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Cap. 3 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Derivación de la identidad de las funciones hiperbólicas

Deriva la identidad de las funciones hiperbólicas \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\) directamente a partir de las definiciones

\[ \cosh\varphi = \frac{e^\varphi + e^{-\varphi}}{2}, \qquad \sinh\varphi = \frac{e^\varphi - e^{-\varphi}}{2} \]
Pista

Eleva cada expresión al cuadrado, calcula la diferencia y simplifica los productos de funciones exponenciales.

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B-2. Relación entre la rapidez y el factor de Lorentz

Utilizando la relación entre la rapidez (rapidity) \(\varphi\) y la velocidad \(v\), dada por \(\tanh\varphi = v/c\), demuestra que \(\cosh\varphi = \gamma\) y \(\sinh\varphi = \gamma v/c\). Donde \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\).

Pista

Combina \(\tanh\varphi = \sinh\varphi / \cosh\varphi\) con \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\) como un sistema de ecuaciones.

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B-3. Cálculo de contracción de la matriz de transformación de Lorentz

Dada la matriz de transformación de Lorentz (en unidades con \(c = 1\)) hacia un sistema inercial que se mueve con velocidad \(v\) en la dirección \(x\):

\[ \Lambda^{\mu'}{}_{\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v & 0 & 0 \\ -\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Utilizando esta matriz, calcula \(dx^{1'} = \Lambda^{1'}{}_{\nu}\,dx^\nu\) siguiendo la regla de contracción para \(dx^\mu = (dt,\, dx,\, 0,\, 0)\), y verifica que se obtiene \(dx' = \gamma(dx - v\,dt)\).

Pista

Escribe explícitamente cada término para \(\nu = 0, 1, 2, 3\) y sustituye \(\Lambda^{1'}{}_{0} = -\gamma v\), \(\Lambda^{1'}{}_{1} = \gamma\).

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Intermedio

M-1. Cálculo detallado de la determinación de los coeficientes de la transformación de Lorentz

En la sección 3.5 del texto principal, obtuvimos el sistema de ecuaciones que determina los coeficientes de la transformación de Lorentz:

\[ \begin{aligned} -c^2\,a_1^2 + a_6^2\,v^2 &= -c^2 \quad &\text{(coeficiente de }dt^2\text{)} \\ -c^2\,a_2^2 + a_6^2 &= 1 \quad &\text{(coeficiente de }dx^2\text{)} \\ -2\,c^2\,a_1\,a_2 - 2\,a_6^2\,v &= 0 \quad &\text{(coeficiente del término cruzado }dt\,dx\text{)} \end{aligned} \]

Resuelve este sistema y deduce

\[ a_1 = a_6 = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad a_2 = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]

Además, muestra que la condición de continuidad de que en el límite \(v \to 0\) se recupere la transformación identidad (\(a_1 = a_6 = 1\), \(a_2 = 0\)) determina que el signo de \(a_6\) sea \(+\).

Pista

(a) De la ecuación del término cruzado se obtiene \(a_2 = -a_6^2\,v / (c^2\,a_1)\). (b) Sustituyendo esto en la ecuación de \(dx^2\), se obtiene una relación entre \(a_1^2\) y \(a_6^2\). (c) Combinando con la ecuación de \(dt^2\) se obtiene \(a_6^2 = 1/(1 - v^2/c^2)\). (d) Se elige el signo tal que \(a_6 \to +1\) cuando \(v \to 0\).

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M-2. Condición de preservación de la métrica bajo transformaciones de Lorentz

Verifica que la matriz de transformación de Lorentz \(\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}\) satisface la condición de preservación de la métrica de Minkowski

\[ \eta_{\mu'\nu'} = \Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\,\Lambda^{\beta}{}_{\nu'}\,\eta_{\alpha\beta} \]

sustituyendo la \(\Lambda\) concreta de un boost en la dirección \(x\) y comprobando las componentes \((\mu', \nu') = (0, 0)\) y \((\mu', \nu') = (0, 1)\).

Nota: La \(\Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\) en el enunciado representa "la matriz de transformación del índice con prima (componentes del sistema \(S'\)) al índice sin prima (componentes del sistema \(S\))". Es decir, corresponde a la inversa de la transformación directa \(x^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_{\nu}x^\nu\). Sin embargo, dado que la matriz del boost en la dirección \(x\) es una matriz simétrica, en el cálculo de este problema se obtiene el resultado utilizando la correspondencia "leer la columna 0 de la matriz de transformación directa \((\gamma, -\gamma v, 0, 0)\) como \(\Lambda^{\alpha}{}_{0'}\)".

Pista

Para \((\mu', \nu') = (0, 0)\), al sumar sobre \(\alpha,\, \beta\) aparece \(-\gamma^2 + \gamma^2 v^2\).

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M-3. Consecuencias cuantitativas de la relatividad de la simultaneidad

A partir de las ecuaciones de la transformación de Lorentz, determina la diferencia temporal \(\Delta t'\) en el sistema \(S'\) para dos eventos que en el sistema \(S\) son simultáneos (\(\Delta t = 0\)) y están separados por una distancia \(\Delta x = L\). Explica con palabras qué consecuencia de la "relatividad de la simultaneidad" pone de manifiesto este resultado.

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M-4. Relación entre tiempo propio y tiempo coordenado

Utilizando el tiempo propio (proper time) \(d\tau^2 = -ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\) (con \(c = 1\)), deriva la relación entre el tiempo coordenado \(t\) y el tiempo propio \(\tau\):

\[ \frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{\gamma} \]

Además, explica a partir de este resultado por qué "un reloj en movimiento se atrasa".

Pista

Factoriza \(dt^2\) de \(d\tau^2\) y sustituye \(dx^i/dt = v^i\).

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M-5. Derivación de la regla de composición de velocidades

Problema de aplicar la transformación de Lorentz dos veces consecutivas. Considera un sistema \(S'\) que se mueve con velocidad \(v_1\) en la dirección \(x\) respecto al sistema \(S\), y un sistema \(S''\) que se mueve con velocidad \(v_2\) también en la dirección \(x\) respecto al sistema \(S'\). Utilizando la propiedad aditiva de la rapidez \(\varphi_{12} = \varphi_1 + \varphi_2\), deriva la regla relativista de composición de velocidades

\[ v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2} \]

(con \(c = 1\)).

Pista

Usa la fórmula de adición de \(\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)\) y sustituye \(\tanh\varphi = v\).

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M-6. Relatividad de la simultaneidad (ejemplo concreto)

Considera dos eventos \(A\) y \(B\) que ocurren simultáneamente en el instante \(t = 0\) en el sistema \(S\), en las posiciones \(x_A = 0\) y \(x_B = L\). En el sistema \(S'\) que se mueve con velocidad \(v\) en la dirección \(x\), (a) encuentra la diferencia temporal \(\Delta t' = t'_B - t'_A\) entre los dos eventos, y (b) determina cuál de los eventos ocurre primero, distinguiendo casos según el signo de \(v\).

Pista

Sustituye \(t_A = t_B = 0\) en la ecuación de \(t'\) de la transformación de Lorentz.

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