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Cap. 6 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Antisimetría del tensor de intensidad de campo y verificación de sus componentes

Usando la definición \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\), calcula lo siguiente.

(a) Escribe \(F_{01}\) en términos de derivadas parciales de \(A_0, A_1\).

(b) Escribe \(F_{10}\) de la misma manera y verifica que \(F_{01} = -F_{10}\).

(c) Escribe \(F_{12}\) en términos de derivadas parciales de \(A_1, A_2\) y, comparando con la matriz de la ecuación (6.4), confirma que esto corresponde a \(-B_z\).

Pista

Sustituye directamente los índices en la definición \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\). Usando \(\partial_0 = \partial/\partial t\), \(\partial_1 = \partial/\partial x\), etc., compara con \(E_x = -\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0\) (presta atención a la convención de signos) y \(B_z = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1\).

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B-2. Desarrollo del Lagrangiano

Expresa la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) en términos del campo eléctrico \(\mathbf{E}\) y el campo magnético \(\mathbf{B}\). Es decir, demuestra que

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\mathbf{E}^2 - \mathbf{B}^2) \]

contrayendo todos los índices utilizando las componentes de la ecuación (6.4).

Pista

Calcula \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\). Debido a la antisimetría, las únicas componentes independientes son aquellas con \((\mu,\nu)\) tales que \(\mu < \nu\). Es más claro separar el cálculo en la parte \(F_{0i}F^{0i}\) y la parte \(F_{ij}F^{ij}\). Ten en cuenta la métrica \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\).

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B-3. Invariancia del campo eléctrico y magnético bajo transformaciones de gauge

Bajo la transformación de gauge \(A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \lambda\), utilizando las definiciones de la ecuación (6.3)

\[ \mathbf{E} = -\nabla A_0 - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \]

demuestra mediante cálculo directo que \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\) son invariantes respectivamente.

Pista

Sustituye \(A_0 \to A_0 + \partial_0 \lambda\), \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\lambda\). Para \(\mathbf{E}\), utiliza que \(-\nabla(\partial_0 \lambda) - \partial_t(\nabla \lambda)\) se anula. Para \(\mathbf{B}\), utiliza que \(\nabla \times (\nabla \lambda) = 0\) (el rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es cero).

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B-4. Regla de transformación gauge de la derivada covariante

Sustituye en la derivada covariante \(D_\mu = \partial_\mu + iqA_\mu\) las transformaciones \(\psi \to e^{i\alpha(x)}\psi\), \(A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{q}\partial_\mu \alpha\), y confirma que se cumple

\[ D_\mu \psi \to e^{i\alpha(x)} D_\mu \psi \]

reproduciendo con tu propia mano el cálculo del texto. Escribe cada término intermedio sin omitir nada.

Pista

Expande \(D_\mu' \psi' = (\partial_\mu + iq A_\mu - i\partial_\mu\alpha)(e^{i\alpha}\psi)\). Aplica la regla del producto a \(\partial_\mu(e^{i\alpha}\psi)\) y verifica que el término \(e^{i\alpha}(i\partial_\mu\alpha)\psi\) se cancela con \(-i(\partial_\mu\alpha)e^{i\alpha}\psi\).

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B-5. Cálculo del momento conjugado

Para el lagrangiano \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\), calcula el momento conjugado \(\pi^\mu = \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_0 A_\mu)\) para cada componente \(\mu = 0, 1, 2, 3\), y verifica lo siguiente.

(a) \(\pi^0 = 0\)

(b) \(\pi^i = F^{0i} = E^i\) （\(i = 1, 2, 3\)）

Pista

Si utilizas el resultado de D2 para separar \(\mathcal{L}\) en términos que contienen \(\partial_0 A_\mu\) y términos que no lo contienen, el cálculo resulta más claro. La clave de que \(\pi^0 = 0\) es que \(F_{0i} = \partial_0 A_i - \partial_i A_0\) no contiene \(\partial_0 A_0\).

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B-6. Condición de onda transversal de los vectores de polarización

Cuando el vector de onda \(\mathbf{k} = k(0, \sin\theta, \cos\theta)\) se encuentra en el plano \(yz\), escribe explícitamente dos vectores de polarización independientes \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 1)\), \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 2)\) que satisfagan la condición de onda transversal del gauge de Coulomb \(\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) = 0\). Además, deben cumplir la condición de ortonormalidad \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda') = \delta_{\lambda\lambda'}\).

Pista

Encuentra dos direcciones perpendiculares a \(\mathbf{k}\). Una es la dirección \(x\), \((1, 0, 0)\), que evidentemente es ortogonal a \(\mathbf{k}\). La otra se toma como la dirección dentro del plano \(yz\) que es ortogonal a \(\mathbf{k}\). Es eficiente calcular el producto vectorial de \(\mathbf{k}\) con el primer vector de polarización.

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B-7. Verificación de la identidad de Bianchi

Identidad de Bianchi

\[ \partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 \]

Sustituye \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) en el caso \((\lambda, \mu, \nu) = (0, 1, 2)\), escribe explícitamente cada término y verifica que el conjunto se anula.

Pista

Al sustituir \(F_{12} = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1\), etc., aparecen 6 términos. Utiliza la conmutatividad del orden de las derivadas parciales \(\partial_\mu\partial_\nu = \partial_\nu\partial_\mu\) para mostrar que se cancelan por pares.

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B-8. Relación de dispersión del fotón

Sustituye la solución de onda plana \(A_i \propto e^{-i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\) en la ecuación de onda del campo sin masa \(\Box A_i = 0\) y deduce la relación de dispersión \(\omega = |\mathbf{k}|\). Compárala con la relación de dispersión del campo de Klein-Gordon de masa \(m\), \(\omega = \sqrt{|\mathbf{k}|^2 + m^2}\), y describe la correspondencia con el hecho de que la masa del fotón es cero.

Pista

Al aplicar \(\Box = \partial_t^2 - \nabla^2\) a la onda plana, aparece \((-\omega^2 + |\mathbf{k}|^2)\). Iguala esto a cero.

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Intermedio

M-1. Derivación de las ecuaciones de Maxwell a partir de la ecuación de Euler-Lagrange

Para la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\), aplica la ecuación de Euler-Lagrange para el campo \(A_\nu\)

\[ \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0 \]

y deriva la ecuación de movimiento \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\). Además, escribe los casos \(\nu = 0\) y \(\nu = i\) en lenguaje de vectores tridimensionales, y muestra que corresponden respectivamente a la ley de Gauss \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) y a la ley de Ampère-Maxwell \(\partial_t \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{B}\).

Pista

Dado que \(\mathcal{L}\) no depende de \(A_\nu\) en sí mismo sino solo de \(\partial_\mu A_\nu\), se tiene \(\partial\mathcal{L}/\partial A_\nu = 0\). Para calcular \(\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_\mu A_\nu)\), diferencia \(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\) respecto a \(\partial_\mu A_\nu\). Utiliza que \(F_{\alpha\beta}\) es lineal en \(\partial_\mu A_\nu\) y simplifica usando la antisimetría. Para \(\nu = 0\) usa \(F^{i0} = E^i\), y para \(\nu = i\) reescribe las componentes \(F^{0i}\) y \(F^{ji}\) en términos del campo eléctrico y el campo magnético.

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M-2. Conteo de grados de libertad en el gauge de Coulomb

Demuestra mediante los siguientes pasos que los grados de libertad físicos del campo electromagnético son 2.

(a) \(A_\mu\) tiene 4 componentes. Explica cómo la condición de ligadura \(\pi^0 = 0\) excluye a \(A_0\) de las variables dinámicas independientes.

(b) Explica cómo la condición del gauge de Coulomb \(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\) elimina un grado de libertad adicional de las 3 componentes restantes, expresándola en el espacio de Fourier como \(\mathbf{k} \cdot \tilde{\mathbf{A}}(\mathbf{k}) = 0\).

(c) Muestra que en el vacío, combinando la ley de Gauss \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) con la condición del gauge de Coulomb, se deduce \(A_0 = 0\) (condición de frontera: \(A_0 \to 0\) en el infinito).

(d) Resume lo anterior y establece que los grados de libertad físicos restantes corresponden a dos polarizaciones transversales.

Pista

(a) \(\pi^0 = 0\) significa que no se pueden establecer relaciones de conmutación canónicas entre \(A_0\) y \(\pi^0\). (b) Para el vector tridimensional \(\tilde{\mathbf{A}}\), la condición \(\mathbf{k} \cdot \tilde{\mathbf{A}} = 0\) es una única condición escalar. (c) Utiliza que en el gauge de Coulomb \(\nabla \cdot \mathbf{E} = -\nabla^2 A_0 - \partial_t(\nabla \cdot \mathbf{A}) = -\nabla^2 A_0 = 0\).

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M-3. Relación de completitud de los vectores de polarización

En el gauge de Coulomb, los dos vectores de polarización \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda)\) (\(\lambda = 1, 2\)) satisfacen la condición de ortonormalidad

\[ \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda') = \delta_{\lambda\lambda'} \]

y la condición de onda transversal \(\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) = 0\).

(a) Demuestra que se cumple la relación de completitud

\[ \sum_{\lambda=1}^{2} \epsilon_i(\mathbf{k}, \lambda)\, \epsilon_j(\mathbf{k}, \lambda) = \delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|\mathbf{k}|^2} \]

(b) Verifica que el lado derecho \(\delta_{ij} - k_i k_j / |\mathbf{k}|^2\) es un proyector transversal (transverse projector) que elimina la proyección en la dirección de \(\mathbf{k}\), multiplicando por \(k_j\).

Pista

(a) \(\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{k}/|\mathbf{k}|\) y \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 1)\), \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 2)\) forman una base ortonormal del espacio tridimensional. Usa la relación de completitud de la matriz identidad en 3 dimensiones \(\delta_{ij} = \hat{k}_i \hat{k}_j + \sum_\lambda \epsilon_i \epsilon_j\). (b) Calcula \((\delta_{ij} - k_i k_j/|\mathbf{k}|^2) k_j\).

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M-4. Relaciones de conmutación canónicas en el gauge de Coulomb y la función delta transversal

En el gauge de Coulomb, a partir de la expansión de Fourier de \(\mathbf{A}\) (6.20) y las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación

\[ [a(\mathbf{k}, \lambda),\, a^\dagger(\mathbf{k}', \lambda')] = (2\pi)^3 \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}') \delta_{\lambda\lambda'} \]

deduce la relación de conmutación a tiempos iguales

\[ [A_i(\mathbf{x}, t),\, \pi_j(\mathbf{y}, t)] = i\delta_{ij}^{\perp}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

Aquí \(\pi_j = E_j = \dot{A}_j\) (gauge de Coulomb) y \(\delta_{ij}^{\perp}\) es la función delta transversal

\[ \delta_{ij}^{\perp}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \left(\delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|\mathbf{k}|^2}\right) e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \]

Explica la razón física por la cual aparece la función delta transversal en lugar de la habitual \(i\delta_{ij}\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})\).

Pista

Sustituye las expansiones de Fourier de \(A_i\) y \(\dot{A}_j\), y utiliza las relaciones de conmutación \([a, a^\dagger]\). La suma sobre vectores de polarización se evalúa mediante la relación de completitud de S3. En cuanto a la razón física, indica que dado que la condición del gauge de Coulomb \(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\) elimina la componente longitudinal de \(A_i\), la proyección transversal se refleja también en las relaciones de conmutación.

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Avanzado

A-1. Comparación con el campo de Proca (campo vectorial masivo)

El Lagrangiano de un campo vectorial con masa \(m\) (Lagrangiano de Proca) viene dado por

\[ \mathcal{L}_{\text{Proca}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{2}m^2 A_\mu A^\mu \]

(a) Deriva las ecuaciones de Euler-Lagrange y muestra que la ecuación de movimiento es

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0 \]

(b) Aplica \(\partial_\nu\) a ambos lados de la ecuación de movimiento anterior y muestra que \(\partial_\nu A^\nu = 0\) (condición de Lorenz) se cumple automáticamente como consecuencia de la ecuación de movimiento cuando \(m \neq 0\).

(c) Utilizando este resultado, argumenta mediante un conteo de grados de libertad que el campo vectorial masivo tiene 3 grados de libertad físicos (2 polarizaciones transversales + 1 polarización longitudinal).

(d) Discute cualitativamente el proceso por el cual la polarización longitudinal desaparece en el límite \(m \to 0\) y se recupera la simetría gauge. Expón tu conjetura sobre cómo se relaciona esta discusión con el mecanismo de Higgs, que estudiarás a partir de Cap. 17.

Pista

(a) Ten en cuenta que \(\partial\mathcal{L}/\partial A_\nu = m^2 A^\nu\). (b) \(\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu}\) se anula debido a la antisimetría de \(F^{\mu\nu}\). (c) \(A_\mu\) tiene 4 componentes, \(\partial_\nu A^\nu = 0\) es una condición de ligadura, por lo que \(4 - 1 = 3\). Como no hay simetría gauge, no se necesita una fijación de gauge adicional. (d) Para \(m = 0\), el término de masa rompe la simetría gauge, por lo que al tomar \(m \to 0\) se recupera la simetría y aparece un grado de libertad gauge adicional, reduciendo los grados de libertad de \(3 \to 2\). El mecanismo de Higgs corresponde al proceso inverso (el campo gauge adquiere masa y los grados de libertad aumentan de \(2 \to 3\)).

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A-2. Lagrangiano con término de fijación de gauge y propagador del fotón

Para implementar la condición de gauge de Lorenz \(\partial_\mu A^\mu = 0\), consideramos el Lagrangiano con un término de fijación de gauge añadido:

\[ \mathcal{L}_{\text{gf}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2 \]

donde \(\xi\) es el parámetro de gauge (gauge parameter).

(a) Deriva la ecuación de Euler-Lagrange para \(A_\nu\) a partir de este Lagrangiano y demuestra que

\[ \left[\eta^{\mu\nu}\Box - \left(1 - \frac{1}{\xi}\right)\partial^\mu \partial^\nu\right] A_\nu = 0 \]

(b) Realiza la transformada de Fourier al espacio de momentos mediante \(A_\nu(x) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \tilde{A}_\nu(k)\, e^{-ikx}\), y reescribe la ecuación anterior como una ecuación algebraica para \(\tilde{A}_\nu\).

(c) Obtén el propagador del fotón (propagador de Feynman) \(D_F^{\mu\nu}(k)\) como la inversa del operador diferencial anterior, y demuestra que

\[ D_F^{\mu\nu}(k) = \frac{-1}{k^2 + i\epsilon}\left[\eta^{\mu\nu} - (1 - \xi)\frac{k^\mu k^\nu}{k^2}\right] \]

En particular, verifica que para \(\xi = 1\) (gauge de Feynman) el propagador toma la forma más simple \(D_F^{\mu\nu} = -\eta^{\mu\nu}/(k^2 + i\epsilon)\).

(d) Escribe el propagador en el caso \(\xi = 0\) (gauge de Landau) y verifica que se cumple \(k_\mu D_F^{\mu\nu}(k) = 0\). Explica por qué esto es la expresión en el espacio de momentos de la condición de Lorenz \(\partial_\mu A^\mu = 0\).

Pista

(a) Al aplicar Euler-Lagrange a \(\mathcal{L}\) respecto a \(A_\nu\), la contribución de \(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) es la misma que en S1. Calcula la contribución del término de fijación de gauge \(-\frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2\). (b) Sustituye \(\partial_\mu \to -ik_\mu\). (c) Para hallar la inversa, supón que \(D_F^{\mu\nu}\) es una combinación lineal de las dos estructuras tensoriales independientes \(\eta^{\mu\nu}\) y \(k^\mu k^\nu / k^2\), y determina los coeficientes imponiendo que el producto con el operador diferencial sea igual a \(\eta^\mu{}_\nu\). (d) Sustituye \(\xi = 0\) y contrae multiplicando por \(k_\mu\).

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