Apéndice C Soluciones¶
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Índice
Básico
- B-1. Subir y bajar índices
- B-2. Contracción del delta de Kronecker
- B-3. Métrica e inversa de la esfera
- B-4. Asintótica de Minkowski de la métrica de Schwarzschild
- B-5. Símbolos de Christoffel nulos en espacio plano
- B-6. La geodésica en espacio plano es movimiento rectilíneo uniforme
Intermedio
- M-1. Cuadrimomento y condición de capa de masa
- M-2. Métrica en coordenadas polares y comportamiento en \(r=0\)
- M-3. \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) de la esfera
Avanzado
Básico¶
B-1. Subir y bajar índices¶
Problema:
Utilizando la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu}\), calcula las componentes covariantes \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\) del cuadrivector \(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\).
\(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\), \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)\).
\(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\):
\(A_0 = \eta_{00}A^0 = (-1)(1) = -1\)
\(A_1 = \eta_{11}A^1 = (1)(2) = 2\)
\(A_2 = \eta_{22}A^2 = (1)(3) = 3\)
\(A_3 = \eta_{33}A^3 = (1)(4) = 4\)
\(A_\mu = (-1, 2, 3, 4)\)
Solo la componente temporal cambia de signo.
B-2. Contracción del delta de Kronecker¶
Problema:
Utilizando la convención de suma de Einstein, calcula la contracción del delta de Kronecker \(\delta^\mu_\nu\) (igual a 1 cuando \(\mu = \nu\), y 0 en caso contrario) con un vector contravariante \(A^\nu\):
\(\delta^\mu_\nu A^\nu = \sum_{\nu=0}^{3} \delta^\mu_\nu A^\nu\)
\(\delta^\mu_\nu\) vale 1 cuando \(\mu = \nu\) y 0 en los demás casos, por lo que en la suma solo sobrevive el término con \(\nu = \mu\):
\(\delta^\mu_\nu A^\nu = A^\mu\)
La delta de Kronecker es un operador que "deja pasar el índice tal cual".
B-3. Métrica e inversa de la esfera¶
Problema:
A partir de la métrica de la esfera bidimensional (de radio \(R\)), \(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\), lee las componentes \(g_{\theta\theta}\), \(g_{\phi\phi}\), \(g_{\theta\phi}\). Obtén también la métrica inversa \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\phi\phi}\).
A partir de \(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\):
\(g_{\theta\theta} = R^2, \quad g_{\phi\phi} = R^2\sin^2\theta, \quad g_{\theta\phi} = g_{\phi\theta} = 0\)
La métrica inversa es el recíproco de las componentes diagonales:
\(g^{\theta\theta} = \frac{1}{R^2}, \quad g^{\phi\phi} = \frac{1}{R^2\sin^2\theta}\)
B-4. Asintótica de Minkowski de la métrica de Schwarzschild¶
Problema:
Derivada covariante y curvatura (C.5-C.6)¶
Métrica de Schwarzschild
Demuestra que, al tomar el límite \(r \to \infty\), esta métrica tiende asintóticamente a la métrica de Minkowski.
\(ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2\)
Cuando \(r \to \infty\), se tiene \(\frac{2GM}{c^2 r} \to 0\), por lo que:
\(ds^2 \to -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2\)
Esta es la métrica de Minkowski escrita en coordenadas esféricas. A grandes distancias, el espaciotiempo vuelve a ser plano.
B-5. Símbolos de Christoffel nulos en espacio plano¶
Problema:
Verifica que en un espacio plano (\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\)) todos los símbolos de Christoffel son cero.
Cuando \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \text{const}\), se tiene \(\partial_\alpha g_{\mu\nu} = 0\) (todas las derivadas parciales son cero).
\(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha}) = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(0 + 0 - 0) = 0\)
Todos los símbolos de Christoffel son cero.
B-6. La geodésica en espacio plano es movimiento rectilíneo uniforme¶
Problema:
Confirma que la ecuación de la geodésica \(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\) se reduce al movimiento rectilíneo uniforme \(\ddot{x}^\mu = 0\) cuando \(\Gamma = 0\).
\(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\)
Cuando \(\Gamma = 0\):
\(\ddot{x}^\mu = 0\)
Esto es movimiento rectilíneo uniforme (aceleración cero). Corresponde a la primera ley de Newton. En un espacio-tiempo curvo (\(\Gamma \neq 0\)), el término \(\Gamma\) representa la "aceleración debida a la gravedad".
Intermedio¶
M-1. Cuadrimomento y condición de capa de masa¶
Problema:
Calcula el producto interno \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu\) del cuadrimomento \(p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)\) y demuestra que \(p^\mu p_\mu = -m^2c^2\) es equivalente a la relación relativista energía-momento \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\).
\(p^\mu = (E/c,\; p_x,\; p_y,\; p_z)\)
\(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(E/c)^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 = -E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2\)
Si esto es igual a \(-m^2c^2\):
\(-E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2 = -m^2c^2\)
\(E^2/c^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2c^2\)
\(E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4 = (pc)^2 + (mc^2)^2\)
Esta es precisamente la relación energía-momento relativista. Cuando \(\mathbf{p} = 0\) (reposo), se obtiene \(E = mc^2\).
M-2. Métrica en coordenadas polares y comportamiento en \(r=0\)¶
Problema:
Escribe la métrica del espacio plano bidimensional en coordenadas polares \((r, \theta)\), \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\), e identifica \(g_{rr}\) y \(g_{\theta\theta}\). Discute qué ocurre en \(r = 0\).
A partir de \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\):
\(g_{rr} = 1, \quad g_{\theta\theta} = r^2, \quad g_{r\theta} = 0\)
En \(r = 0\) se tiene \(g_{\theta\theta} = 0\), por lo que la métrica se degenera (\(\det g = 0\)). Se trata de una singularidad de coordenadas, no de una singularidad física. En el origen, la dirección de \(\theta\) no puede definirse (sin importar hacia qué dirección apuntes, se trata del mismo punto).
M-3. \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) de la esfera¶
Problema:
Calcula \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) a partir de la métrica de la esfera bidimensional utilizando la fórmula de los símbolos de Christoffel.
Fórmula: \(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha})\)
\(\Gamma^\theta_{\phi\phi} = \frac{1}{2}g^{\theta\theta}(\partial_\phi g_{\phi\theta} + \partial_\phi g_{\phi\theta} - \partial_\theta g_{\phi\phi})\)
Como \(g_{\phi\theta} = 0\), los dos primeros términos son cero:
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R^2} \cdot (0 + 0 - \partial_\theta(R^2\sin^2\theta))\)
\(= \frac{1}{2R^2}(-2R^2\sin\theta\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta\)
Avanzado¶
A-1. Identidad de Bianchi y conservación de la energía¶
Problema:
Admitiendo que el lado izquierdo de las ecuaciones de Einstein \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) satisface \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\) (consecuencia de la identidad de Bianchi), explica cómo esto es consistente con la conservación del tensor de energía-impulso en el lado derecho, \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\).
El tensor de Einstein \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) satisface automáticamente:
\(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)
como consecuencia de la identidad de Bianchi del tensor de Riemann (es una identidad de la geometría diferencial, no una ecuación de movimiento).
Si aplicamos \(\nabla^\mu\) a ambos lados de la ecuación de Einstein \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\):
\(0 = \nabla^\mu G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\nabla^\mu T_{\mu\nu}\)
Por lo tanto, \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) (ley de conservación del energía-momento).
Es decir, la estructura matemática de la ecuación de Einstein garantiza automáticamente la conservación del energía-momento. No es necesario postular la ley de conservación por separado.
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