Saltar a contenido

Cap. 3 Soluciones

← Volver a ejercicios　|　Volver al capítulo

Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Ecuación de Euler-Lagrange a partir de la densidad lagrangiana (campo de Klein-Gordon)

→ Volver al problema

(a) Cálculo de \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\)

En \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\), el único término que contiene \(\phi\) sin derivadas es \(-\frac{1}{2}m^2\phi^2\).

\[ \boxed{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2\phi} \]

(b) Cálculo de \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\)

Reescribimos el término cinético como \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\). Al derivar parcialmente respecto a \(\partial_\mu\phi\):

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left[\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\right] = \frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}(\delta^\mu_\alpha\,\partial_\beta\phi + \partial_\alpha\phi\,\delta^\mu_\beta) = \frac{1}{2}(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi + \eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi) = \partial^\mu\phi \]
\[ \boxed{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu\phi} \]

(c) Derivación de la ecuación de Klein-Gordon

Sustituimos en la ecuación de Euler-Lagrange \(\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\):

\[ \partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0 \]
\[ \boxed{\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi = 0} \]

Esta es la ecuación de Klein-Gordon.

Verificación: Sustituyendo una onda plana \(\phi \propto e^{-ik\cdot x}\) se obtiene \(-k_\mu k^\mu + m^2 = 0\), es decir, \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\), lo cual es consistente con la relación de dispersión relativista.

B-2. Desarrollo de los índices del término cinético

→ Volver al problema

Usando \(\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\), verificamos cada componente:

\[ \partial^0\phi = \eta^{00}\partial_0\phi = (+1)\partial_0\phi = \dot{\phi} \]
\[ \partial^i\phi = \eta^{ii}\partial_i\phi = (-1)\partial_i\phi = -\partial_i\phi \quad (i = 1, 2, 3) \]

Sumando sobre \(\mu\):

\[ \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\left[\partial_0\phi\,\partial^0\phi + \sum_{i=1}^{3}\partial_i\phi\,\partial^i\phi\right] \]
\[ = \frac{1}{2}\left[\dot{\phi}\cdot\dot{\phi} + \sum_{i=1}^{3}\partial_i\phi\cdot(-\partial_i\phi)\right] \]
\[ \boxed{\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2} \]

Verificación: A partir de la signatura de la métrica \((+,-,-,-)\), se puede confirmar que la componente temporal tiene signo positivo y las componentes espaciales tienen signo negativo.

B-3. Relación de dispersión para un campo sin término de masa

→ Volver al problema

La ecuación de movimiento obtenida a partir de la densidad lagrangiana con \(m = 0\), \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\), es:

\[ \partial_\mu\partial^\mu\phi = 0 \quad (\text{ecuación de onda}) \]

Calculamos las derivadas de la solución de onda plana \(\phi(x) = A\,e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\):

\[ \partial_0\phi = -iE\,\phi, \qquad \partial_0^2\phi = (-iE)^2\phi = -E^2\phi \]
\[ \partial_i\phi = ip_i\,\phi, \qquad \nabla^2\phi = (ip_1)^2\phi + (ip_2)^2\phi + (ip_3)^2\phi = -|\mathbf{p}|^2\phi \]

Calculamos el d'Alembertiano:

\[ \partial_\mu\partial^\mu\phi = \partial_0^2\phi - \nabla^2\phi = -E^2\phi - (-|\mathbf{p}|^2\phi) = (-E^2 + |\mathbf{p}|^2)\phi = 0 \]

Como \(\phi \neq 0\):

\[ \boxed{E^2 = |\mathbf{p}|^2} \]

Verificación: Esto corresponde a la relación de dispersión \(E = |\mathbf{p}|\) para partículas sin masa (como el fotón), lo cual es físicamente correcto.

B-4. Lagrangiano con término de interacción

→ Volver al problema

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 \]

Paso 1: Derivada parcial respecto a \(\phi\)

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = -m^2\phi - \frac{\lambda}{4!}\cdot 4\phi^3 = -m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3 \]

Paso 2: Derivada parcial respecto a \(\partial_\mu\phi\)

El término \(\phi^4\) no contiene \(\partial_\mu\phi\), por lo que el resultado es el mismo que en D1(b):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi \]

Paso 3: Sustitución en la ecuación de Euler-Lagrange

\[ \partial_\mu(\partial^\mu\phi) - \left(-m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3\right) = 0 \]
\[ \boxed{(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0} \]

Verificación: Si se hace \(\lambda = 0\), se recupera la ecuación de Klein-Gordon libre. Además, al derivar \(\frac{\lambda}{4!}\phi^4\) respecto a \(\phi\) se obtiene \(\frac{4\lambda}{4!}\phi^3 = \frac{\lambda}{3!}\phi^3\), lo que confirma que el tratamiento de los factoriales es correcto.

B-5. Expresión en componentes del d'Alembertiano

→ Volver al problema

Expandimos \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\):

\[ \Box = \eta^{00}\partial_0\partial_0 + \eta^{11}\partial_1\partial_1 + \eta^{22}\partial_2\partial_2 + \eta^{33}\partial_3\partial_3 \]
\[ = (+1)\frac{\partial^2}{\partial t^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial x^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial y^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial z^2} \]
\[ \boxed{\Box = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}} \]

Escribiendo la ecuación de Klein-Gordon \((\Box + m^2)\phi = 0\) en componentes:

\[ \boxed{\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} + m^2\phi = 0} \]

Verificación: Si hacemos \(m = 0\), se reduce a la ecuación de ondas usual \(\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \nabla^2\phi\).

B-6. Desarrollo en componentes de la ecuación de continuidad

→ Volver al problema

(a) Ecuación de continuidad

Desarrollamos \(\partial_\mu j^\mu = 0\):

\[ \partial_\mu j^\mu = \partial_0 j^0 + \partial_1 j^1 + \partial_2 j^2 + \partial_3 j^3 = \frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = 0 \]
\[ \boxed{\frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = 0} \]

Esto tiene la misma forma que la ecuación de continuidad para la densidad de carga \(\rho = j^0\) y la densidad de corriente \(\mathbf{j}\).

(b) Invariancia temporal de la carga conservada

\[ \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}\int d^3x\,j^0 = \int d^3x\,\frac{\partial j^0}{\partial t} \]

Sustituyendo el resultado de (a), \(\frac{\partial j^0}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{j}\):

\[ \frac{dQ}{dt} = -\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j} \]

Aplicamos el teorema de Gauss:

\[ \frac{dQ}{dt} = -\oint_{\partial V}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S} \]

Si suponemos que \(\mathbf{j}\) decae suficientemente rápido en el infinito espacial (\(|\mathbf{j}| \to 0\) as \(|\mathbf{x}| \to \infty\)), al tomar la región de integración como todo el espacio, la integral de superficie se anula:

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt} = 0} \]

Por lo tanto, \(Q\) es una cantidad conservada independiente del tiempo.

Verificación: Como análisis dimensional, si \(j^0\) tiene dimensiones de densidad de carga, entonces \(Q = \int d^3x\,j^0\) tiene dimensiones de carga, lo cual es consistente.

B-7. Derivadas parciales del campo escalar complejo

→ Volver al problema

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi \]

(a) Cálculo de \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^*}\)

El único término que contiene \(\phi^*\) por sí mismo (sin derivadas) es \(-m^2\phi^*\phi\). Se trata \(\phi\) como constante:

\[ \boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^*} = -m^2\phi} \]

(b) Cálculo de \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\)

Se deriva \(\mathcal{L} = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi\) respecto a \(\partial_\mu\phi^*\). Como \(\partial_\beta\phi\) no depende de \(\partial_\mu\phi^*\), se puede tratar como constante:

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\left[\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi\right] = \eta^{\alpha\beta}\delta^\mu_\alpha\,\partial_\beta\phi = \eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi = \partial^\mu\phi \]
\[ \boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} = \partial^\mu\phi} \]

(c) Ecuación de Euler-Lagrange para \(\phi^*\)

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^*} = 0 \]
\[ \partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0 \]
\[ \boxed{(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0} \]

Se obtiene la ecuación de Klein-Gordon para \(\phi\).

Verificación: De manera análoga, si se deriva la ecuación de Euler-Lagrange para \(\phi\), se obtiene \((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi^* = 0\), lo que confirma que \(\phi\) y \(\phi^*\) satisfacen independientemente la ecuación de Klein-Gordon.

B-8. Construcción de la corriente de Noether (aplicación de la fórmula)

→ Volver al problema

(a) Cálculo de \(\delta\mathcal{L}\)

Bajo un desplazamiento constante infinitesimal \(\delta\phi = \epsilon\), se tiene \(\partial_\mu(\delta\phi) = 0\), por lo que \(\delta(\partial_\mu\phi) = 0\).

\[ \delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta(\partial_\mu\phi) = (-m^2\phi)\cdot\epsilon + \partial^\mu\phi\cdot 0 = -m^2\phi\,\epsilon \]

Dado que \(\delta\mathcal{L} \neq 0\) cuando \(m \neq 0\) y \(\phi \neq 0\):

\[ \boxed{m \neq 0 \text{: el desplazamiento constante no es una simetría}} \]

(b) Caso \(m = 0\)

Cuando \(m = 0\):

\[ \delta\mathcal{L} = -0\cdot\phi\,\epsilon = 0 \]

Por lo tanto, el desplazamiento constante es una simetría. La corriente conservada correspondiente es:

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi = \partial^\mu\phi\cdot\epsilon \]

Eliminando \(\epsilon\) (ya que \(\epsilon\) es una constante infinitesimal arbitraria, extraemos el coeficiente):

\[ \boxed{j^\mu = \partial^\mu\phi} \]

Verificación: La ecuación de movimiento para \(m = 0\) es \(\partial_\mu\partial^\mu\phi = 0\), por lo que efectivamente se cumple \(\partial_\mu j^\mu = \partial_\mu\partial^\mu\phi = 0\). En el caso \(m \neq 0\), se obtiene \(\partial_\mu j^\mu = \partial_\mu\partial^\mu\phi = -m^2\phi \neq 0\), lo cual es consistente con el hecho de que la corriente no se conserva.

Intermedio

M-1. Derivación del momento conjugado y la densidad Hamiltoniana

→ Volver al problema

(a) Densidad de momento conjugado

\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) (usando el resultado de D2)

\[ \pi(x) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} = \frac{\partial}{\partial\dot{\phi}}\left[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2\right] = \dot{\phi} \]
\[ \boxed{\pi(x) = \dot{\phi}(x)} \]

(b) Densidad hamiltoniana

Calculamos la transformada de Legendre \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\). Usando \(\dot{\phi} = \pi\):

\[ \mathcal{H} = \pi\cdot\pi - \left[\frac{1}{2}\pi^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right] \]
\[ = \pi^2 - \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]
\[ \boxed{\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2} \]

(c) Significado físico

Por analogía con el hamiltoniano de mecánica de partículas \(H = T + V\) (energía cinética + energía potencial):

Término Significado físico Correspondencia con mecánica de partículas
\(\frac{1}{2}\pi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2\) Densidad de energía asociada a la variación temporal del campo Energía cinética \(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\)
\(\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2\) Densidad de energía asociada al gradiente espacial del campo (coste de que puntos adyacentes tengan valores diferentes del campo) Energía potencial de los resortes en un sistema de masas conectadas por resortes
\(\frac{1}{2}m^2\phi^2\) Densidad de energía asociada al valor del campo en sí mismo (término de masa) Potencial del oscilador armónico \(\frac{1}{2}k q^2\)

Un punto importante es que los tres términos de \(\mathcal{H}\) son todos definidos positivos, por lo que la densidad de energía satisface \(\mathcal{H} \geq 0\). Esto garantiza la estabilidad de la teoría.

Verificación: Comprobamos las dimensiones de \(\mathcal{H}\). En unidades naturales \([\phi] = \text{masa}^1\), \([\partial_\mu] = \text{masa}^1\), por lo que \([\mathcal{H}] = \text{masa}^4\), lo cual coincide con las dimensiones de densidad de energía (= energía/volumen = masa\(^4\)).

M-2. Simetría interna del campo escalar complejo y corriente de Noether

→ Volver al problema

(a) Verificación de \(\delta\mathcal{L} = 0\)

Bajo la transformación infinitesimal \(\delta\phi = i\alpha\phi\), \(\delta\phi^* = -i\alpha\phi^*\):

\[ \delta(\partial_\mu\phi) = i\alpha\,\partial_\mu\phi, \qquad \delta(\partial_\mu\phi^*) = -i\alpha\,\partial_\mu\phi^* \]

Calculamos la variación de \(\mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi\):

\[ \delta\mathcal{L} = \delta(\partial_\mu\phi^*)\,\partial^\mu\phi + \partial_\mu\phi^*\,\delta(\partial^\mu\phi) - m^2[\delta(\phi^*)\,\phi + \phi^*\,\delta\phi] \]

Sustituyendo cada término:

\[ = (-i\alpha\,\partial_\mu\phi^*)\,\partial^\mu\phi + \partial_\mu\phi^*\,(i\alpha\,\partial^\mu\phi) - m^2[(-i\alpha\phi^*)\phi + \phi^*(i\alpha\phi)] \]
\[ = -i\alpha\,\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi + i\alpha\,\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2[-i\alpha\phi^*\phi + i\alpha\phi^*\phi] \]
\[ = 0 + 0 = 0 \]
\[ \boxed{\delta\mathcal{L} = 0} \]

(b) Derivación de la corriente de Noether

Para el campo escalar complejo, la corriente de Noether es:

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\,\delta\phi^* \]

Calculamos cada derivada parcial. A partir de \(\mathcal{L} = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi\):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi^* \]
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} = \partial^\mu\phi \]

Sustituyendo:

\[ j^\mu = \partial^\mu\phi^*\cdot(i\alpha\phi) + \partial^\mu\phi\cdot(-i\alpha\phi^*) \]
\[ = i\alpha\left[\phi\,\partial^\mu\phi^* - \phi^*\,\partial^\mu\phi\right] \]

Extrayendo el coeficiente \(\alpha\), definimos la corriente conservada:

\[ \boxed{j^\mu = i\left(\phi\,\partial^\mu\phi^* - \phi^*\,\partial^\mu\phi\right)} \]

(c) Carga conservada

\[ Q = \int d^3x\,j^0 = i\int d^3x\left(\phi\,\partial^0\phi^* - \phi^*\,\partial^0\phi\right) = i\int d^3x\left(\phi\,\dot{\phi}^* - \phi^*\,\dot{\phi}\right) \]
\[ \boxed{Q = i\int d^3x\left(\phi\,\dot{\phi}^* - \phi^*\,\dot{\phi}\right)} \]

Significado físico: Tras la cuantización, el campo escalar complejo describe tanto partículas como antipartículas. Al expandir el campo \(\phi\) en series de Fourier, la parte de frecuencia positiva corresponde al operador de aniquilación de partículas, y la parte de frecuencia negativa corresponde al operador de creación de antipartículas. La carga conservada \(Q\), tras la cuantización, se convierte en un operador proporcional al "número de partículas \(-\) número de antipartículas" (\(N_{\text{particle}} - N_{\text{antiparticle}}\)). Esta es la cantidad conservada correspondiente a la simetría \(U(1)\) y, al acoplarla con la interacción electromagnética, corresponde a la conservación de la carga eléctrica.

Verificación: En el caso de un campo escalar real (\(\phi = \phi^*\)), se obtiene \(j^\mu = i(\phi\,\partial^\mu\phi - \phi\,\partial^\mu\phi) = 0\), lo cual es consistente con el hecho de que un campo escalar real no posee carga \(U(1)\).

M-3. Invariancia bajo traslaciones espacio-temporales y tensor energía-momento

→ Volver al problema

(a) Demostración de que \(\delta\mathcal{L}\) es una derivada total

Dado que \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) no depende explícitamente de \(x^\mu\), la dependencia espacio-temporal de \(\mathcal{L}\) surge únicamente a través del campo \(\phi(x)\). Bajo una traslación espacio-temporal \(x^\mu \to x^\mu + a^\mu\), el campo varía como \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\).

Calculamos directamente la variación de \(\mathcal{L}\). Viendo \(\mathcal{L}\) como función compuesta de \(x\):

\[ \delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta(\partial_\mu\phi) \]

Por otro lado, como \(\mathcal{L}\) es en sí mismo un campo escalar, bajo la misma traslación:

\[ \delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} \]

Reescribimos esto en forma de derivada total. Como \(a^\nu\) es constante:

\[ \delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = -\partial_\mu(a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}) = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}) \]

donde hemos usado que \(\partial_\mu\delta^\mu{}_\nu = 0\) (constante) y \(\partial_\mu a^\nu = 0\) (constante).

\[ \boxed{\delta\mathcal{L} = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})} \]

Esto tiene la forma \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\), con \(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\).

(b) Derivación del tensor energía-momento

Según el teorema de Noether generalizado (para el caso \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\)), la corriente conservada es:

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

Sustituyendo \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\) y \(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\):

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,(-a^\nu\partial_\nu\phi) - (-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}) \]
\[ = -a^\nu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\right] \]

Como \(a^\nu\) es un vector constante arbitrario, se obtiene una corriente conservada independiente para cada \(\nu\). Definiendo \(j^\mu = -a^\nu T^\mu{}_\nu\):

\[ \boxed{T^{\mu}{}_\nu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\,\mathcal{L}} \]

La ley de conservación es \(\partial_\mu T^{\mu}{}_\nu = 0\) (para cada \(\nu\)).

(c) Cálculo de \(T^{00}\) para el campo de Klein-Gordon

Para \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\):

\[ T^{0}{}_{0} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\,\partial_0\phi - \delta^0{}_{0}\,\mathcal{L} \]

Como \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)} = \partial^0\phi = \dot{\phi}\):

\[ T^{0}{}_{0} = \dot{\phi}\cdot\dot{\phi} - \mathcal{L} = \dot{\phi}^2 - \left[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right] \]
\[ = \dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]
\[ T^{00} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

Comparando con la densidad hamiltoniana obtenida en S1(b) (usando \(\pi = \dot{\phi}\)):

\[ \mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]
\[ \boxed{T^{00} = \mathcal{H}} \]

Verificación: \(T^{00}\) es la densidad de energía y debe coincidir con la densidad hamiltoniana. Además, \(T^{00} \geq 0\) (cada término es definido positivo), lo que confirma que la energía está acotada inferiormente. Calculando además \(T^{0i}\), se obtiene \(T^{0i} = \dot{\phi}\,\partial_i\phi\), que corresponde a la densidad de momento.

M-4. Ecuación de Euler-Lagrange del campo de Dirac

→ Volver al problema

(a) Ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\bar{\psi}\)

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi \]

Tratamos \(\bar{\psi}\) como variable independiente. En \(\mathcal{L}\) no existe ningún término que contenga \(\partial_\mu\bar{\psi}\) (el operador \(\partial_\mu\) actúa únicamente sobre \(\psi\)). Por lo tanto:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})} = 0 \]

La ecuación de Euler-Lagrange es:

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0 \implies -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0 \]

Calculamos la derivada parcial respecto a \(\bar{\psi}\):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi = (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0} \]

Esta es la ecuación de Dirac.

(b) Ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\psi\)

Tratamos \(\psi\) como variable independiente.

Derivada parcial respecto a \(\psi\):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi} = -m\bar{\psi} \]

(El término \(i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi\) contiene \(\partial_\mu\psi\), por lo que no contribuye a la derivada parcial respecto a \(\psi\) en sí.)

Derivada parcial respecto a \(\partial_\mu\psi\):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)} = i\bar{\psi}\gamma^\mu \]

Sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange:

\[ \partial_\mu\left(i\bar{\psi}\gamma^\mu\right) - (-m\bar{\psi}) = 0 \]
\[ i(\partial_\mu\bar{\psi})\gamma^\mu + m\bar{\psi} = 0 \]

Reescribiendo con la notación de derivada que actúa hacia la izquierda \(\overleftarrow{\partial}_\mu\):

\[ \boxed{\bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0} \]

Esta es la ecuación de Dirac adjunta.

Verificación: Tomamos el conjugado de Dirac de la ecuación de Dirac \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\). Realizando la operación de tomar \(\psi^\dagger\) por la izquierda y multiplicar por \(\gamma^0\) por la derecha:

\[ [(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi]^\dagger\gamma^0 = 0 \]
\[ \psi^\dagger(-i\gamma^{\mu\dagger}\overleftarrow{\partial}_\mu - m)\gamma^0 = 0 \]

Usando la relación \(\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0 = \gamma^\mu\) (hermiticidad de las matrices gamma), se obtiene \(\bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0\), que coincide con el resultado de (b).

Avanzado

A-1. Generalización del teorema de Noether

→ Volver al problema

(a) Invariancia de la acción

La variación de la acción es:

\[ \delta S = \int d^4x\,\delta\mathcal{L} = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu \]

Aplicando el teorema de Gauss (teorema de la divergencia) en 4 dimensiones:

\[ \delta S = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu = \oint_{\partial\Omega} K^\mu\,dS_\mu \]

donde \(\partial\Omega\) es la frontera del dominio de integración 4-dimensional. Bajo la condición de frontera de que la variación del campo \(\delta\phi\) se anula en la frontera (o que \(K^\mu\) decae suficientemente rápido en la frontera):

\[ \boxed{\delta S = 0} \]

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas de \(\delta S = 0\)) no cambian.

(b) Demostración de la conservación de la corriente de Noether modificada

Calculamos \(\delta\mathcal{L}\) a través de la variación del campo:

\[ \delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi) \]

Reescribimos el segundo término mediante integración por partes:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi) = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\delta\phi \]

Sustituyendo:

\[ \delta\mathcal{L} = \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\right]\delta\phi + \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) \]

Cuando se satisfacen las ecuaciones de movimiento, el contenido del corchete es cero:

\[ \delta\mathcal{L} = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) \]

Por otro lado, por hipótesis \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\). Igualando ambos lados:

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) = \partial_\mu K^\mu \]
\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu\right) = 0 \]
\[ \boxed{\partial_\mu j^\mu = 0, \qquad j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu} \]

(c) Aplicación a la transformación de boost de Lorentz

Bajo un boost de Lorentz infinitesimal en la dirección \(x\) (rapidez \(\delta\omega\)):

\[ \delta x^0 = -\delta\omega\,x^1, \qquad \delta x^1 = -\delta\omega\,x^0, \qquad \delta x^2 = \delta x^3 = 0 \]

Usando la regla de transformación del campo escalar \(\delta\phi = -\delta x^\nu\partial_\nu\phi\):

\[ \delta\phi = -(-\delta\omega\,x^1)\partial_0\phi - (-\delta\omega\,x^0)\partial_1\phi = \delta\omega(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) \]

Es decir, \(\delta\phi = \delta\omega(x\,\dot{\phi} + t\,\partial_x\phi)\). (Esto coincide con la convención de signos del enunciado \(\delta\phi = -\delta\omega(t\,\partial_x\phi + x\,\partial_t\phi)\), donde \(x^0 = t\), \(x^1 = x\).)

Determinación de \(K^\mu\):

Como \(\mathcal{L}\) también es un escalar, bajo la misma transformación:

\[ \delta\mathcal{L} = -\delta x^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \delta\omega(x^1\partial_0\mathcal{L} + x^0\partial_1\mathcal{L}) \]

Escribimos esto en forma de derivada total:

\[ \delta\mathcal{L} = \delta\omega\left[\partial_0(x^1\mathcal{L}) + \partial_1(x^0\mathcal{L})\right] - \delta\omega\left[(\partial_0 x^1)\mathcal{L} + (\partial_1 x^0)\mathcal{L}\right] \]

Como \(\partial_0 x^1 = 0\) y \(\partial_1 x^0 = 0\):

\[ \delta\mathcal{L} = \delta\omega\,\partial_\mu\left[\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L}\right] = \partial_\mu K^\mu \]

donde \(K^\mu = \delta\omega(\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L})\), es decir, \(K^0 = \delta\omega\,x^1\mathcal{L}\), \(K^1 = \delta\omega\,x^0\mathcal{L}\), \(K^2 = K^3 = 0\).

Construcción de la corriente conservada:

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

Usando \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\):

\[ j^\mu = \partial^\mu\phi\cdot\delta\omega(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) - \delta\omega(\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L}) \]

Eliminando \(\delta\omega\):

\[ j^\mu = \partial^\mu\phi(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) - \delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} - \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L} \]

Reescribimos usando el tensor energía-momento \(T^{\mu}{}_\nu = \partial^\mu\phi\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\):

\[ j^\mu = x^1(\partial^\mu\phi\,\partial_0\phi - \delta^\mu{}_0\mathcal{L}) + x^0(\partial^\mu\phi\,\partial_1\phi - \delta^\mu{}_1\mathcal{L}) \]
\[ = x^1 T^{\mu 0} + x^0 T^{\mu 1} \]

donde hemos usado \(T^{\mu\nu} = \eta^{\nu\alpha}T^\mu{}_\alpha\). Notando que \(T^{\mu 0} = T^\mu{}_0\) (\(\eta^{00} = 1\)) y \(T^{\mu 1} = -T^\mu{}_1\) (\(\eta^{11} = -1\)):

\[ j^\mu = x^1 T^{\mu 0} - x^0 T^{\mu 1} \]

O bien, como corriente conservada correspondiente al generador de la transformación de Lorentz:

\[ \boxed{M^{\mu 01} = x^0 T^{\mu 1} - x^1 T^{\mu 0}} \]

(La convención de signos sigue \(M^{\mu\rho\sigma} = x^\rho T^{\mu\sigma} - x^\sigma T^{\mu\rho}\).)

Carga conservada:

\[ M^{01} = \int d^3x\,M^{001} = \int d^3x\,(x^0 T^{01} - x^1 T^{00}) = t\,P^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H} \]

donde \(P^1 = \int d^3x\,T^{01}\) es el momento total en la dirección \(x\).

Significado físico: Esta carga conservada es el generador de boosts y contiene información sobre la "posición del centro de masa" del sistema. Que \(M^{01} = tP^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H}\) se conserve significa:

\[ \frac{d}{dt}\left(tP^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H}\right) = 0 \]
\[ P^1 + t\frac{dP^1}{dt} - \frac{d}{dt}\int d^3x\,x\,\mathcal{H} = 0 \]

Usando que \(P^1\) se conserva (\(\frac{dP^1}{dt} = 0\)), obtenemos \(\frac{d}{dt}\int d^3x\,x\,\mathcal{H} = P^1\). Esto significa que "el centro de masa de la energía se mueve a velocidad constante", y es la versión en teoría de campos de que \(X_{\mathrm{cm}} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}\) se mueve en línea recta con velocidad uniforme en mecánica de partículas.

Verificación: Confirmamos directamente \(\partial_\mu M^{\mu\rho\sigma} = 0\). \(\partial_\mu M^{\mu\rho\sigma} = \partial_\mu(x^\rho T^{\mu\sigma} - x^\sigma T^{\mu\rho}) = \delta^\rho_\mu T^{\mu\sigma} + x^\rho\partial_\mu T^{\mu\sigma} - \delta^\sigma_\mu T^{\mu\rho} - x^\sigma\partial_\mu T^{\mu\rho} = T^{\rho\sigma} - T^{\sigma\rho}\) (usando \(\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\)). Se conserva si el tensor energía-momento canónico es simétrico \(T^{\rho\sigma} = T^{\sigma\rho}\). Para el campo de Klein-Gordon, \(T^{\mu\nu} = \partial^\mu\phi\,\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}\) es simétrico, por lo que el resultado es consistente.

A-2. Lagrangiano del campo de Maxwell e invariancia de gauge

→ Volver al problema

(a) Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange

\(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) con \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\).

Paso 1: Cálculo de \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}\)

Como \(\mathcal{L}\) no contiene \(A_\nu\) directamente (sin derivadas):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0 \]

Paso 2: Cálculo de \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\)

Expandimos \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\):

\[ F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} = F_{\alpha\beta}\,\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}F_{\gamma\delta} = (\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha)\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}(\partial_\gamma A_\delta - \partial_\delta A_\gamma) \]

Calculamos la derivada parcial respecto a \(\partial_\mu A_\nu\). Como \(F_{\alpha\beta} = \partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha\):

\[ \frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = \delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta - \delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha \]

Usando la regla del producto:

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}) = \frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}F^{\alpha\beta} + F_{\alpha\beta}\frac{\partial F^{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \]

Como \(F^{\alpha\beta} = \eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}F_{\gamma\delta}\), el segundo término tiene la misma estructura. Por simetría, ambos términos son iguales:

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}) = 2(\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta - \delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha)F^{\alpha\beta} = 2(F^{\mu\nu} - F^{\nu\mu}) = 4F^{\mu\nu} \]

donde hemos usado \(F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}\) (antisimetría).

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -\frac{1}{4}\cdot 4F^{\mu\nu} = -F^{\mu\nu} \]

Paso 3: Ecuaciones de Euler-Lagrange

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0 \]
\[ \partial_\mu(-F^{\mu\nu}) - 0 = 0 \]
\[ \boxed{\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0} \]

Estas son las ecuaciones de Maxwell en el vacío (sin fuentes). Escritas en componentes, \(\nu = 0\) corresponde a \(\nabla\cdot\mathbf{E} = 0\) (ley de Gauss), y \(\nu = i\) corresponde a \(-\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} + \nabla\times\mathbf{B} = 0\) (ley de Ampère).

(b) Demostración de la invariancia gauge

Calculamos la variación del tensor de intensidad de campo bajo la transformación gauge \(A_\mu \to A'_\mu = A_\mu + \partial_\mu\Lambda\):

\[ F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A'_\nu - \partial_\nu A'_\mu = \partial_\mu(A_\nu + \partial_\nu\Lambda) - \partial_\nu(A_\mu + \partial_\mu\Lambda) \]
\[ = \partial_\mu A_\nu + \partial_\mu\partial_\nu\Lambda - \partial_\nu A_\mu - \partial_\nu\partial_\mu\Lambda \]

Por la conmutatividad de las derivadas parciales \(\partial_\mu\partial_\nu\Lambda = \partial_\nu\partial_\mu\Lambda\):

\[ F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = F_{\mu\nu} \]
\[ \boxed{F'_{\mu\nu} = F_{\mu\nu}} \]

Como \(F_{\mu\nu}\) es invariante gauge, \(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) también es invariante gauge.

(c) Relación entre el teorema de Noether y las transformaciones gauge

Análisis del problema:

El teorema de Noether (de primer tipo) se aplica a simetrías continuas globales, es decir, transformaciones cuyo parámetro es una constante que no depende del espacio-tiempo. Sin embargo, en la transformación gauge \(A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\Lambda(x)\), el parámetro \(\Lambda(x)\) es una función arbitraria del espacio-tiempo (parámetro local).

Si intentamos aplicar directamente el teorema de Noether:

  1. Transformación gauge global (\(\Lambda = \text{const}\)): en este caso \(\delta A_\mu = \partial_\mu\Lambda = 0\), y el campo no cambia. Por lo tanto, solo se obtiene la identidad trivial \(0 = 0\), y no se puede construir una corriente conservada no trivial.

  2. Transformación gauge local (\(\Lambda(x)\) función arbitraria): como el parámetro posee infinitos grados de libertad, no puede tratarse dentro del marco habitual del teorema de Noether.

Segundo teorema de Noether (Noether's second theorem):

Cuando los parámetros de la transformación son funciones arbitrarias del espacio-tiempo (simetría local), se aplica el segundo teorema de Noether. Este teorema establece lo siguiente:

Si la acción es invariante bajo una transformación que contiene una función arbitraria \(\Lambda(x)\) y sus derivadas de orden finito, entonces existen relaciones idénticas (del tipo identidades de Bianchi) entre las ecuaciones de Euler-Lagrange.

En el caso de la teoría de Maxwell, esta identidad es:

\[ \partial_\nu(\partial_\mu F^{\mu\nu}) \equiv 0 \]

la cual se cumple idénticamente gracias a la antisimetría de \(F^{\mu\nu}\), sin necesidad de usar las ecuaciones de movimiento.

Significado físico:

  • La simetría gauge no es una simetría física (que genere nuevas cantidades conservadas), sino que refleja una redundancia en la descripción de la teoría.
  • De las 4 componentes de \(A_\mu\), los grados de libertad físicos son 2 (los dos estados de polarización del fotón), y los 2 restantes corresponden a la redundancia gauge.
  • Mientras que el primer teorema de Noether proporciona «simetría → cantidad conservada», el segundo teorema de Noether proporciona «simetría local → identidades entre las ecuaciones de movimiento (condiciones de ligadura)».
\[ \boxed{\text{Simetría gauge (simetría local)} \xrightarrow{\text{2.º teorema de Noether}} \text{Identidades entre ecuaciones de movimiento + reducción de grados de libertad físicos}} \]

Verificación: Contemos los grados de libertad físicos en la teoría de Maxwell. \(A_\mu\) tiene 4 componentes, pero la libertad gauge (una función arbitraria \(\Lambda(x)\)) hace redundante 1 componente, y además \(\partial_\mu F^{\mu 0} = 0\) proporciona una condición de ligadura (condición sobre los valores iniciales), eliminando otra componente. El resultado es \(4 - 1 - 1 = 2\) grados de libertad, que corresponden a las dos polarizaciones físicas del fotón (ondas transversales).