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Apéndice C Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Subida y bajada de índices

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\(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\), \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)\).

\(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\):

\(A_0 = \eta_{00}A^0 = (-1)(1) = -1\)

\(A_1 = \eta_{11}A^1 = (1)(2) = 2\)

\(A_2 = \eta_{22}A^2 = (1)(3) = 3\)

\(A_3 = \eta_{33}A^3 = (1)(4) = 4\)

\(A_\mu = (-1, 2, 3, 4)\)

Solo la componente temporal cambia de signo.

B-2. Contracción del delta de Kronecker

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\(\delta^\mu_\nu A^\nu = \sum_{\nu=0}^{3} \delta^\mu_\nu A^\nu\)

\(\delta^\mu_\nu\) vale 1 cuando \(\mu = \nu\) y 0 en los demás casos, por lo que en la suma solo sobrevive el término con \(\nu = \mu\):

\(\delta^\mu_\nu A^\nu = A^\mu\)

La delta de Kronecker es un operador que "deja pasar el índice tal cual".

B-3. Métrica e inversa de la métrica de la esfera

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A partir de \(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\):

\(g_{\theta\theta} = R^2, \quad g_{\phi\phi} = R^2\sin^2\theta, \quad g_{\theta\phi} = g_{\phi\theta} = 0\)

La métrica inversa es el recíproco de las componentes diagonales:

\(g^{\theta\theta} = \frac{1}{R^2}, \quad g^{\phi\phi} = \frac{1}{R^2\sin^2\theta}\)

B-4. Métrica de Schwarzschild asintóticamente Minkowski

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\(ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2\)

Cuando \(r \to \infty\), se tiene \(\frac{2GM}{c^2 r} \to 0\), por lo que:

\(ds^2 \to -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2\)

Esta es la métrica de Minkowski escrita en coordenadas esféricas. A grandes distancias, el espaciotiempo vuelve a ser plano.

B-5. Símbolos de Christoffel nulos en espacio plano

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Cuando \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \text{const}\), se tiene \(\partial_\alpha g_{\mu\nu} = 0\) (todas las derivadas parciales son cero).

\(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha}) = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(0 + 0 - 0) = 0\)

Todos los símbolos de Christoffel son cero.

B-6. Geodésicas en espacio plano son líneas rectas a velocidad constante

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\(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\)

Cuando \(\Gamma = 0\):

\(\ddot{x}^\mu = 0\)

Esto es movimiento rectilíneo uniforme (aceleración cero). Corresponde a la primera ley de Newton. En un espacio-tiempo curvo (\(\Gamma \neq 0\)), el término \(\Gamma\) representa la "aceleración debida a la gravedad".

Intermedio

M-1. Cuadrimomento y condición de capa de masa

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\(p^\mu = (E/c,\; p_x,\; p_y,\; p_z)\)

\(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(E/c)^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 = -E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2\)

Si esto es igual a \(-m^2c^2\):

\(-E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2 = -m^2c^2\)

\(E^2/c^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2c^2\)

\(E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4 = (pc)^2 + (mc^2)^2\)

Esta es precisamente la relación energía-momento relativista. Cuando \(\mathbf{p} = 0\) (reposo), se obtiene \(E = mc^2\).

M-2. Métrica en coordenadas polares y comportamiento en \(r=0\)

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A partir de \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\):

\(g_{rr} = 1, \quad g_{\theta\theta} = r^2, \quad g_{r\theta} = 0\)

En \(r = 0\) se tiene \(g_{\theta\theta} = 0\), por lo que la métrica se degenera (\(\det g = 0\)). Se trata de una singularidad de coordenadas, no de una singularidad física. En el origen, la dirección de \(\theta\) no puede definirse (sin importar hacia qué dirección apuntes, se trata del mismo punto).

M-3. \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) de la esfera

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Fórmula: \(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha})\)

\(\Gamma^\theta_{\phi\phi} = \frac{1}{2}g^{\theta\theta}(\partial_\phi g_{\phi\theta} + \partial_\phi g_{\phi\theta} - \partial_\theta g_{\phi\phi})\)

Como \(g_{\phi\theta} = 0\), los dos primeros términos son cero:

\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R^2} \cdot (0 + 0 - \partial_\theta(R^2\sin^2\theta))\)

\(= \frac{1}{2R^2}(-2R^2\sin\theta\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta\)

Avanzado

A-1. Identidad de Bianchi y conservación de la energía

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El tensor de Einstein \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) satisface automáticamente:

\(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)

como consecuencia de la identidad de Bianchi del tensor de Riemann (es una identidad de la geometría diferencial, no una ecuación de movimiento).

Si aplicamos \(\nabla^\mu\) a ambos lados de la ecuación de Einstein \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\):

\(0 = \nabla^\mu G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\nabla^\mu T_{\mu\nu}\)

Por lo tanto, \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) (ley de conservación del energía-momento).

Es decir, la estructura matemática de la ecuación de Einstein garantiza automáticamente la conservación del energía-momento. No es necesario postular la ley de conservación por separado.