signo menos, y todas las componentes espaciales llevan signo más.
🟡 Lina: Así es. Es decir, el término del «producto interior en la dirección \(\tau\)» entra con coeficiente \(+T/2\), y el término del «producto interior en la dirección \(\sigma\)» entra con coeficiente \(-T/2\) —si nos fijamos solo en las componentes espaciales \(X^i\), es la misma estructura que el lagrangiano de una partícula siendo «energía cinética \(-\) energía potencial» (el tratamiento de la componente \(X^0\) requiere condiciones de ligadura, lo cual se discute en Cap. 13). Voy a explicar aquí la operación de «bajar índices». Definimos \(\partial_\tau X_\mu \equiv \eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\nu\) —multiplicando por \(\eta_{\mu\nu}\) y sumando sobre \(\nu\), convertimos un índice superíndice en subíndice. Por ejemplo, si \(D = 2\): \(\partial_\tau X_0 = \eta_{00}\partial_\tau X^0 + \eta_{01}\partial_\tau X^1 = (-1)\partial_\tau X^0 + 0 = -\partial_\tau X^0\), y \(\partial_\tau X_1 = \eta_{10}\partial_\tau X^0 + \eta_{11}\partial_\tau X^1 = 0 + (+1)\partial_\tau X^1 = \partial_\tau X^1\) —solo la componente temporal cambia de signo. Concretamente, para \(D = 4\): \(\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu = \eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu = -(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2 + (\partial_\tau X^2)^2 + (\partial_\tau X^3)^2\), y puedes ver que la misma estructura de signos (menos para la componente temporal, más para las espaciales) que obtuvimos en el caso \(D = 2\) al expandir la suma sobre \(a, b\) se mantiene tal cual para \(D = 4\) —es decir, \(\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu\) es la forma abreviada de \(\eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu\). Es una aplicación de la convención de suma: «cuando el mismo índice aparece arriba y abajo, se suma automáticamente».
⚪ Mei: Con la operación de bajar índices, al ver un índice repetido arriba y abajo simplemente se suma automáticamente —es una forma compacta de escribir.
🟡 Lina: Usando esta notación para resumir las dos sumas anidadas, \(\mathcal{L} = -\frac{T}{2}\bigl[-(\partial_\tau X^\mu)(\partial_\tau X_\mu) + (\partial_\sigma X^\mu)(\partial_\sigma X_\mu)\bigr] = \frac{T}{2}(\partial_\tau X^\mu)(\partial_\tau X_\mu) - \frac{T}{2}(\partial_\sigma X^\mu)(\partial_\sigma X_\mu)\). Así están las dos sumas anidadas.
El significado de cada símbolo es:
- \(T\): tensión de la cuerda
- \(\eta^{ab}\): métrica de Minkowski bidimensional de la hoja de mundo, cuyos componentes ordenados son \(\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1, 1)\) (una matriz \(2 \times 2\) con componentes diagonales \(-1, 1\)). Los índices \(a, b\) recorren las direcciones de la hoja de mundo \((\tau, \sigma)\). \(-1\) corresponde a la dirección temporal (\(\tau\)) y \(+1\) a la dirección espacial (\(\sigma\)), que es la versión bidimensional de la métrica de la relatividad especial \(\mathrm{diag}(-1,1,1,1)\). El hecho de que los índices estén arriba (\(\eta^{ab}\)) es una notación que representa las componentes correspondientes a la «matriz inversa»; en el caso de la métrica de Minkowski, las componentes son iguales tanto arriba como abajo (es decir, \(\eta_{ab} = \eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1, 1)\)). En un espacio-tiempo curvo general las de arriba y las de abajo difieren, pero ahora puedes pensar «arriba y abajo tienen los mismos valores numéricos»
- \(\eta_{\mu\nu}\): métrica de Minkowski del espacio-tiempo \(D\)-dimensional, con componentes \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, \ldots, +1)\). Que solo la dirección temporal tenga signo \(-1\) es la convención de la relatividad especial para «distinguir tiempo y espacio», y cumple el papel de tomar el producto interior en la dirección espacio-temporal de \(\partial_a X^\mu\) y \(\partial_b X^\nu\)
A partir de esta \(\mathcal{L}\), al aplicar la ecuación de Euler-Lagrange (la ecuación de movimiento que se deriva de la condición de hacer estacionaria la acción), se obtiene el siguiente resultado. Intuitivamente, al escribir la condición de que en cada punto de la cuerda se equilibran «la aceleración en la dirección temporal» y «la fuerza restauradora debida a la tensión en la dirección espacial», se obtiene la ecuación de onda —exactamente el mismo principio por el que, cuando vibra la cuerda de una guitarra, en cada punto se equilibran la tensión y la inercia. Los pasos de derivar la ecuación de movimiento desde la densidad lagrangiana a través de la ecuación de Euler-Lagrange se realizan cuidadosamente en Cap. 13, así que aquí solo acepta la forma de la ecuación de movimiento. Pero una observación: esta ecuación de movimiento solo es válida después de fijar la métrica de la hoja de mundo al gauge conforme. «Fijar el gauge» es la operación de elegir, entre descripciones físicamente equivalentes, una forma particular conveniente para los cálculos; aquí se elige la métrica de la hoja de mundo como la forma plana de Minkowski (\(\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1,1)\)). Por qué esto está permitido y qué significa físicamente se trata en detalle en Cap. 13. En el gauge conforme, \(\eta^{ab}\) es una matriz constante independiente del punto, así que la ecuación de movimiento obtenida de la ecuación de Euler-Lagrange es:
Como \(\eta^{ab}\) es una matriz diagonal constante, al tomar la suma sobre \(a, b\) por la convención de suma, los términos con \(a \neq b\) desaparecen y queda \(\eta^{00}\partial_0\partial_0 X^\mu + \eta^{11}\partial_1\partial_1 X^\mu = (-1)\partial_\tau^2 X^\mu + (+1)\partial_\sigma^2 X^\mu = 0\). Multiplicando ambos lados por \(-1\): \(\partial_\tau^2 X^\mu - \partial_\sigma^2 X^\mu = 0\), es decir:
🔵 Kai: Ah, por eso la conexión «vibración de la cuerda = ecuación de onda en la hoja de mundo» tiene sentido. ...Pero, en la fórmula de la densidad lagrangiana aparecen \(\eta^{ab}\) y \(\eta_{\mu\nu}\), que tienen el mismo símbolo pero con los índices en posiciones diferentes. ¿Son cosas distintas?
🟡 Lina: Buena observación. \(\eta^{ab}\) y \(\eta_{\mu\nu}\) son métricas diferentes. \(\eta^{ab}\) es la métrica de la hoja de mundo (bidimensional, \(\tau, \sigma\)) y es una matriz \(2 \times 2\); \(\eta_{\mu\nu}\) es la métrica del espacio-tiempo (\(D\)-dimensional) y es una matriz \(D \times D\). El símbolo \(\eta\) es el mismo porque ambas son «métricas de Minkowski planas». Que los índices estén arriba o abajo es la distinción entre contravariante (arriba) y covariante (abajo), contenido tratado en Relatividad General Cap. 5 de Relatividad General. Aquí basta con recordar que «\(\eta^{ab}\) es para la hoja de mundo, \(\eta_{\mu\nu}\) es para el espacio-tiempo, son objetos diferentes con rangos de índices distintos».
🔵 Kai: El mismo símbolo \(\eta\) pero objetos distintos de diferente dimensión... Entonces, si la hoja de mundo no fuera plana sino curva, ¿la parte \(\eta^{ab}\) se convertiría en una métrica más compleja?
🟡 Lina: Exacto. En general, la métrica de la hoja de mundo se escribe \(h_{ab}(\tau, \sigma)\) para describir una superficie curva. Sin embargo, en la teoría de cuerdas podemos elegir \(h_{ab} = \eta_{ab}\) mediante la «fijación de gauge» —por eso ahora solo necesitamos la \(\eta^{ab}\) plana. Este mecanismo se trata en detalle en Cap. 13.
A.4 Condiciones de contorno y modos de vibración de la cuerda¶
🟡 Lina: La solución general de la ecuación de onda unidimensional eran funciones arbitrarias \(f, g\), pero las cuerdas reales tienen condiciones de contorno. Según sea cuerda cerrada (un anillo con los extremos unidos) o cuerda abierta (con extremos libres), las condiciones cambian, y eso determina la discretización de los modos de vibración.
Condición de contorno periódica de la cuerda cerrada¶
En la cuerda cerrada, \(\sigma\) da una vuelta con período \(2\pi\):
A partir de esta periodicidad, \(X^\mu\) se puede expandir en una serie de Fourier respecto a \(\sigma\). La serie de Fourier es el método de expresar una función periódica como suma de funciones trigonométricas (\(\sin\) y \(\cos\)). Es el mismo principio por el que el sonido de la cuerda de un instrumento se puede expresar como superposición de la vibración fundamental y los armónicos: cualquier función periódica puede representarse como una suma infinita de \(\sin(n\sigma)\) y \(\cos(n\sigma)\) (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)) con amplitudes adecuadas —este es el teorema de Fourier. La demostración es contenido de matemáticas universitarias, así que aquí usaremos como herramienta el hecho de que «una función de período \(2\pi\) se puede descomponer en componentes de vibración con \(n\) entero».
🔵 Kai: Es un poco sorprendente que cualquier forma de onda pueda expresarse como suma de \(\sin\) y \(\cos\). Pero si pienso que el sonido de un instrumento es una superposición de armónicos, tiene sentido.
🟡 Lina: Buena imagen. Ahora voy a introducir otra herramienta. Usando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), podemos agrupar \(\cos\) y \(\sin\) en una sola exponencial compleja \(e^{i\theta}\). La demostración es contenido de matemáticas universitarias así que la omito (se puede derivar sustituyendo \(x = i\theta\) en la expansión en serie infinita de \(e^x\)), pero aquí piensa en ella como «una fórmula que empaqueta \(\cos\) y \(\sin\) en una sola función exponencial». La razón de agruparlos es que la función exponencial no cambia de forma al derivar (\(d(e^{i n\sigma})/d\sigma = in\, e^{in\sigma}\)), por lo que los cálculos de derivadas y sumas se simplifican enormemente. Usando esta notación compleja, combinemos paso a paso la expansión en serie de Fourier con las condiciones para que la solución satisfaga la ecuación de onda. Primero, por la condición de contorno periódica, las componentes de Fourier en la dirección \(\sigma\) se limitan a la forma \(e^{in\sigma}\) (\(n\) entero). A continuación, para que cada componente satisfaga la ecuación de onda \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X = 0\), hay que multiplicar \(e^{in\sigma}\) por la dependencia temporal apropiada. Probando \(e^{-in\tau}e^{in\sigma} = e^{-in(\tau - \sigma)}\), de \(\partial_\tau^2\) sale \((-in)^2 = -n^2\), y de \(\partial_\sigma^2\) sale \((in)^2 = -n^2\), y su diferencia es cero —efectivamente es solución. De forma análoga, \(e^{-in(\tau + \sigma)}\) también es solución —así se obtienen la onda que se propaga a la derecha (depende de \(\tau - \sigma\)) y la que se propaga a la izquierda (depende de \(\tau + \sigma\)).
⚪ Mei: La condición de contorno periódica restringe la dirección \(\sigma\) a \(e^{in\sigma}\), y la ecuación de onda determina la forma de la parte temporal —combinando las dos condiciones se acota la forma de los modos.
🟡 Lina: Exacto. Sin embargo, solo con esto no se incluye la información de dónde está la cuerda en conjunto en el espacio ni hacia dónde se mueve globalmente. Las componentes de vibración representan solo «cambios en la forma de la cuerda», y hay que especificar por separado dónde está el centro de masa (\(x^\mu\)) y en qué dirección y con qué velocidad se mueve (movimiento uniforme proporcional al momento \(p^\mu\)). Añadiendo estos:
Aquí la suma \(\sum_{n \neq 0}\) significa sumar sobre todos los enteros no nulos \(n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\) Por la fórmula de Euler, \(e^{-in(\tau-\sigma)} = \cos[n(\tau-\sigma)] - i\sin[n(\tau-\sigma)]\), así que \(e^{-in(\tau-\sigma)}\) es una onda que vibra con frecuencia \(|n|\) expresada en números complejos.
🔵 Kai: Espera, en la fórmula aparece la unidad imaginaria \(i\). ¿No puede pasar que la posición \(X^\mu\) resulte ser imaginaria?
🟡 Lina: Buena duda. \(X^\mu\) representa la posición en el espacio-tiempo, así que debe ser un número real. Los \(\alpha_n^\mu\) en sí mismos son en general complejos, y son constantes cuyo valor queda determinado por las condiciones iniciales (la forma y el movimiento inicial de la cuerda). La condición que garantiza que «\(X^\mu\) en su totalidad sea real» es \(\alpha_{-n}^\mu = (\alpha_n^\mu)^*\) y \(\tilde{\alpha}_{-n}^\mu = (\tilde{\alpha}_n^\mu)^*\) (conjugado complejo —para un número complejo \(z = a + bi\), es \(z^* = a - bi\), que invierte el signo de la parte imaginaria). La misma condición se necesita para la onda derecha y la izquierda por separado. Veámoslo concretamente —por ejemplo, sumando los términos \(n = 1\) y \(n = -1\) de la onda derecha: \(\frac{i}{1}\alpha_1^\mu e^{-i(\tau-\sigma)} + \frac{i}{-1}\alpha_{-1}^\mu e^{i(\tau-\sigma)} = i\alpha_1^\mu e^{-i(\tau-\sigma)} - i(\alpha_1^\mu)^* e^{i(\tau-\sigma)}\), que tiene la forma \(z - z^* = 2i\,\mathrm{Im}(z)\), resultando en un número real. Para la onda izquierda con \(\tilde{\alpha}_n\) funciona exactamente igual. Para \(n\) general, el mismo mecanismo hace que las partes imaginarias se cancelen. Los detalles de esta condición se confirman en Cap. 13.
Organicemos el significado de cada símbolo: - \(x^\mu\): posición inicial del centro de masa de la cuerda - \(\alpha'\): parámetro de la pendiente de Regge (una constante relacionada con la tensión de la cuerda \(T\) por \(\alpha' = 1/(2\pi T)\). Representa la «flexibilidad» de la cuerda. La razón de usar \(\alpha'\) en lugar de \(T\) directamente es que la expansión en modos y la fórmula de masas quedan más concisas escritas en términos de \(\alpha'\) —históricamente fue introducida como la pendiente de las trayectorias de Regge) - \(p^\mu\): momento del centro de masa de la cuerda (\(2\alpha' p^\mu \tau\) representa el movimiento uniforme del centro de masa. La razón por la que el coeficiente es \(2\alpha'\) es que surge naturalmente al definir el momento a partir de la acción de Polyakov —la derivación se hace en Cap. 13, así que por ahora acepta que es «una normalización convencional que incluye \(\alpha'\)». En este libro adoptamos la convención de escribir el término del centro de masa como \(2\alpha' p^\mu \tau\) tanto para la cuerda cerrada como para la abierta) - \(\alpha_n^\mu\): coeficiente del \(n\)-ésimo modo de la expansión de la onda que se propaga a la derecha (la parte que depende de \(\tau - \sigma\)) - \(\tilde{\alpha}_n^\mu\): coeficiente del \(n\)-ésimo modo de la expansión de la onda que se propaga a la izquierda (la parte que depende de \(\tau + \sigma\)) - Los coeficientes \(i\) (unidad imaginaria), \(1/n\), \(\sqrt{2\alpha'}\), y el \(2\alpha'\) del término del centro de masa, son todos normalizaciones convencionales. \(1/n\) da un peso de modo que «cuanto mayor es \(n\) (frecuencia de vibración más alta), menor es la amplitud» —esta elección se hace para que, al cuantizar en capítulos posteriores (Cap. 13), la relación de conmutación tenga la forma limpia \([\alpha_m, \alpha_n] \propto m\delta_{m+n}\). Los factores \(i\), \(\sqrt{2\alpha'}\), \(2\alpha'\) también están elegidos por la misma razón. Por ahora piensa «los coeficientes están puestos con una convención que resulta conveniente al cuantizar»
Que izquierda y derecha sean independientes (descomponibles) es la característica de la cuerda cerrada.
⚪ Mei: Resumiendo, la expansión en modos de la cuerda cerrada consta de «posición del centro de masa \(x^\mu\) + movimiento uniforme del centro de masa \(2\alpha' p^\mu \tau\) + vibración de la onda derecha (suma de \(\alpha_n\)) + vibración de la onda izquierda (suma de \(\tilde{\alpha}_n\))», cuatro partes. La condición de contorno periódica hace posible la expansión en serie de Fourier, y las frecuencias de vibración se discretizan a enteros \(n\).
🔵 Kai: Una confirmación: \(\alpha_n^\mu\) y \(\tilde{\alpha}_n^\mu\) pueden tomar valores completamente diferentes incluso para el mismo \(n\), ¿verdad? Porque dijiste que en la cuerda cerrada izquierda y derecha son independientes... Pero, ¿por qué en la cuerda cerrada izquierda y derecha pueden ser independientes?
🟡 Lina: La cuerda cerrada es un anillo, así que no tiene «extremos», ¿verdad? Si no hay extremos, no hay lugar donde las ondas se reflejen —por eso la onda que va a la derecha y la que va a la izquierda no interfieren entre sí, y \(\alpha_n^\mu\) y \(\tilde{\alpha}_n^\mu\) son coeficientes completamente independientes. En contraste con la cuerda abierta, donde la reflexión en los extremos acopla izquierda y derecha —esa diferencia será relevante en la segunda parte de A.4.
🔵 Kai: Como no hay extremos no hay reflexión —por eso izquierda y derecha no se mezclan y permanecen independientes.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es la condición de contorno periódica de la cuerda cerrada? Además, ¿qué estructura surge en la expansión en modos por efecto de esa condición?
Respuesta
En la cuerda cerrada, \(\sigma\) da una vuelta con período \(2\pi\), por lo que se impone la condición de contorno periódica \(X^\mu(\tau, \sigma + 2\pi) = X^\mu(\tau, \sigma)\). Esta condición permite expandir \(X^\mu\) en serie de Fourier, y surge la estructura con coeficientes de modos independientes para la onda derecha \(\alpha_n^\mu\) y la onda izquierda \(\tilde{\alpha}_n^\mu\).
Condiciones de contorno de la cuerda abierta¶
En la cuerda abierta se imponen condiciones en ambos extremos \(\sigma = 0, \pi\). Las dos representativas son:
- Condición de contorno de Neumann: \(\partial_\sigma X^\mu|_{\sigma=0, \pi} = 0\) (los extremos pueden moverse libremente)
- Condición de contorno de Dirichlet: $X^\mu|_{\sigma=0, \pi} = $ constante (los extremos están fijados a una posición específica del espacio-tiempo y no pueden moverse con el paso del tiempo. El objeto al que están «clavados» se llama D-brana —se trata en detalle en Cap. 14)
Bajo la condición de contorno de Neumann, las ondas derecha e izquierda se «reflejan» en los extremos y se acoplan, y la expansión en modos es:
Al igual que en la cuerda cerrada, \(\sum_{n \neq 0}\) suma sobre todos los \(n = \pm 1, \pm 2, \ldots\) Podrías pensar «como \(\cos(-n\sigma) = \cos(n\sigma)\), ¿no bastaría con \(n\) positivos?», pero la parte temporal \(e^{-in\tau}\) cambia con el signo de \(n\) (\(e^{-i\tau}\) y \(e^{+i\tau}\) son diferentes), así que los \(n\) positivos y negativos son términos independientes. De hecho, podríamos reescribirlo usando solo \(n\) positivos con \(\cos(n\tau)\) y \(\sin(n\tau)\), pero mantener la forma de exponencial compleja \(e^{-in\tau}\) hace que las relaciones de conmutación queden más limpias al cuantizar en capítulos posteriores (Cap. 13), así que adoptamos deliberadamente la escritura con \(n\) positivos y negativos.
🔵 Kai: Ya veo, en la dirección \(\sigma\) es \(\cos\) así que positivo y negativo dan lo mismo, pero en la dirección \(\tau\) el \(e^{-in\tau}\) es una onda diferente según el signo de \(n\), así que ambos son necesarios.
🟡 Lina: Así es. Sin embargo, para que \(X^\mu\) sea real, los términos con \(n\) positivo y \(n\) negativo deben formar parejas que cancelen la parte imaginaria —esa condición es \(\alpha_{-n}^\mu = (\alpha_n^\mu)^*\). Veámoslo concretamente poniendo juntos los términos \(n = 1\) y \(n = -1\). El término \(n = 1\) es \(\frac{i}{1}\alpha_1^\mu e^{-i\tau}\cos\sigma\), y el término \(n = -1\) es \(\frac{i}{-1}\alpha_{-1}^\mu e^{i\tau}\cos\sigma = -i(\alpha_1^\mu)^* e^{i\tau}\cos\sigma\) (usando \(\alpha_{-1} = \alpha_1^*\)). Sumando ambos: \(i\alpha_1^\mu e^{-i\tau}\cos\sigma - i(\alpha_1^\mu)^* e^{i\tau}\cos\sigma\), que tiene la forma \(z - z^* = 2i\,\mathrm{Im}(z)\) y el resultado es real. Para \(n\) general, el mismo mecanismo cancela las partes imaginarias (es exactamente el mismo argumento que verificamos en la expansión en modos de la cuerda cerrada).
⚪ Mei: Los \(n\) positivos y negativos forman parejas que cancelan la parte imaginaria, así que en total \(X^\mu\) se mantiene real. El mismo mecanismo que en la cuerda cerrada.
🟡 Lina: La razón por la que aparece \(\cos(n\sigma)\) es que al derivar \(\cos(n\sigma)\) respecto a \(\sigma\) se obtiene \(-n\sin(n\sigma)\), y en \(\sigma = 0\) tenemos \(\sin(0) = 0\), y en \(\sigma = \pi\) tenemos \(\sin(n\pi) = 0\) (porque \(n\) es entero), así que la condición de Neumann \(\partial_\sigma X^\mu = 0\) se satisface automáticamente. Dicho al revés, para que \(\sin(n\pi) = 0\) se cumpla, \(n\) debe ser entero —esta es una de las razones de la discretización de las frecuencias. Nótese que la componente \(n = 0\) no corresponde a vibración sino al movimiento del centro de masa (la parte \(x^\mu + 2\alpha' p^\mu \tau\)), así que en la suma de modos de vibración solo se toman los \(n \neq 0\). \(\alpha'\) es el parámetro de la pendiente de Regge (\(\alpha' = 1/(2\pi T)\)) que explicamos en la sección de la cuerda cerrada. Es la misma constante tanto para la cuerda cerrada como para la abierta, y aparece de la misma manera en las fórmulas.
🔵 Kai: En la cuerda cerrada había \(\alpha_n\) y \(\tilde{\alpha}_n\) por separado, pero en la cuerda abierta solo queda \(\alpha_n\). ¿Por qué se reduce a un solo conjunto? Además, me llama la atención que la parte temporal no es \(e^{-in(\tau - \sigma)}\) sino \(e^{-in\tau}\).
🟡 Lina: En la cuerda abierta las ondas se reflejan en los extremos, así que la onda que va a la derecha y la que va a la izquierda no pueden ser independientes. Al estar ligadas por la reflexión, los coeficientes de modo independientes se unifican en un solo conjunto. Respecto a la parte temporal, en realidad \(e^{-in(\tau-\sigma)} + e^{-in(\tau+\sigma)} = e^{-in\tau}(e^{in\sigma} + e^{-in\sigma}) = 2e^{-in\tau}\cos(n\sigma)\), así que el resultado de sumar la onda derecha y la izquierda toma la forma \(e^{-in\tau}\cos(n\sigma)\). El factor \(2\) se absorbe en la normalización.
⚪ Mei: Es decir, en la cuerda cerrada izquierda y derecha pueden vibrar independientemente, pero en la cuerda abierta la reflexión en los extremos acopla izquierda y derecha, y como resultado los coeficientes de modo se unifican en un solo conjunto \(\alpha_n\).
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué restricciones físicas imponen respectivamente las condiciones de contorno de Neumann y de Dirichlet a los extremos de la cuerda abierta?
Respuesta
La condición de contorno de Neumann \(\partial_\sigma X^\mu|_{\sigma=0,\pi} = 0\) significa que los extremos de la cuerda pueden moverse libremente. La condición de contorno de Dirichlet $X^\mu|_{\sigma=0,\pi} = $ constante significa que los extremos de la cuerda están fijados a una posición específica (sobre una D-brana). En el caso de la condición de Neumann, las ondas derecha e izquierda se reflejan en los extremos y se acoplan, unificándose los coeficientes de modo en un solo conjunto (solo \(\alpha_n\)). En el caso de la condición de Dirichlet también se produce reflexión en los extremos y los coeficientes de modo se unifican igualmente (la forma concreta de la expansión en modos se trata en Cap. 14).
Discretización de los modos de vibración de la cuerda¶
🟡 Lina: Tanto en la cuerda cerrada como en la abierta, al imponer condiciones de contorno (periodicidad o condiciones en los extremos), las frecuencias de vibración \(\omega_n = n\) (en unidades naturales) se discretizan a valores enteros \(n = 1, 2, 3, \ldots\) Esto es lo que genera los «estados cuánticos» de la cuerda.
Por cierto, en el caso de la cuerda abierta con ambos extremos fijos (condición de contorno Dirichlet-Dirichlet), la situación es la misma que la cuerda de un instrumento musical. Para hacer la explicación más clara, de las \(X^\mu\) en \(D\) dimensiones extraemos solo una dirección particular (por ejemplo la componente \(\mu = 1\)) y escribimos el \(n\)-ésimo modo de vibración como \(f_n(\sigma, \tau)\). Como los extremos no pueden moverse, \(f_n\) debe ser cero en \(\sigma = 0\) y \(\sigma = \pi\). Como \(\sin(n\sigma)\) es cero en \(\sigma = 0\) y también en \(\sigma = \pi\) (cuando \(n\) es entero), cada modo de vibración toma la forma \(f_n(\sigma, \tau) = A_n\sin(n\sigma)\cos(n\tau) + B_n\sin(n\sigma)\sin(n\tau)\) (\(A_n\), \(B_n\) son constantes determinadas por las condiciones iniciales). Por ejemplo, si se pulsa la cuerda con velocidad inicial cero, \(B_n = 0\) y solo queda \(f_n = A_n\sin(n\sigma)\cos(n\tau)\). Que esto efectivamente satisface la ecuación de onda se verifica en el ejercicio A.28. Con la condición de Neumann aparece \(\cos(n\sigma)\) y con la condición de Dirichlet aparece \(\sin(n\sigma)\): la forma funcional de la parte espacial cambia según la condición de contorno, pero en ambos casos \(n\) se discretiza a enteros.
✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué los modos de vibración de la cuerda se discretizan (las frecuencias de vibración se restringen a valores enteros \(n = 1, 2, 3, \ldots\))?
Respuesta
Solo las soluciones que satisfacen las condiciones de contorno (periodicidad de la cuerda cerrada, o condiciones en los extremos de la cuerda abierta) son físicamente permitidas, por lo que de las frecuencias continuas solo sobreviven los valores enteros. Este es el mismo principio por el que en la cuerda de un instrumento solo se permiten la vibración fundamental y los armónicos.
🔵 Kai: Entiendo que los modos de vibración se discretizan. Pero, ¿por qué «diferente modo de vibración = partícula diferente»? Me pregunto qué diferencia fundamental hay con que los armónicos de una cuerda de instrumento suenen como notas diferentes...
🟡 Lina: Buena pregunta. Cuando se cuantizan los modos de vibración clásicos de la cuerda, el número de excitación de cada modo determina la masa y el espín de la partícula —el gravitón, los bosones gauge y demás partículas aparecen como diferentes estados de vibración de la cuerda. La diferencia con los armónicos de un instrumento es que en la teoría de cuerdas la energía de la vibración se traduce directamente en masa a través de \(E = mc^2\). La cuantización detallada se desarrolla en Cap. 13 y Cap. 14.
🔵 Kai: Como la energía de vibración se convierte en masa, si el patrón de vibración es diferente se ve como una partícula de diferente masa... Pero si \(n = 1\) es la vibración fundamental y \(n = 2\) el primer armónico determinan la masa, y hay infinitos modos de vibración, ¿no habría infinitos tipos de partículas? Pero lo que se observa experimentalmente es un número finito.
🟡 Lina: Muy agudo. En realidad, cuanto mayor es \(n\), mayor es la masa, llegando a partículas superpesadas del orden de la masa de Planck. Lo que podemos observar con los aceleradores actuales son solo unos pocos modos, los más ligeros —por eso parece finito. Los detalles se confirmarán cuando calculemos el espectro de masas en Cap. 14.
🔵 Kai: Es decir, teóricamente hay infinitos, pero como son demasiado pesados para ser detectados, simplemente «no se ven»... Pero al revés, si en el futuro se construyen aceleradores de mayor energía, ¿podrían descubrirse partículas de modos pesados? ¿Eso sería una verificación experimental de la teoría de cuerdas?
⚪ Mei: Resumiendo: cuanto mayor es \(n\), más pesado es el modo, entrando en una región inaccesible con la tecnología actual —así que «hay infinitos tipos de partículas, pero solo se ven unos pocos ligeros».
🟡 Lina: Exacto. Y la energía de Planck es más de \(10^{15}\) veces superior a la de los aceleradores actuales, así que la verificación directa es por ahora muy difícil. Por eso la evidencia indirecta —por ejemplo, la consistencia con predicciones a baja energía— cobra importancia. Esto también lo discutiremos en capítulos posteriores.
🔵 Kai: \(10^{15}\) veces... Entonces, aunque la teoría de cuerdas sea correcta, la verificación directa de «encontrar modos pesados de la cuerda» no será posible en mucho tiempo, ¿verdad? ¿Eso está bien como ciencia? He oído que una teoría que no se puede refutar no es ciencia...
🟡 Lina: Es una pregunta muy esencial. El problema de la verificación experimental de la teoría de cuerdas —incluyendo su relación con la falsabilidad— se discute de frente en Cap. 22, así que espéralo con ganas.
🔵 Kai: ...De lo que hemos visto hasta ahora me surge una duda: si la estructura de los modos de vibración es diferente entre la cuerda cerrada y la abierta (izquierda y derecha independientes vs. acoplados en un conjunto), ¿los tipos de partículas que nacen de ellas también serán diferentes?
🟡 Lina: Sí, exactamente. De la cuerda cerrada surge el gravitón (espín 2), y de la cuerda abierta surgen los bosones gauge (espín 1) —la diferencia en la estructura de modos se traduce directamente en la diferencia de espín de las partículas. Lo confirmaremos en detalle en Cap. 14 después de cuantizar.
🔵 Kai: La diferencia en la estructura de modos se traduce directamente en diferencia de espín... ¿Es algo así como que la cuerda cerrada tiene izquierda y derecha independientes, así que hay más combinaciones de modos y se puede construir espín 2, pero la cuerda abierta solo tiene un conjunto así que se queda en espín 1?
🟡 Lina: Intuitivamente esa imagen es correcta. En la cuerda cerrada se pueden «multiplicar» los modos izquierdo y derecho para construir un estado de espín 2 —el argumento preciso lo dejamos para Cap. 14, pero la dirección es correcta.
🔵 Kai: El mecanismo de multiplicar izquierda y derecha para hacer espín 2 lo espero con ganas para Cap. 14. ...Una última confirmación: en la cuerda abierta con condición de Dirichlet, ¿cómo cambia la expansión en modos? Entiendo que \(\cos\) se convierte en \(\sin\), pero ¿qué pasa con la parte del movimiento del centro de masa \(2\alpha' p^\mu \tau\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. En las direcciones donde se impone la condición de Dirichlet, la posición de los extremos está fija, así que la cuerda en su conjunto no puede moverse en esa dirección —es decir, el momento en esa dirección es cero. El centro de masa no se mueve en esa dirección, y solo la parte de vibración se expande en \(\sin(n\sigma)\). Por otro lado, en las direcciones donde se impone la condición de Neumann, el centro de masa puede moverse normalmente. En las D-branas reales las condiciones difieren según la dirección, así que la forma detallada la escribiremos cuando tratemos las D-branas en Cap. 14.
🔵 Kai: Ya veo, como según la dirección puede ser Neumann o Dirichlet, en algunas direcciones la cuerda puede moverse y en otras no —eso determina la «dimensión» de la D-brana.
⚪ Mei: Resumiendo los puntos de este apéndice: la ecuación de onda bidimensional de la cuerda se descompone en ondas que se propagan a izquierda y derecha mediante la solución de d'Alembert; en la cuerda cerrada, la condición de contorno periódica produce modos independientes izquierdo y derecho \(\alpha_n\), \(\tilde{\alpha}_n\). En la cuerda abierta, la reflexión en los extremos acopla izquierda y derecha y los coeficientes de modo se reducen a un conjunto; con la condición de Neumann se expande en \(\cos(n\sigma)\) y con la de Dirichlet en \(\sin(n\sigma)\). En ambos casos las condiciones de contorno discretizan las frecuencias a enteros, y eso se convierte en el origen que determina la masa y el espín de las partículas.
📝 Ejercicios:
- Verificación de la ecuación de onda, descomposición en ondas estacionarias, condiciones de contorno de los modos de vibración de la cuerda → Problema B-18. La onda plana satisface la ecuación de ondas, Problema B-19. La onda exponencial compleja satisface la ecuación de ondas, Problema M-5. Solución de d'Alembert \(g(x - vt)\), Problema B-20. Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales, Problema M-6. Descomposición en ondas estacionarias, Problema M-7. Condiciones de frontera de los modos de vibración de una cuerda
Adelanto del próximo capítulo¶
En Apéndice B se enumeran los valores de las constantes físicas que aparecen en el texto principal —velocidad de la luz \(c\), constante de Planck \(\hbar\), constante de gravitación universal \(G\), etc.— y se organiza la correspondencia entre el sistema SI y el sistema de unidades naturales. Qué significa «hacer \(c = 1\)» —confirmemos cómo la elección del sistema de unidades cambia la perspectiva de la física.
Referencias¶
- Appendix A «Análisis vectorial» de Relatividad General — Explicación autocontenida de derivadas parciales, grad, div, rot, laplaciano, identidades vectoriales, teoremas integrales y solución de d'Alembert de la ecuación de onda (hub común a las 4 partes)
- David Tong, Lectures on String Theory, Ch.2–3 — Ecuación de onda de la cuerda, expansión en modos, cuantización en el cono de luz
- Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.6–8 — Cuerda relativista, condiciones de contorno de Neumann/Dirichlet, cuantización
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