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Apéndice B Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Antisimetría de las transformaciones de Lorentz infinitesimales

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Estrategia de resolución

Sustituimos la transformación de Lorentz infinitesimal \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) en la condición de preservación de la métrica y conservamos los términos hasta primer orden en \(\omega\).

Desarrollo del cálculo

La condición de preservación de la métrica es

\[ \Lambda^\mu{}_\alpha\,\Lambda^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu} \]

Sustituimos \(\Lambda^\mu{}_\alpha = \delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha\) en el lado izquierdo:

\[ (\delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha)(\delta^\nu{}_\beta + \omega^\nu{}_\beta)\,\eta^{\alpha\beta} \]

Expandiendo obtenemos

\[ = \delta^\mu{}_\alpha\,\delta^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} + \omega^\mu{}_\alpha\,\delta^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} + \delta^\mu{}_\alpha\,\omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} + \omega^\mu{}_\alpha\,\omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} \]

Descartamos los términos de segundo orden en \(\omega\):

\[ \approx \eta^{\mu\nu} + \omega^\mu{}_\alpha\,\eta^{\alpha\nu} + \omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\mu\beta} \]

Aquí hemos usado \(\omega^\mu{}_\alpha\,\eta^{\alpha\nu} = \omega^{\mu\nu}\) (operación de subir el índice). Análogamente, \(\omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\mu\beta} = \omega^{\nu\mu}\).

Por lo tanto

\[ \eta^{\mu\nu} + \omega^{\mu\nu} + \omega^{\nu\mu} = \eta^{\mu\nu} \]

Respuesta final

\[ \boxed{\omega^{\mu\nu} + \omega^{\nu\mu} = 0} \]

Es decir, \(\omega^{\mu\nu}\) es antisimétrico. Si bajamos los índices y escribimos \(\omega_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\omega^{\alpha}{}_\nu\), también se cumple \(\omega_{\mu\nu} + \omega_{\nu\mu} = 0\).

Verificación

El número de componentes independientes de una matriz antisimétrica \(4 \times 4\) es \(\frac{4 \times 3}{2} = 6\). Esto coincide con el número de parámetros del grupo de Lorentz (3 rotaciones + 3 boosts = 6). ✓

B-2. Verificación de los elementos de matriz de los generadores

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Estrategia de resolución

Se calcula la ecuación (B.10) para cada componente con \(\rho = 2, \sigma = 3\).

Detalles del cálculo

\[ (M^{[23]})^\mu{}_\nu = \eta^{2\mu}\,\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\,\delta^3{}_\nu \quad \text{no, sino} \quad \eta^{2\mu}\,\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\,\delta^2{}_\nu \]

\(\eta^{2\mu}\) vale \(+1\) cuando \(\mu = 2\), y \(0\) en los demás casos. \(\eta^{3\mu}\) vale \(+1\) cuando \(\mu = 3\), y \(0\) en los demás casos.

Se calculan las componentes:

  • \((M^{[23]})^0{}_\nu = \eta^{20}\delta^3{}_\nu - \eta^{30}\delta^2{}_\nu = 0 - 0 = 0\) (para todo \(\nu\))
  • \((M^{[23]})^1{}_\nu = \eta^{21}\delta^3{}_\nu - \eta^{31}\delta^2{}_\nu = 0 - 0 = 0\) (para todo \(\nu\))
  • \((M^{[23]})^2{}_\nu = \eta^{22}\delta^3{}_\nu - \eta^{32}\delta^2{}_\nu = (+1)\delta^3{}_\nu - 0 = \delta^3{}_\nu\)
  • Vale \(+1\) cuando \(\nu = 3\), y \(0\) en los demás casos
  • \((M^{[23]})^3{}_\nu = \eta^{23}\delta^3{}_\nu - \eta^{33}\delta^2{}_\nu = 0 - (+1)\delta^2{}_\nu = -\delta^2{}_\nu\)
  • Vale \(-1\) cuando \(\nu = 2\), y \(0\) en los demás casos

Respuesta final

\[ \boxed{M^{[23]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}} \]

Las filas corresponden a \(\mu = 0,1,2,3\) y las columnas a \(\nu = 0,1,2,3\).

Verificación

Este es el generador de rotaciones en el plano \(yz\), donde solo se mezclan las componentes \(y\) y \(z\). Las componentes \(x^0, x^1\) permanecen invariantes, y la parte correspondiente a \(x^2, x^3\) coincide con el generador habitual de rotaciones bidimensionales \(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\). ✓

B-3. Representación matricial del generador de boost \(K^2 = M^{[02]}\)

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Estrategia de resolución

Se obtiene la matriz haciendo \(\rho = 0, \sigma = 2\) en la ecuación (B.10) y se verifica la transformación infinitesimal.

Detalles del cálculo

\[ (M^{[02]})^\mu{}_\nu = \eta^{0\mu}\,\delta^2{}_\nu - \eta^{2\mu}\,\delta^0{}_\nu \]

\(\eta^{0\mu}\) vale \(-1\) cuando \(\mu = 0\) y \(0\) en los demás casos. \(\eta^{2\mu}\) vale \(+1\) cuando \(\mu = 2\) y \(0\) en los demás casos.

Cada componente:

  • \((M^{[02]})^0{}_\nu = (-1)\delta^2{}_\nu - 0 = -\delta^2{}_\nu\)
  • Vale \(-1\) cuando \(\nu = 2\)
  • \((M^{[02]})^1{}_\nu = 0 - 0 = 0\) (para todo \(\nu\))
  • \((M^{[02]})^2{}_\nu = 0 - (+1)\delta^0{}_\nu = -\delta^0{}_\nu\)
  • Vale \(-1\) cuando \(\nu = 0\)
  • \((M^{[02]})^3{}_\nu = 0 - 0 = 0\) (para todo \(\nu\))

Por lo tanto

\[ M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Escribiendo la transformación infinitesimal \(x'^\mu = (\delta^\mu{}_\nu + \phi\,(M^{[02]})^\mu{}_\nu)\,x^\nu\) en componentes:

\[ x'^0 = x^0 + \phi \cdot (-1) \cdot x^2 = t - \phi\, y \]
\[ x'^1 = x^1 \]
\[ x'^2 = x^2 + \phi \cdot (-1) \cdot x^0 = y - \phi\, t \]
\[ x'^3 = x^3 \]

Respuesta final

\[ \boxed{M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} \]

La transformación infinitesimal da \(t' \approx t - \phi\,y\), \(y' \approx y - \phi\,t\) (\(x, z\) permanecen invariantes). ✓

Verificación

Para un boost finito se tiene \(t' = t\cosh\phi - y\sinh\phi\), \(y' = y\cosh\phi - t\sinh\phi\). Tomando \(\phi \ll 1\) con \(\cosh\phi \approx 1\), \(\sinh\phi \approx \phi\), se recupera la transformación infinitesimal obtenida arriba. ✓

B-4. Cálculo directo de las relaciones de conmutación de los generadores de rotación

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Estrategia de resolución

Se calcula directamente \([J^3, J^1]\) usando las matrices \(4\times4\) de \(J^3 = M^{[12]}\), \(J^1 = M^{[23]}\), \(J^2 = M^{[31]}\).

Detalles del cálculo

De D2, \(J^1 = M^{[23]}\):

\[ J^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

De la ecuación (B.11) del texto, \(J^3 = M^{[12]}\):

\[ J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Se calcula \(M^{[31]}\) mediante la ecuación (B.10) con \(\rho = 3, \sigma = 1\):

\[ (M^{[31]})^\mu{}_\nu = \eta^{3\mu}\delta^1{}_\nu - \eta^{1\mu}\delta^3{}_\nu \]
  • \(\mu = 1\): \(0 - (+1)\delta^3{}_\nu = -\delta^3{}_\nu\) → vale \(-1\) para \(\nu = 3\)
  • \(\mu = 3\): \((+1)\delta^1{}_\nu - 0 = \delta^1{}_\nu\) → vale \(+1\) para \(\nu = 1\)
  • El resto es todo \(0\)
\[ J^2 = M^{[31]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Se calcula el producto matricial \(J^3 \cdot J^1\). Las columnas no nulas de \(J^1\) son la columna \(\nu = 2\): \((0,0,0,-1)^T\) y la columna \(\nu = 3\): \((0,0,1,0)^T\).

\(J^3 \cdot J^1\): fila de \(J^3\) \(\times\) columna de \(J^1\)

  • \((J^3 J^1)^1{}_3 = (J^3)^1{}_2 (J^1)^2{}_3 = (1)(1) = 1\)
  • \((J^3 J^1)^2{}_3 = (J^3)^2{}_1 (J^1)^1{}_3 + (J^3)^2{}_2 (J^1)^2{}_3 = 0\) (\(J^1\) columna 3 es \((0,0,1,0)^T\) así que \((J^3)^2{}_k (J^1)^k{}_3 = (J^3)^2{}_2 \cdot 1 = 0\) ← la fila 2 de \(J^3\) es \((0,-1,0,0)\) por lo que \((J^3)^2{}_2 = 0\)...

Rehagamos con más cuidado. Se escriben las matrices explícitamente y se calcula el producto.

\[ J^3 \cdot J^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

Fila 1: \((0,0,0,0) \cdot \text{cada columna} = (0,0,0,0)\)

Fila 2: \((0,0,1,0)\) - Fila 2 \(\times\) columna 1: \(0\) - Fila 2 \(\times\) columna 2: \(0\) - Fila 2 \(\times\) columna 3: \(0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0\) - Fila 2 \(\times\) columna 4: \(0 + 0 + 1 \cdot 1 + 0 = 1\)

Fila 3: \((0,-1,0,0)\) - Todo \(0\) (ya que la fila 1 y fila 2 de \(J^1\) son todas cero)

Fila 4: \((0,0,0,0) \cdot \text{cada columna} = (0,0,0,0)\)

\[ J^3 \cdot J^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ J^1 \cdot J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Fila 1: todo \(0\)

Fila 2: todo \(0\) (la fila 2 de \(J^1\) es toda cero)

Fila 3: \((0,0,0,1)\) - Fila 3 \(\times\) cada columna: la fila 4 de \(J^3\) = \((0,0,0,0)\) por lo que todo es \(0\)

Fila 4: \((0,0,-1,0)\) - Fila 4 \(\times\) columna 1: \(0\) - Fila 4 \(\times\) columna 2: \((-1)(-1) = 1\) - Fila 4 \(\times\) columna 3: \((-1)(0) = 0\) - Fila 4 \(\times\) columna 4: \(0\)

\[ J^1 \cdot J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Por lo tanto

\[ [J^3, J^1] = J^3 J^1 - J^1 J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Por otro lado, se calcula \(iJ^2\):

\[ iJ^2 = i\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Nota: Aquí surge un problema. \([J^3, J^1]\) es una matriz con componentes reales, mientras que \(iJ^2\) contiene componentes imaginarias.

Esto se debe a la convención del texto. Las matrices \(M^{[\rho\sigma]}\) definidas en la ecuación (B.10) se usan con la convención de la ecuación (B.14): \(\Lambda = \exp(i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J} + i\boldsymbol{\phi}\cdot\mathbf{K})\). En la representación de cuadrivectores, los generadores son matrices reales (no imaginarias puras), y la relación de conmutación se satisface en la forma

\[ [J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k \]

Verifiquemos. El resultado del cálculo es:

\[ [J^3, J^1] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Y:

\[ iJ^2 = i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Estos no coinciden. En realidad, la relación de conmutación para los generadores en la representación de cuadrivectores, con la convención \(\Lambda = e^{\omega_{\rho\sigma}\mathcal{J}^{\rho\sigma}/2}\) (sin \(i\)), es

\[ [\mathcal{J}^i, \mathcal{J}^j] = \varepsilon^{ijk}\mathcal{J}^k \]

Con la convención del texto \(\Lambda = e^{i\theta_i J^i + i\phi_i K^i}\), la representación de cuadrivectores de los generadores es \(J^i_{\text{rep}} = -iM^{[jk]}_{\text{texto}}\) (con la correspondencia adecuada).

En efecto, al usar directamente las matrices de la ecuación (B.10), la relación de conmutación sin \(i\):

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[31]} \]

se verifica directamente.

\[ [J^3, J^1]_{\text{resultado del cálculo}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Comparando con \(M^{[31]}\):

\[ M^{[31]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

¿\([J^3, J^1] = -M^{[31]}\)? Verifiquemos los signos. El resultado de \([M^{[12]}, M^{[23]}]\) es

\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

La componente \((1,3)\) de \(M^{[31]}\) es \(-1\), la componente \((3,1)\) es \(+1\). La componente \((1,3)\) del resultado es \(+1\), la componente \((3,1)\) es \(-1\).

Por lo tanto \([M^{[12]}, M^{[23]}] = -M^{[31]} = M^{[13]}\).

Con la convención del texto donde \(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\), y \(\Lambda = e^{i\theta_i J^i}\), la representación matricial de \(J^i\) en la representación de cuadrivectores se expresa multiplicando por \(-i\). Es decir, si escribimos las matrices de (B.10) como \(\mathcal{M}^{[\rho\sigma]}\), la relación de conmutación abstracta \([J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k\) se corresponde con la representación de cuadrivectores mediante \(J^i_{\text{rep}} = -i\mathcal{M}^{[jk]}\) (con la correspondencia adecuada).

Sin embargo, dado que el enunciado dice "usando la representación matricial \(4\times4\) (B.11)", se usan directamente las matrices \(M^{[\rho\sigma]}\) del texto para calcular \([M^{[12]}, M^{[23]}]\) y verificar que el resultado es igual a \(M^{[13]}\) (\(= -M^{[31]}\)).

La relación de conmutación \([J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k\) escrita en la representación de cuadrivectores:

\[ [-i M^{[12]}, -i M^{[23]}] = i\varepsilon^{321}(-iM^{[31]}) \]
\[ -[M^{[12]}, M^{[23]}] = i(-1)(-i)M^{[31]} = -M^{[31]} \]
\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[31]} \]

Sin embargo el resultado del cálculo es \([M^{[12]}, M^{[23]}] = -M^{[31]}\).

Verifiquemos una vez más con cuidado. Como \(\varepsilon^{312} = +1\), tenemos \([J^3, J^1] = i\varepsilon^{312}J^2 = iJ^2\).

Sean \(\hat{J}^i\) las matrices que representan \(J^i\) en la representación de cuadrivectores. Con la convención del texto \(\Lambda = e^{i\theta_i J^i}\), la transformación infinitesimal es \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + i\theta_i (\hat{J}^i)^\mu{}_\nu\). Por otro lado, de las ecuaciones (B.8) y (B.13), \(\omega^\mu{}_\nu = \theta_i \varepsilon^{ijk}(M^{[jk]})^\mu{}_\nu / 1\)...

En realidad, leyendo cuidadosamente la convención del texto, en la ecuación (B.14) \(\Lambda = \exp(i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J} + i\boldsymbol{\phi}\cdot\mathbf{K})\), la representación matricial de \(J^i\) en la representación de cuadrivectores es \((\hat{J}^i)^\mu{}_\nu = -i(M_{\text{matriz}}^{[jk]})^\mu{}_\nu\) (con la correspondencia \(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\)).

Reorganicemos. Usando directamente las matrices de la ecuación (B.10) del texto para calcular el conmutador:

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Calculamos \(M^{[13]}\) (\(\rho=1, \sigma=3\)):

\[ (M^{[13]})^\mu{}_\nu = \eta^{1\mu}\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\delta^1{}_\nu \]
  • \(\mu=1\): \((+1)\delta^3{}_\nu - 0 = \delta^3{}_\nu\) → vale \(+1\) para \(\nu=3\)
  • \(\mu=3\): \(0 - (+1)\delta^1{}_\nu = -\delta^1{}_\nu\) → vale \(-1\) para \(\nu=1\)
\[ M^{[13]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Respuesta final

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} \]

Traduciendo esto al lenguaje de \(J^i\): como \(J^3 = M^{[12]}\), \(J^1 = M^{[23]}\), \(J^2 = M^{[31]} = -M^{[13]}\), tenemos

\[ [J^3, J^1] = M^{[13]} = -M^{[31]} = -(-J^2) \]

Aquí, dado que \(J^2 = M^{[31]}\), entonces \(M^{[13]} = -M^{[31]} = -J^2\)...

Reorganicemos una vez más. Como \(M^{[31]} = -M^{[13]}\), tenemos \(J^2 = M^{[31]} = -M^{[13]}\).

Por lo tanto \(M^{[13]} = -J^2\), y ¿\([J^3, J^1] = M^{[13]} = -J^2\)?

Esto contradice \([J^3, J^1] = iJ^2\). El problema radica en si la representación matricial de los generadores en la representación de cuadrivectores incluye o no el factor \(i\).

Correspondencia correcta: Con la convención del texto \(\Lambda = e^{i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J}}\), la representación matricial de \(\mathbf{J}\) en la representación de cuadrivectores es

\[ (J^i)^\mu{}_\nu = -\frac{i}{2}\varepsilon^{ijk}(M^{[jk]})^\mu{}_\nu \]

y no simplemente las matrices de (B.10). Sin embargo, dado que el enunciado dice "usando la representación matricial \(4\times4\) (B.11)", se están utilizando las matrices \(M^{[\rho\sigma]}\) del texto directamente como \(J^i\) (\(J^3 = M^{[12]}\), etc.).

En este caso, la relación de conmutación entre las matrices se satisface en la forma sin \(i\):

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} \]

Dado que \(M^{[13]} = -M^{[31]}\), y el problema pide verificar \([J^3, J^1] = iJ^2\).

Aquí lo importante es que las matrices de la ecuación (B.10) del texto son matrices reales. El conmutador de matrices reales es una matriz real, por lo que no puede aparecer \(i\).

En realidad, interpretando correctamente la convención del texto: en la representación de cuadrivectores, \(J^i\) en \(\Lambda = e^{i\theta_i J^i}\) se representa mediante matrices imaginarias puras \((-i) \times (\text{matriz real})\). Es decir,

\[ J^i_{\text{rep 4-vec}} = -i \cdot \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}_{\text{(B.10)}} \]

Sin embargo, el enunciado dice "usando la representación matricial \(4\times4\) (B.11)" para verificar \([J^3, J^1] = iJ^2\). La ecuación (B.11) está escrita como una matriz real.

Conclusión: La intención del problema es calcular el conmutador usando las matrices reales de la ecuación (B.10) y confirmar que \([M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} = -M^{[31]}\), demostrando así que la relación de conmutación abstracta \([J^3, J^1] = iJ^2\) se realiza correctamente en la representación de cuadrivectores.

La representación matricial de los generadores en la representación de cuadrivectores debería ser \(\hat{J}^i = -i \cdot (\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]})\), pero en el texto se tratan las matrices \(M^{[jk]}\) mismas (con la combinación adecuada) como la representación matricial de \(J^i\) en la representación de cuadrivectores.

La interpretación más simple: usando las matrices de (B.11) como \(\mathcal{J}^3\) y la de D2 como \(\mathcal{J}^1\), la relación de conmutación se satisface en la forma

\[ [\mathcal{J}^3, \mathcal{J}^1] = \mathcal{J}^2 \]

(sin \(i\)). Aquí \(\mathcal{J}^2 = M^{[13]}\) (\(= -M^{[31]}\)).

Efectivamente, el resultado del cálculo muestra:

\[ \boxed{[M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} = -M^{[31]}} \]

Esto es consistente con la relación de conmutación \([J^3, J^1] = iJ^2\) del álgebra de Lorentz en la representación de cuadrivectores (teniendo en cuenta el factor \(-i\) en las matrices de los generadores de la representación de cuadrivectores).

Verificación (método alternativo)

Las componentes no nulas de \(M^{[13]}\) son: componente \((1,3)\) igual a \(+1\) y componente \((3,1)\) igual a \(-1\). Esta es la matriz que genera rotaciones en el plano \(xz\), lo cual coincide con la expectativa física de que \([J^3, J^1]\) sea proporcional a \(J^2\) (rotación en el plano \(xz\)). ✓

B-5. Recuperación de los generadores de rotación usando el símbolo de Levi-Civita

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se desarrolla \(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\) para \(i = 1, 2, 3\).

Detalles del cálculo

\(J^1\):

\[ J^1 = \frac{1}{2}\varepsilon^{1jk}M^{[jk]} \]

Los casos con \(\varepsilon^{1jk} \neq 0\) son \((j,k) = (2,3)\) y \((3,2)\): - \(\varepsilon^{123} = +1\) - \(\varepsilon^{132} = -1\)

\[ J^1 = \frac{1}{2}\left(\varepsilon^{123}M^{[23]} + \varepsilon^{132}M^{[32]}\right) = \frac{1}{2}\left(M^{[23]} + (-1)(-M^{[23]})\right) = \frac{1}{2}(M^{[23]} + M^{[23]}) = M^{[23]} \]

\(J^2\):

\[ J^2 = \frac{1}{2}\varepsilon^{2jk}M^{[jk]} \]

Los casos con \(\varepsilon^{2jk} \neq 0\) son \((j,k) = (3,1)\) y \((1,3)\): - \(\varepsilon^{231} = +1\) - \(\varepsilon^{213} = -1\)

\[ J^2 = \frac{1}{2}\left(\varepsilon^{231}M^{[31]} + \varepsilon^{213}M^{[13]}\right) = \frac{1}{2}\left(M^{[31]} + (-1)(-M^{[31]})\right) = M^{[31]} \]

\(J^3\):

\[ J^3 = \frac{1}{2}\varepsilon^{3jk}M^{[jk]} \]

Los casos con \(\varepsilon^{3jk} \neq 0\) son \((j,k) = (1,2)\) y \((2,1)\): - \(\varepsilon^{312} = +1\) - \(\varepsilon^{321} = -1\)

\[ J^3 = \frac{1}{2}\left(\varepsilon^{312}M^{[12]} + \varepsilon^{321}M^{[21]}\right) = \frac{1}{2}\left(M^{[12]} + (-1)(-M^{[12]})\right) = M^{[12]} \]

Respuesta final

\[ \boxed{J^1 = M^{[23]}, \quad J^2 = M^{[31]}, \quad J^3 = M^{[12]}} \]

Verificación

\(J^3 = M^{[12]}\) es el generador de rotaciones en el plano \(xy\), y corresponde a una rotación alrededor del eje \(z\). Físicamente es correcto. ✓

B-6. \(\mathbf{J}_+\) と \(\mathbf{J}_-\) から \(\mathbf{J}\), $\mathbf{K}…

→ Volver al problema

Detalles del cálculo

Reproducimos la ecuación (B.18):

\[ \mathbf{J}_+ = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2}, \qquad \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} \]

Sumando las dos expresiones:

\[ \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2} + \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} = \mathbf{J} \]

Restando las dos expresiones:

\[ \mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2} - \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} = i\mathbf{K} \]

Respuesta final

\[ \boxed{\mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-, \qquad \mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)} \]

Verificación

Sustituimos \(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\) en la definición original para confirmar: \(\frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2} = \frac{(\mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-) + i(-i)(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)}{2} = \frac{(\mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-) + (\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)}{2} = \mathbf{J}_+\). ✓

B-7. Cálculo de la dimensión de representaciones

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Respuesta final

La dimensión de la representación \((j_+, j_-)\) es \((2j_+ + 1)(2j_- + 1)\).

(a) \((1, 0)\): \((2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 0 + 1) = 3 \times 1 = \boxed{3}\)

(b) \((1, 1)\): \((2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 1) = 3 \times 3 = \boxed{9}\)

(c) \((3/2, 0)\): \((2 \cdot \frac{3}{2} + 1)(2 \cdot 0 + 1) = 4 \times 1 = \boxed{4}\)

(d) \((1/2, 1)\): \((2 \cdot \frac{1}{2} + 1)(2 \cdot 1 + 1) = 2 \times 3 = \boxed{6}\)

Verificación

(a) corresponde a un tensor antisimétrico autodual (3 componentes). (b) corresponde a una parte del tensor simétrico de traza nula de rango 2 (9 componentes). (c) está relacionado con una parte del campo de Rarita-Schwinger (4 componentes). (d) tiene 6 componentes y corresponde a una parte del vector-espinor. El conteo de dimensiones es consistente. ✓

B-8. Verificación de \([K^1, K^2] = -iJ^3\)

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Estrategia de resolución

Calculamos el producto de las matrices 4×4 de \(K^1 = M^{[01]}\) y \(K^2 = M^{[02]}\).

Detalles del cálculo

De la ecuación (B.12):

\[ M^{[01]} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

De D3:

\[ M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(M^{[01]} \cdot M^{[02]}\):

Fila 1 \((0,-1,0,0)\) × cada columna: - Columna 1: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\) - Columna 2: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\) - Columna 3: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\) - Columna 4: \(0\)

→ \((0, 0, 0, 0)\)

Fila 2 \((-1,0,0,0)\) × cada columna: - Columna 1: \((-1)(0) = 0\) - Columna 2: \((-1)(0) = 0\) - Columna 3: \((-1)(-1) = 1\) - Columna 4: \(0\)

→ \((0, 0, 1, 0)\)

Fila 3 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

Fila 4 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

\[ M^{[01]} \cdot M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(M^{[02]} \cdot M^{[01]}\):

Fila 1 \((0,0,-1,0)\) × cada columna: - Columna 1: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\) (la fila 3 de \(M^{[01]}\) es toda ceros) - Columna 2: \((-1)(0) = 0\) - Columna 3: \(0\) - Columna 4: \(0\)

→ \((0, 0, 0, 0)\)

Fila 2 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

Fila 3 \((-1,0,0,0)\) × cada columna: - Columna 1: \((-1)(0) = 0\) - Columna 2: \((-1)(-1) = 1\) - Columna 3: \(0\) - Columna 4: \(0\)

→ \((0, 1, 0, 0)\)

Fila 4 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

\[ M^{[02]} \cdot M^{[01]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Conmutador:

\[ [M^{[01]}, M^{[02]}] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Comparamos esto con \(M^{[12]}\) (ecuación (B.11)):

\[ M^{[12]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Por lo tanto

\[ [M^{[01]}, M^{[02]}] = M^{[12]} \]

Respuesta final

\[ \boxed{[K^1, K^2] = [M^{[01]}, M^{[02]}] = M^{[12]} = J^3} \]

Sobre la consistencia con la relación de conmutación abstracta \([K^i, K^j] = -i\varepsilon^{ijk}J^k\): \([K^1, K^2] = -i\varepsilon^{123}J^3 = -iJ^3\).

En la representación de cuadrivectores, con la convención \(\Lambda = e^{i\phi_i K^i}\), la representación matricial de los generadores es \(K^i_{\text{rep}} = -iM^{[0i]}\). Entonces

\[ [K^1_{\text{rep}}, K^2_{\text{rep}}] = [-iM^{[01]}, -iM^{[02]}] = -[M^{[01]}, M^{[02]}] = -M^{[12]} \]

Por otro lado, \(-iJ^3_{\text{rep}} = -i(-iM^{[12]}) = -M^{[12]}\). ✓

Por lo tanto, se confirma que \([K^1, K^2] = -iJ^3\) se realiza correctamente en la representación de cuadrivectores.

Verificación

Físicamente, al aplicar sucesivamente un boost en la dirección \(x\) y un boost en la dirección \(y\), se produce una rotación en el plano \(xy\) (precesión de Thomas). La relación \([K^1, K^2] \propto J^3\) refleja precisamente este efecto. ✓

Intermedio

M-1. Derivación completa de \([J^i_+, J^j_-] = 0\)

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Estrategia de resolución

Sustituimos la definición (B.18), expandimos y demostramos que todos los términos se cancelan utilizando las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz.

Detalles del cálculo

\[ [J^i_+, J^j_-] = \left[\frac{J^i + iK^i}{2},\, \frac{J^j - iK^j}{2}\right] \]
\[ = \frac{1}{4}\left[J^i + iK^i,\, J^j - iK^j\right] \]

Expandimos usando la linealidad del conmutador:

\[ = \frac{1}{4}\left([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] - i^2[K^i, K^j]\right) \]
\[ = \frac{1}{4}\left([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] + [K^i, K^j]\right) \]

Sustituimos las relaciones de conmutación (B.15)–(B.17) en cada término:

Término 1: \([J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k\)

Término 2: \(-i[J^i, K^j] = -i \cdot i\varepsilon^{ijk}K^k = \varepsilon^{ijk}K^k\)

Término 3: \(i[K^i, J^j]\)

\([K^i, J^j] = -[J^j, K^i]\). Haciendo \(i \to j, j \to i\) en la ecuación (B.16) obtenemos \([J^j, K^i] = i\varepsilon^{jik}K^k\).

Como \(\varepsilon^{jik} = -\varepsilon^{ijk}\), tenemos \([J^j, K^i] = -i\varepsilon^{ijk}K^k\).

Por lo tanto \([K^i, J^j] = -[J^j, K^i] = i\varepsilon^{ijk}K^k\).

Así que \(i[K^i, J^j] = i \cdot i\varepsilon^{ijk}K^k = -\varepsilon^{ijk}K^k\).

Término 4: \([K^i, K^j] = -i\varepsilon^{ijk}J^k\)

Reunimos todos los términos:

\[ [J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}\left(i\varepsilon^{ijk}J^k + \varepsilon^{ijk}K^k - \varepsilon^{ijk}K^k - i\varepsilon^{ijk}J^k\right) \]
\[ = \frac{1}{4}\left(i\varepsilon^{ijk}J^k - i\varepsilon^{ijk}J^k + \varepsilon^{ijk}K^k - \varepsilon^{ijk}K^k\right) \]

Respuesta final

\[ \boxed{[J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}(0 + 0) = 0} \]

El término 1 y el término 4 se cancelan, y el término 2 y el término 3 se cancelan.

Verificación

Este resultado es la condición central que permite descomponer el álgebra de Lorentz como \(\mathfrak{su}(2)_+ \oplus \mathfrak{su}(2)_-\). Que \(\mathbf{J}_+\) y \(\mathbf{J}_-\) conmuten entre sí significa que las dos copias de \(\mathfrak{su}(2)\) actúan independientemente, lo cual constituye el fundamento para clasificar las representaciones mediante pares \((j_+, j_-)\). ✓

M-2. Forma explícita de los generadores de boost en la representación \((1/2, 0)\)

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(a) Generadores de rotaciones y de boosts

En la representación \((1/2, 0)\) se tiene \(\mathbf{J}_+ = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\), \(\mathbf{J}_- = 0\).

Usando los resultados de D6:

\[ \mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_- = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} + 0 = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} \]
\[ \mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-) = -i\left(\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} - 0\right) = -\frac{i\boldsymbol{\sigma}}{2} \]

Respuesta final (a)

\[ \boxed{\mathbf{J} = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}, \qquad \mathbf{K} = -\frac{i\boldsymbol{\sigma}}{2}} \]

(b) Matriz \(2\times2\) del boost en la dirección \(z\)

Un boost en la dirección \(z\) con rapidez \(\phi\) es \(\Lambda_L = \exp(i\phi K^3)\):

\[ \Lambda_L = \exp\left(i\phi \cdot \left(-\frac{i\sigma^3}{2}\right)\right) = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right) \]

Como \(\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) es una matriz diagonal:

\[ \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right) = \begin{pmatrix} e^{\phi/2} & 0 \\ 0 & e^{-\phi/2} \end{pmatrix} \]

Escrito en términos de funciones hiperbólicas:

\[ e^{\pm\phi/2} = \cosh\frac{\phi}{2} \pm \sinh\frac{\phi}{2} \]

Por lo tanto

\[ \Lambda_L = \cosh\frac{\phi}{2}\,\mathbf{1} + \sinh\frac{\phi}{2}\,\sigma^3 \]

Respuesta final (b)

\[ \boxed{\Lambda_L = \begin{pmatrix} e^{\phi/2} & 0 \\ 0 & e^{-\phi/2} \end{pmatrix} = \cosh\frac{\phi}{2}\,\mathbf{1} + \sinh\frac{\phi}{2}\,\sigma^3} \]

(c) Verificación de unitariedad y significado físico

Calculamos \(\Lambda_L^\dagger\). Como \(\sigma^3\) es hermítica y \(\phi\) es real:

\[ \Lambda_L^\dagger = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right)^\dagger = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^{3\dagger}}{2}\right) = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right) = \Lambda_L \]

Por lo tanto \(\Lambda_L^\dagger \Lambda_L = \Lambda_L^2 = \begin{pmatrix} e^{\phi} & 0 \\ 0 & e^{-\phi} \end{pmatrix} \neq \mathbf{1}\) (cuando \(\phi \neq 0\)).

Respuesta final (c)

\(\Lambda_L\) no es unitaria.

Significado físico: Los boosts pertenecen a la parte no compacta del grupo de Lorentz. Los generadores de las transformaciones compactas (rotaciones) son hermíticos (\(J^i = \sigma^i/2\)) y las matrices de transformación correspondientes \(e^{i\theta J^i}\) son unitarias. En cambio, los generadores de boost \(K^i = -i\sigma^i/2\) no son antihermíticos, y dado que \(iK^i = \sigma^i/2\) es hermítico, \(e^{i\phi K^i} = e^{\phi\sigma^i/2}\) es la exponencial de una matriz hermítica, resultando en una matriz hermítica definida positiva y no unitaria.

Físicamente, esto corresponde al hecho de que los boosts modifican la "magnitud" de las componentes del espinor (amplifican una componente de helicidad y atenúan la otra). El grupo de Lorentz \(SO^+(1,3)\) es un grupo no compacto y no admite representaciones unitarias de dimensión finita.

Verificación

\(\det \Lambda_L = e^{\phi/2} \cdot e^{-\phi/2} = 1\), por lo que \(\Lambda_L \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\). ✓

Cuando \(\phi = 0\), \(\Lambda_L = \mathbf{1}\) (transformación identidad). ✓

M-3. Correspondencia entre la representación \((1/2, 1/2)\) y los cuadrivectores

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(a) Demostración de \(\det \tilde{V} = -(V^\mu V_\mu)\)

\[ \tilde{V} = V^\mu \sigma_\mu = V^0 \mathbf{1} + V^i \sigma_i = \begin{pmatrix} V^0 + V^3 & V^1 - iV^2 \\ V^1 + iV^2 & V^0 - V^3 \end{pmatrix} \]

Calculamos el determinante:

\[ \det \tilde{V} = (V^0 + V^3)(V^0 - V^3) - (V^1 - iV^2)(V^1 + iV^2) \]
\[ = (V^0)^2 - (V^3)^2 - \left[(V^1)^2 + (V^2)^2\right] \]
\[ = (V^0)^2 - (V^1)^2 - (V^2)^2 - (V^3)^2 \]

Por otro lado, la norma de Minkowski es

\[ V^\mu V_\mu = \eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu = -(V^0)^2 + (V^1)^2 + (V^2)^2 + (V^3)^2 \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\det \tilde{V} = (V^0)^2 - (V^1)^2 - (V^2)^2 - (V^3)^2 = -(V^\mu V_\mu)} \]

(b) Realización de las transformaciones de Lorentz mediante \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)

\(\tilde{V}\) es una matriz hermítica (cuando \(V^\mu\) es real), y bajo la transformación \(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\) (\(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)) se preserva la hermiticidad:

\[ (M\tilde{V}M^\dagger)^\dagger = M^{\dagger\dagger}\tilde{V}^\dagger M^\dagger = M\tilde{V}M^\dagger \quad \checkmark \]

Invariancia del determinante:

\[ \det(M\tilde{V}M^\dagger) = \det M \cdot \det \tilde{V} \cdot \det M^\dagger = |\det M|^2 \det \tilde{V} \]

Como \(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\), se tiene \(\det M = 1\), por lo tanto

\[ \boxed{\det(M\tilde{V}M^\dagger) = \det \tilde{V}} \]

Esto significa que \(V^\mu V_\mu\) es invariante, lo que demuestra que \(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\) realiza una transformación de Lorentz.

\(\tilde{V}' = M\tilde{V}M^\dagger\) después de la transformación también es una matriz hermítica \(2\times2\) con parte de traza y parte sin traza, por lo que corresponde a un nuevo cuadrivector \(V'^\mu\). Esta correspondencia \(M \mapsto \Lambda(M)\) proporciona el homomorfismo \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \to SO^+(1,3)\).

Verificación

Dimensión del espacio de parámetros de \(\tilde{V}\): una matriz hermítica \(2\times2\) tiene 4 parámetros reales, lo que coincide con las 4 componentes de un cuadrivector. ✓

Dimensión de \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\): matrices complejas \(2\times2\) (8 parámetros reales) con la condición \(\det M = 1\) (2 condiciones reales) dan \(8 - 2 = 6\) dimensiones. Esto coincide con la dimensión 6 del grupo de Lorentz. ✓

M-4. Demostración cuantitativa de por qué el espín \(1/3\) está prohibido

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Estrategia de resolución

En las representaciones irreducibles de \(\mathrm{SU}(2)\), se deduce que \(2j\) es un entero no negativo a partir de las propiedades de los operadores de ascenso y descenso y de la no negatividad de la norma de los estados.

Detalles del cálculo

Paso 1: Relaciones algebraicas fundamentales

Sea \(J^2 = J_1^2 + J_2^2 + J_3^2\) y definimos \(J_\pm = J_1 \pm iJ_2\). Se satisfacen las relaciones de conmutación \([J_3, J_\pm] = \pm J_\pm\) y \([J_+, J_-] = 2J_3\).

Como \(J^2\) conmuta con todos los generadores, en una representación irreducible \(J^2 = \lambda\,\mathbf{1}\) (constante). Consideramos los autoestados \(|m\rangle\) de \(J_3\) (\(J_3|m\rangle = m|m\rangle\)).

Paso 2: Existencia de cotas superior e inferior para los autovalores de \(J_3\)

\[ J^2 - J_3^2 = J_1^2 + J_2^2 = \frac{1}{2}(J_+ J_- + J_- J_+) \]

Para cualquier estado \(|m\rangle\):

\[ \langle m|(J_1^2 + J_2^2)|m\rangle = \langle m|J_1^2|m\rangle + \langle m|J_2^2|m\rangle \geq 0 \]

(cada término es no negativo porque \(J_1, J_2\) son hermíticos). Por lo tanto:

\[ \lambda - m^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad m^2 \leq \lambda \]

Los autovalores de \(J_3\) están acotados, y existen un valor máximo \(m_{\max}\) y un valor mínimo \(m_{\min}\).

Paso 3: Condición del estado de peso máximo

Debe cumplirse \(J_+|m_{\max}\rangle = 0\) (de lo contrario existiría un estado con autovalor \(m_{\max} + 1\)).

Usando \(J_- J_+ = J^2 - J_3^2 - J_3 = J^2 - J_3(J_3 + 1)\):

\[ 0 = \|J_+|m_{\max}\rangle\|^2 = \langle m_{\max}|J_- J_+|m_{\max}\rangle = \lambda - m_{\max}(m_{\max} + 1) \]
\[ \therefore \quad \lambda = m_{\max}(m_{\max} + 1) \]

Definiendo \(j \equiv m_{\max}\), se obtiene \(\lambda = j(j+1)\).

Paso 4: Condición del estado de peso mínimo

De manera análoga, de \(J_-|m_{\min}\rangle = 0\), usando \(J_+ J_- = J^2 - J_3^2 + J_3\):

\[ 0 = \lambda - m_{\min}(m_{\min} - 1) = j(j+1) - m_{\min}(m_{\min} - 1) \]
\[ j(j+1) = m_{\min}(m_{\min} - 1) \]
\[ j^2 + j = m_{\min}^2 - m_{\min} \]
\[ j^2 - m_{\min}^2 + j + m_{\min} = 0 \]
\[ (j - m_{\min})(j + m_{\min}) + (j + m_{\min}) = 0 \]
\[ (j + m_{\min})(j - m_{\min} + 1) = 0 \]

Como \(j - m_{\min} + 1 > 0\) (\(m_{\min} \leq j\) y al menos \(m_{\min} < j + 1\)), se tiene \(j + m_{\min} = 0\), es decir:

\[ m_{\min} = -j \]

Paso 5: \(2j\) es un entero no negativo

Aplicando \(J_-\) repetidamente al estado de peso máximo \(|j\rangle\), se obtienen estados con autovalores de \(J_3\) que disminuyen de uno en uno: \(j, j-1, j-2, \ldots\). Esta sucesión debe terminar en \(m_{\min} = -j\).

El autovalor de \(J_3\) del estado obtenido tras aplicar \(J_-\) un total de \(n\) veces es \(j - n\). Para que alcance \(-j\):

\[ j - n = -j \quad \Rightarrow \quad n = 2j \]

Como \(n\) es el número de veces que se aplica \(J_-\), debe ser un entero no negativo.

Respuesta final

\[ \boxed{2j \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \quad \Rightarrow \quad j \in \left\{0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots\right\}} \]

En el caso \(j = 1/3\), \(2j = 2/3\) no es un entero, por lo que la representación irreducible correspondiente no existe.

Verificación

Para \(j = 1/2\): \(2j = 1\) (entero) → permitido. 2 estados con \(m = +1/2, -1/2\). ✓

Para \(j = 1\): \(2j = 2\) (entero) → permitido. 3 estados con \(m = +1, 0, -1\). ✓

Para \(j = 1/3\): \(2j = 2/3\) (no entero) → aplicando \(J_-\) un número finito de veces no se puede alcanzar \(m = -1/3\). Prohibido. ✓

Avanzado

A-1. Grupo de recubrimiento del grupo de Lorentz \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) y rotación de \(2\pi\) de espinores

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(a) Demostración de \(U(2\pi) = -\mathbf{1}\)

De S2(a), los generadores de rotación en la representación \((1/2, 0)\) son \(J^i = \sigma^i/2\). Una rotación de ángulo \(\theta\) alrededor del eje \(z\) es

\[ U(\theta) = \exp(i\theta J^3) = \exp\left(\frac{i\theta\,\sigma^3}{2}\right) \]

Como \(\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) es una matriz diagonal:

\[ U(\theta) = \begin{pmatrix} e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta/2} \end{pmatrix} \]

Sustituyendo \(\theta = 2\pi\):

\[ U(2\pi) = \begin{pmatrix} e^{i\pi} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -\mathbf{1} \]

Respuesta final (a)

\[ \boxed{U(2\pi) = -\mathbf{1}} \]

Un espinor cambia de signo bajo una rotación de \(2\pi\). Solo regresa a su estado original tras una rotación de \(4\pi\): \(U(4\pi) = +\mathbf{1}\).

(b) Correspondencia 2 a 1

En \(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\), si tomamos \(M = -\mathbf{1}\):

\[ (-\mathbf{1})\tilde{V}(-\mathbf{1})^\dagger = (-1)(-1)\tilde{V} = \tilde{V} \]

Por lo tanto, \(M = +\mathbf{1}\) y \(M = -\mathbf{1}\) corresponden a la misma transformación de Lorentz (la transformación identidad \(\Lambda = \mathbf{1}\)).

En general, para cualquier \(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\), tanto \(M\) como \(-M\) dan la misma transformación de Lorentz:

\[ (-M)\tilde{V}(-M)^\dagger = M\tilde{V}M^\dagger \]

Esta es la manifestación concreta del homomorfismo 2 a 1 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \to SO^+(1,3)\).

Respuesta final (b)

\[ \boxed{\pm M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \quad \longrightarrow \quad \text{la misma } \Lambda \in SO^+(1,3)} \]

El núcleo (kernel) es \(\{+\mathbf{1}, -\mathbf{1}\} \cong \mathbb{Z}_2\), y \(SO^+(1,3) \cong \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2\).

(c) Significado físico y relación con la mecánica cuántica

Significado físico del cambio de signo bajo rotación de \(2\pi\):

Como se demostró en (a), un espinor de Weyl levógiro \(\psi_L\) bajo una rotación de \(2\pi\) se transforma como \(\psi_L \to -\psi_L\). Sin embargo, como se mostró en (b), los cuadrivectores (observables) no distinguen entre \(M\) y \(-M\), por lo que \(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\) permanece invariante.

Relación con la mecánica cuántica:

En mecánica cuántica (en la discusión del momento angular), cuando se aplica una rotación de \(2\pi\) a un estado de espín \(1/2\) \(|\psi\rangle\), se obtiene \(|\psi\rangle \to -|\psi\rangle\). Sin embargo, las cantidades físicas observables tienen la forma \(|\langle\phi|\psi\rangle|^2\), y la fase global \((-1)\) no es observable.

Más precisamente, el espacio de estados de la mecánica cuántica es el espacio de Hilbert proyectivo \(\mathbb{P}\mathcal{H}\) (el espacio donde se identifican las fases globales), y las simetrías se realizan como representaciones proyectivas. Según el teorema de Wigner, las representaciones proyectivas pueden elevarse a representaciones ordinarias del grupo de recubrimiento universal.

  • El grupo de recubrimiento universal del grupo de rotaciones \(SO(3)\) es \(\mathrm{SU}(2)\) (2 a 1: \(\pm U \to R\))
  • El grupo de recubrimiento universal del grupo de Lorentz \(SO^+(1,3)\) es \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) (2 a 1: \(\pm M \to \Lambda\))

Las partículas de espín \(1/2\) portan una representación proyectiva de \(SO(3)\) (= representación genuina de \(\mathrm{SU}(2)\)) y adquieren una fase \(-1\) bajo una rotación de \(2\pi\). Esta fase ha sido observada experimentalmente en experimentos de interferencia (como el experimento de interferometría de neutrones).

Respuesta final (c)

Que la representación espinorial adquiera \(-1\) bajo una rotación de \(2\pi\) es una consecuencia directa de que \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) es el recubrimiento doble de \(SO^+(1,3)\). Físicamente:

  1. Los estados en mecánica cuántica viven en un espacio proyectivo, por lo que se permite una ambigüedad de fase \(\pm 1\)
  2. Aprovechando esta ambigüedad, el espín \(1/2\) se realiza como una representación proyectiva de \(SO(3)\) (= representación de \(\mathrm{SU}(2)\))
  3. En experimentos de interferencia, la fase relativa es observable, y se ha confirmado experimentalmente que se regresa al estado original tras una rotación de \(4\pi\) (no tras \(2\pi\))

A-2. Representación \((1, 0) \oplus (0, 1)\) y el tensor del campo electromagnético

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(a) Transformación de las partes autodual y anti-autodual

Definición del campo eléctrico y magnético:

\[ E^i = F^{0i}, \qquad B^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}F^{jk} \]

Tensor dual:

\[ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma} \]

Sus componentes son \(\tilde{F}^{0i} = B^i\), \(\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}\tilde{F}^{jk} = -E^i\) (ten en cuenta la convención de signos de la métrica).

Representación en vectores 3-dimensionales de las partes autodual y anti-autodual:

\[ \mathbf{F}_+ = \mathbf{E} + i\mathbf{B}, \qquad \mathbf{F}_- = \mathbf{E} - i\mathbf{B} \]

Transformación bajo rotaciones:

Las rotaciones transforman \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\) cada uno como vectores 3-dimensionales (\(\mathbf{E} \to R\mathbf{E}\), \(\mathbf{B} \to R\mathbf{B}\)). Por lo tanto

\[ \mathbf{F}_\pm \to R\mathbf{E} \pm iR\mathbf{B} = R(\mathbf{E} \pm i\mathbf{B}) = R\mathbf{F}_\pm \]

Tanto \(\mathbf{F}_+\) como \(\mathbf{F}_-\) se transforman como vectores de espín 1 bajo rotaciones.

Transformación bajo boosts:

Bajo un boost infinitesimal en la dirección \(x\) (rapidez \(\delta\phi\)):

\[ E'^1 = E^1, \quad E'^2 = E^2 + \delta\phi\, B^3, \quad E'^3 = E^3 - \delta\phi\, B^2 \]
\[ B'^1 = B^1, \quad B'^2 = B^2 - \delta\phi\, E^3, \quad B'^3 = B^3 + \delta\phi\, E^2 \]

(Esto se obtiene de \(\mathbf{E}' = \mathbf{E} + \delta\phi\,(\hat{x} \times \mathbf{B})\), etc.)

Calculamos la transformación de \(\mathbf{F}_+\):

\[ F'^2_+ = E'^2 + iB'^2 = (E^2 + \delta\phi\, B^3) + i(B^2 - \delta\phi\, E^3) \]
\[ = (E^2 + iB^2) + \delta\phi(B^3 - iE^3) = F^2_+ + \delta\phi(-i)(E^3 + iB^3) \]
\[ = F^2_+ - i\delta\phi\, F^3_+ \]

De manera similar \(F'^3_+ = F^3_+ + i\delta\phi\, F^2_+\).

Esto significa que \(\mathbf{F}_+\) se transforma bajo \(K^1\) como \(\delta F^i_+ = -i\delta\phi\,\varepsilon^{1ij}F^j_+\). Es decir, el generador de boosts actúa sobre \(\mathbf{F}_+\) como \(K^i_{\text{eff}} = -iJ^i_{\text{rot}}\) (\(-i\) veces el generador de rotaciones).

En la representación \((1,0)\) se tiene \(\mathbf{J}_+ = \boldsymbol{\sigma}/2\) (representación 3-dimensional para espín 1), \(\mathbf{J}_- = 0\), por lo que:

\[ \mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_- = \mathbf{J}_+, \qquad \mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-) = -i\mathbf{J}_+ \]

Es decir, \(\mathbf{K} = -i\mathbf{J}\). Esto coincide exactamente con el hecho de que el generador de boosts para \(\mathbf{F}_+\) es \(-i\) veces el generador de rotaciones.

De manera análoga, para \(\mathbf{F}_-\) actúa \(\mathbf{K} = +i\mathbf{J}\), lo que corresponde a la representación \((0,1)\) (\(\mathbf{J}_+ = 0\), $\mathbf{J}_- = $ espín 1).

Respuesta final (a)

\[ \boxed{\mathbf{F}_+ = \mathbf{E} + i\mathbf{B} \text{ pertenece a la representación } (1,0), \quad \mathbf{F}_- = \mathbf{E} - i\mathbf{B} \text{ pertenece a la representación } (0,1)} \]

(b) Dimensión de \((1,0) \oplus (0,1)\) y condición de realidad

Conteo de dimensiones:

  • \((1,0)\): \((2\cdot1+1)(2\cdot0+1) = 3\) dimensiones (complejas)
  • \((0,1)\): \((2\cdot0+1)(2\cdot1+1) = 3\) dimensiones (complejas)
  • Total: \(3 + 3 = 6\) dimensiones (complejas)

El número de componentes independientes del tensor antisimétrico \(F^{\mu\nu}\) es \(\frac{4\times3}{2} = 6\). ✓

Consistencia con la condición de realidad:

Bajo transformaciones de Lorentz reales, \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\) son ambos vectores reales, por lo que:

\[ (\mathbf{F}_+)^* = (\mathbf{E} + i\mathbf{B})^* = \mathbf{E} - i\mathbf{B} = \mathbf{F}_- \]

Es decir, la parte \((1,0)\) y la parte \((0,1)\) son complejas conjugadas una de la otra. Al imponer sobre las 6 componentes complejas las 3 condiciones complejas \((\mathbf{F}_+)^* = \mathbf{F}_-\) (= 6 condiciones reales), el número de parámetros reales independientes es \(12 - 6 = 6\), lo cual coincide con las 6 componentes reales independientes de \(F^{\mu\nu}\).

Respuesta final (b)

\[ \boxed{F^{\mu\nu} \text{ constituye la representación } (1,0) \oplus (0,1). \text{ La condición de realidad } (\mathbf{F}_+)^* = \mathbf{F}_- \text{ da las 6 componentes reales.}} \]

(c) Interpretación de la dualidad electromagnética en teoría de representaciones

Ecuaciones de Maxwell en el vacío:

Las ecuaciones de Maxwell sin fuentes pueden escribirse independientemente para \(\mathbf{F}_+\) y \(\mathbf{F}_-\):

\[ \partial_\mu F^{+\mu\nu} = 0, \qquad \partial_\mu F^{-\mu\nu} = 0 \]

(Esto es la combinación de \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) y \(\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0\).)

Dualidad electromagnética (electromagnetic duality):

La rotación de fase en el espacio de la representación \((1,0)\)

\[ \mathbf{F}_+ \to e^{i\alpha}\mathbf{F}_+, \qquad \mathbf{F}_- \to e^{-i\alpha}\mathbf{F}_- \]

(donde \(\mathbf{F}_-\) rota con fase opuesta para preservar la condición de realidad \((\mathbf{F}_+)^* = \mathbf{F}_-\)) corresponde, en términos de vectores reales, a

\[ \mathbf{E} \to \mathbf{E}\cos\alpha + \mathbf{B}\sin\alpha, \qquad \mathbf{B} \to -\mathbf{E}\sin\alpha + \mathbf{B}\cos\alpha \]

una rotación \(\mathbf{E}\)-\(\mathbf{B}\). Esta es la rotación de dualidad (duality rotation).

Interpretación en teoría de representaciones:

  • \((1,0)\) y \((0,1)\) son representaciones irreducibles distintas del grupo de Lorentz y no se mezclan bajo transformaciones de Lorentz
  • Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell en el vacío poseen una simetría interna adicional (rotación de fase \(U(1)\)) en el espacio \((1,0)\)
  • Esta simetría interna \(U(1)\) es la dualidad electromagnética; para \(\alpha = \pi/2\) se obtiene \(\mathbf{E} \to \mathbf{B}\), \(\mathbf{B} \to -\mathbf{E}\)
  • Cuando existen cargas y corrientes, \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu \neq 0\), y aunque \(\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0\) se mantiene, \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) se viola, por lo que la simetría de dualidad se rompe (a menos que existan cargas magnéticas)

Respuesta final (c)

\[ \boxed{\text{La dualidad electromagnética se entiende como una rotación de fase } U(1) \text{ en el espacio de la representación } (1,0): \mathbf{F}_+ \to e^{i\alpha}\mathbf{F}_+} \]

El hecho de que las ecuaciones de Maxwell en el vacío posean esta simetría \(U(1)\) es consecuencia de que \((1,0)\) y \((0,1)\) son representaciones irreducibles independientes y las ecuaciones toman la misma forma para cada una. La presencia de fuentes rompe la simetría entre las ecuaciones para \(F^+\) y \(F^-\), y por tanto rompe la simetría de dualidad.

Verificación

  • Consistencia dimensional: \(F^{\mu\nu}\) tiene 6 componentes, \((1,0)\oplus(0,1)\) también \(3+3=6\) componentes. ✓
  • Para \(\alpha = 0\) se obtiene la transformación identidad. ✓
  • Para \(\alpha = \pi/2\), \(\mathbf{E} \to \mathbf{B}\), \(\mathbf{B} \to -\mathbf{E}\): ecuaciones de Maxwell \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \to \nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) ✓, \(\nabla \times \mathbf{B} = \partial_t \mathbf{E} \to \nabla \times (-\mathbf{E}) = \partial_t \mathbf{B}\), es decir \(-\nabla \times \mathbf{E} = \partial_t \mathbf{B}\) ✓ (ley de Faraday).