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Cap. 2 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Clasificación del rango tensorial de magnitudes físicas

Para las siguientes magnitudes físicas, indica el rango como tensor (rango 0, rango 1 o rango 2).

(a) Temperatura \(T\) (b) Fuerza \(\vec{F}\) (c) Masa \(m\) (d) Velocidad \(\vec{v}\) (e) Intervalo espacio-temporal \(ds^2\) (f) Tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) (g) Tensor de energía-momento \(T_{\mu\nu}\) (h) Cuadrivelocidad \(U^\mu\)

Pista

Fíjate en el número de índices. Si tiene 0 índices es un escalar (rango 0), si tiene 1 es un vector (rango 1), y si tiene 2 es un tensor de rango 2.

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B-2. Limitaciones de la ecuación de movimiento de Newton

La ecuación de movimiento de Newton \(\vec{F} = m\vec{a}\) es invariante bajo rotaciones espaciales y traslaciones. Sin embargo, no satisface completamente el requisito exigido por la relatividad general de que "las ecuaciones deben tener la misma forma en todos los sistemas de coordenadas". Indica y explica dos aspectos en los que resulta insuficiente.

Pista

(1) Con vectores tridimensionales puramente espaciales no se puede dar cuenta de las "rotaciones espacio-temporales" (transformaciones entre sistemas inerciales). (2) Mientras se trate la gravedad como una fuerza, no se resuelve la contradicción con la relatividad especial (propagación instantánea de la gravedad).

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B-3. Los dos pilares de correspondencia entre Newton y Einstein

El modelo gravitatorio de Einstein se compone de dos pilares: la ecuación que determina el movimiento de las partículas y la ecuación que determina la forma del espacio-tiempo. Establece la correspondencia con el modelo gravitatorio de Newton e indica el nombre y el papel de cada ecuación.

Newton Einstein
Movimiento de partículas ？ ？
Ecuación de campo ？ ？
Pista

Lado de Newton: \(\vec{F} = m\vec{a}\) y la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\). Lado de Einstein: la ecuación de geodésicas y la ecuación de Einstein \(G_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}\).

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Intermedio

M-1. Comprensión de la ecuación geodésica

Ecuación geodésica

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

Responde a las siguientes preguntas sobre esta ecuación.

(a) ¿Qué significa físicamente que el lado derecho de esta ecuación sea cero? Explica la correspondencia con el lado derecho en \(\vec{F} = m\vec{a}\) de Newton.

(b) ¿A partir de qué se determinan los coeficientes de conexión \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)?

(c) Cuando una partícula cargada se mueve en un campo electromagnético, ¿qué ocurre con el lado derecho de esta ecuación? En ese caso, ¿puede llamarse geodésica a la trayectoria de la partícula?

Pista

(a) Lado derecho igual a cero = no hay fuerza = la geodésica es "la línea de universo de un objeto sobre el que no actúa ninguna fuerza aparte de la gravedad". (b) Se determina a partir de las derivadas de primer orden del tensor métrico \(g_{\mu\nu}\). (c) En el lado derecho aparece la versión cuadrivectorial de la fuerza electromagnética \(qF^{\mu}{}_{\nu}(dx^\nu/d\tau)\), y la trayectoria deja de ser una geodésica.

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M-2. Coeficiente de la ecuación de Einstein

Responde a las siguientes preguntas sobre la ecuación de Einstein \(G_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}\).

(a) Explica la diferencia entre \(G_{\mu\nu}\) (tensor de Einstein) en el lado izquierdo y \(G\) (constante de gravitación universal) en el lado derecho.

(b) ¿Cómo se determina el coeficiente \(8\pi G/c^4\)?

(c) En el límite de campo gravitatorio débil y velocidades bajas, ¿a qué ecuación de Newton se reduce esta ecuación?

Pista

(a) \(G_{\mu\nu}\) es un tensor de rango 2 con índices, mientras que \(G\) es una constante escalar sin índices. El uso del mismo símbolo es una coincidencia histórica. (b) Se determina de modo que sea consistente con la ecuación de Poisson de Newton. (c) La ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\).

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Avanzado

A-1. Cantidades derivadas del tensor métrico

Los coeficientes de conexión \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) y el tensor de Einstein \(G_{\mu\nu}\) son ambos cantidades construidas a partir del tensor métrico \(g_{\mu\nu}\). Responde de qué orden de derivadas de la métrica se construye cada uno, y qué determina físicamente cada cantidad.

Pista

\(\Gamma\) se construye a partir de las derivadas de primer orden de la métrica y determina la trayectoria de las partículas a través de la ecuación de las geodésicas. \(G_{\mu\nu}\) se construye a partir de las derivadas de segundo orden de la métrica (pasando por el tensor de Riemann y el tensor de Ricci) y representa la curvatura misma del espacio-tiempo.

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