Apéndice A: Números complejos y funciones complejas básicas¶
Posición de este apéndice: Las amplitudes de probabilidad y funciones de onda que aparecen a partir de Cap. 1 están todas escritas en números complejos. "¿Por qué los números reales no son suficientes?" es algo que experimentarás a partir de Cap. 4, pero primero vamos a preparar las herramientas necesarias. Comenzaremos con un repaso del contenido visto en matemáticas de bachillerato y escalaremos de golpe hasta la fórmula de Euler, indispensable en mecánica cuántica.
Objetivo de este apéndice
- Poder realizar las cuatro operaciones aritméticas con números complejos con soltura
- Comprender geométricamente el significado del plano complejo y la forma polar
- Derivar la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) y poder utilizarla con fluidez
- Intuir cómo se usan el conjugado complejo y el módulo al cuadrado en mecánica cuántica
Introducción de la unidad imaginaria \(i\)¶
🟡 Lina: En este apéndice vamos a organizar los fundamentos de los "números complejos" que se usan en mecánica cuántica. Primero una pregunta. ¿Existe algún número real \(x\) que satisfaga \(x^2 = -1\)?
🔵 Kai: No existe, ¿verdad? Porque cualquier número real al cuadrado da algo mayor o igual a 0.
🟡 Lina: Exacto. En el ámbito de los números reales no hay solución. Pero, ¿qué pasa si pensamos "si existiera un número cuyo cuadrado fuera \(-1\), qué cálculos podríamos hacer"? Simplemente le ponemos un nombre a ese número.
A este \(i\) lo llamamos unidad imaginaria (imaginary unit).
🔵 Kai: ¿Está bien ponerle nombre a un "número que no existe"?
🟡 Lina: Buena pregunta. De hecho, si miramos la historia de las matemáticas, los "números negativos" también se consideraban "inexistentes" al principio. En la antigüedad, "quitar 5 manzanas de 3" no tenía sentido. Pero cuando surgió el concepto de deuda, los números negativos se volvieron algo natural. Hoy nadie los cuestiona, ¿verdad?
⚪ Mei: Es decir, con \(i\) también vale con que "si funciona como herramienta de cálculo sin contradicciones, es suficiente".
🟡 Lina: Exactamente. Si podemos realizar las cuatro operaciones sin contradicciones y resulta útil para describir fenómenos físicos, entonces es un "número" legítimo.
✅ Verificación de comprensión: Enuncia la definición de la unidad imaginaria \(i\). Además, ¿cuánto valen \(i^3\) e \(i^4\)?
Respuesta
La unidad imaginaria \(i\) se define como el número que satisface \(i^2 = -1\). \(i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i\), \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\). Las potencias de \(i\) se repiten cíclicamente cada 4: \(1, i, -1, -i\).
🟡 Lina: Hay otra cosa importante que quiero decir de antemano. En mecánica cuántica, los números complejos son esencialmente necesarios para describir el comportamiento de la naturaleza. Sin embargo, los valores que se pueden medir experimentalmente —por ejemplo, la posición o la energía de una partícula— son por alguna razón todos reales.
🔵 Kai: ¿Eh? ¿Los complejos son importantes pero las mediciones son reales? ¿No es una contradicción?
🟡 Lina: No es una contradicción, sino que la estructura misma de la mecánica cuántica es así. Por qué es así se aclarará matemáticamente a partir de Cap. 11, así que por ahora solo recuerda que "entre bastidores hay números complejos, lo que el público ve son números reales".
✅ Verificación de comprensión: En mecánica cuántica, ¿qué papel desempeñan respectivamente los números complejos y los números reales?
Respuesta
En mecánica cuántica, los números complejos son esencialmente necesarios para describir el comportamiento de la naturaleza (las amplitudes de probabilidad y funciones de onda son complejas). Por otro lado, las magnitudes físicas que se pueden medir experimentalmente (posición, energía, etc.) son todas reales. La estructura es "entre bastidores hay números complejos, lo que el público ve son números reales".
Las cuatro operaciones con números complejos¶
🟡 Lina: Un número complejo \(z\) se escribe usando dos números reales \(a\) y \(b\) como
A \(a\) lo llamamos parte real (real part) y a \(b\) parte imaginaria (imaginary part). \(z\) tiene dos componentes, pero es un solo número.
🔵 Kai: ¿Y cuando \(a = 0\)?
🟡 Lina: Cuando \(a = 0\) y \(b \neq 0\), a \(z = bi\) lo llamamos número imaginario puro (purely imaginary number). Al revés, si \(b = 0\) entonces \(z = a\), que es simplemente un número real. Los números reales son un caso particular de los complejos.
Veamos las cuatro operaciones con \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\).
Suma y resta¶
🟡 Lina: Simplemente se opera parte real con parte real, y parte imaginaria con parte imaginaria.
⚪ Mei: Tiene la misma estructura que la suma componente a componente de vectores.
🟡 Lina: Buena observación. De hecho, cuando introduzcamos el "plano complejo" más adelante, verás que el diagrama es realmente el mismo que la suma de vectores.
Multiplicación¶
🟡 Lina: Para multiplicar, simplemente se desarrolla y se usa \(i^2 = -1\).
🔵 Kai: ¿Hay que memorizar la fórmula?
🟡 Lina: No hace falta memorizarla. Si sabes que \(i^2 = -1\), solo tienes que desarrollar como en álgebra normal.
División¶
🟡 Lina: Solo la división requiere un pequeño truco. Queremos que el denominador sea real. Para eso, multiplicamos numerador y denominador por el "conjugado complejo del denominador". El conjugado complejo lo explicaré en detalle más adelante, pero el conjugado de \(c + di\) es \(c - di\) —se invierte el signo de la parte imaginaria.
🟡 Lina: Comprobemos el desarrollo del numerador: \((a + bi)(c - di) = ac - adi + bci - bdi^2 = ac - adi + bci + bd = (ac + bd) + (bc - ad)i\). Igual que en la multiplicación, solo se usa \(i^2 = -1\).
🔵 Kai: ¡El denominador quedó \(c^2 + d^2\), que es real!
🟡 Lina: Exacto. \((c + di)(c - di) = c^2 - (di)^2\), y aquí \((di)^2 = d^2 i^2 = d^2 \times (-1) = -d^2\), así que \(c^2 - (-d^2) = c^2 + d^2\). Ese es el punto clave. Como es real, solo queda dividir la parte real y la parte imaginaria del numerador entre \(c^2 + d^2\).
⚪ Mei: Hacer el denominador real — esa es la esencia de la división. Es una idea similar a la racionalización.
✅ Verificación de comprensión: Si \(z_1 = 3 + 2i\), \(z_2 = 1 - i\), calcula \(z_1 z_2\) y \(z_1 / z_2\).
Respuesta
Multiplicación: \(z_1 z_2 = (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 3 - i + 2 = 5 - i\)
División: \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \dfrac{1 + i}{1 + i} = \dfrac{(3 + 2i)(1 + i)}{1^2 + 1^2} = \dfrac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{2} = \dfrac{1 + 5i}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i\)
📝 Ejercicios:
- Práctica de las cuatro operaciones con números complejos → Problema B-1. Multiplicación de números complejos
El plano complejo y la forma polar¶
🟡 Lina: Los números reales se representan como puntos en la recta numérica, ¿verdad? Los números complejos tienen dos componentes (parte real y parte imaginaria), así que se representan como puntos en un plano.
- Eje horizontal: eje real (real axis) — representa la parte real \(a\)
- Eje vertical: eje imaginario (imaginary axis) — representa la parte imaginaria \(b\)
A este plano lo llamamos plano complejo (complex plane), o también plano de Gauss. El número complejo \(z = a + bi\) corresponde al punto que está a distancia \(a\) en la dirección del eje real y \(b\) en la dirección del eje imaginario.
🔵 Kai: Es decir, es el punto de coordenadas \((a, b)\).
🟡 Lina: Exacto. Ahora, piensa en la "flecha" desde el origen hasta ese punto. Esa flecha tiene una longitud y un ángulo.
- La longitud \(r\) de la flecha se llama módulo (absolute value) del número complejo y se escribe \(|z|\)
- El ángulo que forma la flecha con la dirección positiva del eje real se llama argumento (argument) y se escribe \(\arg(z)\). En lo que sigue, representaremos frecuentemente el argumento como \(\theta\) (es decir, \(\theta = \arg(z)\))
✅ Verificación de comprensión: En el plano complejo, ¿qué representan respectivamente el "módulo" y el "argumento" de un número complejo?
Respuesta
El módulo \(|z|\) representa la distancia desde el origen hasta el punto correspondiente al número complejo \(z\) (la longitud de la flecha). El argumento \(\arg(z)\) representa el ángulo que forma esa flecha con la dirección positiva del eje real. Estos corresponden a las coordenadas polares \((r, \theta)\).
⚪ Mei: Es la relación entre coordenadas cartesianas \((a, b)\) y coordenadas polares \((r, \theta)\). Lo vimos en el instituto.
🟡 Lina: Exacto. Usando funciones trigonométricas:
Por lo tanto,
A esto lo llamamos la forma polar (polar form) del número complejo.
🔵 Kai: Oh, se puede factorizar \(r\). Queda una forma muy limpia.
🟡 Lina: El módulo \(r\) es simplemente el teorema de Pitágoras:
El argumento \(\theta\) se obtiene de:
Pero hay dos precauciones. Primero, la función inversa de \(\tan\), \(\arctan\), solo devuelve valores entre \(-\pi/2\) y \(\pi/2\), así que necesitas mirar los signos de \(a\) y \(b\) para determinar en qué cuadrante está. Además, sumar un múltiplo entero de \(2\pi\) a \(\theta\) representa el mismo punto, así que el argumento es un valor con período \(2\pi\).
🔵 Kai: O sea que para un mismo número complejo, la forma de expresar el argumento no es única.
🟡 Lina: Así es. Por ejemplo, los argumentos \(\pi/4\) y \(\pi/4 + 2\pi = 9\pi/4\) apuntan en la misma dirección. Normalmente se restringe al rango \(-\pi < \theta \leq \pi\) o \(0 \leq \theta < 2\pi\) y se toma el "valor principal".
✅ Verificación de comprensión: Encuentra el módulo y el argumento de \(z = 1 + i\).
Respuesta
\(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). \(\tan\theta = 1/1 = 1\) y como \(a > 0, b > 0\) (primer cuadrante), \(\theta = \pi/4\). Por lo tanto \(z = \sqrt{2}(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4))\).
📝 Ejercicios:
- Conversión de números complejos a forma polar → Problema B-4. Conversión a forma polar
Significado geométrico de la multiplicación — Rotación y escalamiento¶
🟡 Lina: El verdadero valor de la forma polar se manifiesta en la multiplicación. Escribamos dos números complejos en forma polar.
Calculemos su producto.
⚪ Mei: La parte real y la parte imaginaria del resultado del desarrollo... las he visto en alguna parte... ¡Son las fórmulas de adición!
🟡 Lina: Exacto. Recuerda las fórmulas de adición de funciones trigonométricas: \(\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\), \(\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B\). La parte real del desarrollo \(\cos\theta_1 \cos\theta_2 - \sin\theta_1 \sin\theta_2\) tiene exactamente la forma de \(\cos(\theta_1 + \theta_2)\), y la parte imaginaria \(\cos\theta_1 \sin\theta_2 + \sin\theta_1 \cos\theta_2\) tiene la forma de \(\sin(\theta_1 + \theta_2)\), así que:
🔵 Kai: ¡Oh! ¡Los módulos se multiplican y los argumentos se suman!
🟡 Lina: Esa es la esencia de la multiplicación de números complejos. En resumen:
Significado geométrico de la multiplicación de números complejos:
Multiplicar por un número complejo \(z_2\) significa, en el plano complejo: - Multiplicar el módulo por \(|z_2|\) (escalamiento) - Aumentar el argumento en \(\arg(z_2)\) (rotación)
✅ Verificación de comprensión: En la multiplicación de números complejos \(z_1 z_2\), ¿qué ocurre respectivamente con el módulo y el argumento del producto?
Respuesta
El módulo del producto es \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) (el producto de los módulos), y el argumento es \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\) (la suma de los argumentos). Es decir, la multiplicación es una "operación que realiza simultáneamente un escalamiento y una rotación".
⚪ Mei: Entonces, si \(|z_2| = 1\) es solo una rotación pura, y si \(\arg(z_2) = 0\) es solo un escalamiento puro. Los dos efectos se pueden separar independientemente.
🟡 Lina: Veamos un ejemplo concreto. ¿Qué pasa si multiplicamos por la unidad imaginaria \(i\)? ¿Cuánto valen el módulo y el argumento de \(i\)?
🔵 Kai: A ver... \(i = 0 + 1 \cdot i\), así que el módulo es \(\sqrt{0^2 + 1^2} = 1\), y el argumento es la dirección positiva del eje imaginario, o sea \(\pi/2\). Eso significa... ¡el tamaño no cambia y se rota \(90°\)!
🟡 Lina: Perfecto. ¿Y si multiplicamos por \(i\) dos veces?
🔵 Kai: \(90° + 90° = 180°\) de rotación, que es \(i^2 = -1\). Se va a la dirección negativa del eje real.
🟡 Lina: Así es. \(-1\) es el número complejo que significa "rotación de \(180°\)". Por eso \((-1) \times (-1) = 1\) significa que si haces dos rotaciones de \(180°\), obtienes \(360°\) y vuelves al punto de partida.
🔵 Kai: Nunca imaginé que "menos por menos igual a más" se pudiera entender tan intuitivamente... Pero al revés, si multiplicas por \(i\) tres veces es una rotación de \(270°\), que es \(-i\). Eso está en la "dirección negativa del eje imaginario", ¡así que coincide con \(i^3 = -i\)! Entonces, ¿para \(i^{100}\) también basta pensar en rotaciones?
🟡 Lina: Exactamente. Ese es el poder del plano complejo. Comprobemos con el \(i^{100}\) que mencionaste. \(100 \times 90° = 9000°\), y \(9000 / 360 = 25\) vueltas completas, así que vuelve al punto de partida y da \(1\) — algebraicamente también \(i^{100} = (i^4)^{25} = 1^{25} = 1\), coincide.
⚪ Mei: Es decir, el cálculo de \(i^n\) se puede interpretar como "acumular \(n\) rotaciones de \(90°\)". Que se obtenga el mismo resultado tanto desde el álgebra como desde la geometría es la fortaleza del plano complejo.
✅ Verificación de comprensión: Calcula el resultado de multiplicar el número complejo \(z = 1 + i\) por \(i\), y explica cómo se mueve en el plano complejo.
Respuesta
\(iz = i(1 + i) = i + i^2 = -1 + i\). El original \(z = 1 + i\) está en el primer cuadrante (argumento \(\pi/4\)), e \(iz = -1 + i\) está en el segundo cuadrante (argumento \(3\pi/4\)). El argumento aumentó en \(\pi/2\), lo que corresponde a una rotación de \(90°\) en sentido antihorario respecto al origen. El módulo es \(\sqrt{2}\) en ambos casos y no cambia.
El conjugado complejo — El número reflejado en el espejo¶
🟡 Lina: Ya lo adelanté un poco en la sección de división, pero aquí lo defino formalmente. Al número que se obtiene invirtiendo solo el signo de la parte imaginaria de un número complejo \(z = a + bi\) lo llamamos conjugado complejo (complex conjugate). En física, la notación estándar es \(z^*\). En matemáticas a veces se escribe \(\bar{z}\), pero en este material seguimos la convención de la física y usamos \(z^*\).
🔵 Kai: ¿Solo invertir el signo de la parte imaginaria? ¿Es necesario ponerle nombre a algo tan simple?
🟡 Lina: Sí. En mecánica cuántica aparece en todas partes. Primero te muestro tres propiedades útiles.
Propiedad 1: Extracción de la parte real e imaginaria¶
🟡 Lina: Si sumamos \(z\) y \(z^*\):
Por lo tanto,
De forma similar, si restamos:
Por lo tanto,
Aquí \(\operatorname{Re}\) es la abreviatura de real part (parte real) e \(\operatorname{Im}\) de imaginary part (parte imaginaria).
🔵 Kai: Al sumar desaparece la parte imaginaria y queda solo la real, al restar desaparece la real y queda solo la imaginaria. Está bien diseñado.
Propiedad 2: El módulo al cuadrado¶
🟡 Lina: Si multiplicamos \(z\) por \(z^*\):
🔵 Kai: ¡Al multiplicar por el conjugado se obtiene el módulo al cuadrado!
🟡 Lina: Esta es la relación más frecuentemente usada en mecánica cuántica. En Cap. 4, cuando calculemos la probabilidad a partir de la amplitud de probabilidad \(\phi\), haremos el cálculo \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\) cada vez.
✅ Verificación de comprensión: ¿A qué es igual el producto \(zz^*\) de un número complejo \(z\) por su conjugado \(z^*\)? ¿Por qué esta relación es importante en mecánica cuántica?
Respuesta
\(zz^* = |z|^2\) (el módulo al cuadrado). En mecánica cuántica, al calcular la probabilidad a partir de la amplitud de probabilidad \(\phi\) se realiza el cálculo \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\), por lo que esta relación es la más frecuentemente utilizada.
🔵 Kai: Pero si al multiplicar por \(z^*\) se obtiene un número real, ¿qué tiene de especial el argumento de \(z^*\) si lo pensamos como suma de argumentos?
🟡 Lina: Buena pregunta. De hecho, el argumento de \(z^*\) tiene el signo opuesto al de \(z\). En forma polar, si \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) entonces \(z^* = r(\cos\theta - i\sin\theta)\). Aquí se cumple que \(\cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\) — porque \(\cos\) no cambia de signo con \(\cos(-\theta) = \cos\theta\), y \(\sin\) invierte su signo con \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\). Es decir, el argumento es \(-\theta\). Al multiplicar, el argumento queda \(\theta + (-\theta) = 0\), que es la dirección del eje real, y el módulo es \(r \times r = r^2\). ¿Ves cómo es consistente?
⚪ Mei: Los argumentos se cancelan mutuamente y se vuelve al eje real — coincide perfectamente con la imagen geométrica de la rotación.
🟡 Lina: Cuando aprendas la fórmula de Euler más adelante, esto se podrá escribir de forma aún más compacta. Por ahora es suficiente con que tengas la intuición de que "el conjugado complejo es la operación que invierte el argumento".
🔵 Kai: Como los argumentos se cancelan, se vuelve al eje real — geométricamente también queda muy claro.
Propiedad 3: Reglas de cálculo del conjugado complejo¶
🟡 Lina: El conjugado complejo tiene las siguientes reglas. Todas se pueden demostrar volviendo a la definición, pero las resumo aquí.
🔵 Kai: El conjugado complejo se puede "meter dentro" tanto de la suma, como de la multiplicación y la división. La resta también cumple \((z_1 - z_2)^* = z_1^* - z_2^*\), ¿verdad?
🟡 Lina: Sí. La resta es un caso particular de la suma, así que se cumple automáticamente. En matemáticas, esta propiedad se expresa diciendo que "\(*\) es un automorfismo de cuerpo", pero no necesitas profundizar en eso ahora. Basta con recordar que "el conjugado complejo conmuta con las cuatro operaciones".
✅ Verificación de comprensión: Si \(z = 3 - 4i\), calcula \(|z|^2\) mediante \(zz^*\). ¿Cuánto vale \(|z|\)?
Respuesta
\(z^* = 3 + 4i\). \(zz^* = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2\). Por lo tanto \(|z| = 5\).
📝 Ejercicios:
- Demostración y cálculo de propiedades del conjugado complejo → Problema M-1. Demostración general de la regla del producto de conjugados complejos
Preparación: Desarrollo de Taylor¶
🟡 Lina: Para derivar la fórmula de Euler necesitamos una herramienta llamada desarrollo de Taylor (Taylor expansion). Aquí usaremos conocimientos de derivadas que se estudian en matemáticas avanzadas de bachillerato. Si aún no has estudiado derivadas, puedes saltarte los cálculos intermedios de esta sección — lo único que necesitarás en el texto principal son las tres fórmulas finales (A.23)–(A.25), así que puedes aceptar que "estas fórmulas se cumplen" y pasar a la siguiente sección "Fórmula de Euler".
La derivada es la operación de encontrar la razón de "cuánto cambia \(f(x)\) cuando \(x\) cambia en una cantidad pequeña \(\Delta x\)", y la derivada de \(f(x)\) se escribe \(f'(x)\). Más concretamente,
Es decir, se divide "el cambio en \(f\) al mover \(x\) en \(\Delta x\)" entre "\(\Delta x\)", y se toma el límite cuando \(\Delta x\) se hace infinitesimalmente pequeño. En un gráfico, es el límite de la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la curva cuando esos dos puntos se acercan infinitamente — es decir, es igual a la pendiente de la recta tangente.
Como fórmula básica, la derivada de \(x^n\) es \((x^n)' = nx^{n-1}\) — se baja el exponente como coeficiente y se reduce el exponente en 1. Por ejemplo, si \(f(x) = x^2\) entonces \(f'(x) = 2x^1 = 2x\), si \(f(x) = x^3\) entonces \(f'(x) = 3x^2\). Intuitivamente, esto es porque \((x + \Delta x)^2 - x^2 = 2x\,\Delta x + (\Delta x)^2\), y al dividir por \(\Delta x\) y tomar \(\Delta x \to 0\), queda \(2x\) — el término con \((\Delta x)^2\) desaparece. Para las funciones trigonométricas se tiene \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\). Y la función exponencial cumple \((e^x)' = e^x\), es una función especial que al derivarla queda igual a sí misma. La derivación rigurosa de estos resultados se deja para los libros de texto de análisis, pero como los usaremos repetidamente, conviene recordarlos.
🔵 Kai: ¿De dónde sale el signo menos en \((\cos x)' = -\sin x\)? Y además, ¿\((e^x)' = e^x\) no es extraño? ¿Existe realmente una función que no cambia al derivarla?
🟡 Lina: Te respondo en orden. Primero, sobre el signo menos de \(\cos x\). Piensa en la gráfica de \(\cos x\). En \(x = 0\), \(\cos 0 = 1\), estamos en la cima de la montaña. En la cima la pendiente es cero — efectivamente \(-\sin 0 = 0\), correcto. A partir de ahí, cuando \(x\) aumenta un poco, \(\cos x\) decrece, es decir la pendiente se hace negativa. \(-\sin x\) es negativo para \(x > 0\), así que es consistente. Con la misma idea puedes verificar \((\sin x)' = \cos x\). En \(x = 0\), \(\sin 0 = 0\) y está pasando por el origen, la pendiente es positiva — efectivamente \(\cos 0 = 1 > 0\), correcto.
⚪ Mei: Se puede leer el signo de la derivada a partir de la forma del gráfico. En la cima la pendiente es 0, en la bajada la pendiente es negativa — es intuitivo.
🟡 Lina: Ahora sobre \(e^x\). Intuitivamente, la gráfica de \(e^x\) crece cada vez más rápido hacia la derecha. Y la característica de la función exponencial es que "tiene una pendiente proporcional a su valor actual". Es decir, donde el valor es grande la pendiente también es grande, y donde el valor es pequeño la pendiente también es pequeña. Puedes pensar en \(e^x\) como la función que cumple la propiedad "la tasa de cambio es igual a sí misma". De hecho, el número \(e\) se elige precisamente como la base que satisface esta propiedad.
🔵 Kai: Ya veo, es una función especial que cumple "tasa de cambio = sí misma".
🟡 Lina: Bien, ahora vamos a aplicar esta derivación repetidamente. A la derivada de \(f'(x)\) la llamamos \(f''(x)\) (derivada segunda), a la de esta \(f'''(x)\) (derivada tercera). Por ejemplo, si \(f(x) = x^2\) entonces \(f'(x) = 2x\), \(f''(x) = 2\), \(f'''(x) = 0\). En general, la derivada \(n\)-ésima se escribe \(f^{(n)}(x)\). Los paréntesis indican "\(n\)-ésima derivada", no "potencia \(n\)" — \(f^{(4)}(x)\) es \(f\) derivada 4 veces, \(f^{(0)}(x) = f(x)\) es derivar 0 veces, es decir, la función original.
Antes de continuar, déjame introducir una notación. \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1\) se llama factorial (factorial). Por ejemplo \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\), \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). Se conviene que \(0! = 1\) (con esta convención \(1! = 1 \times 0! = 1 \times 1 = 1\), y la recurrencia \(n! = n \times (n-1)!\) se cumple sin contradicción también para \(n = 1\)). Usaremos esta notación enseguida.
🔵 Kai: ¿Qué es el desarrollo de Taylor?
🟡 Lina: Es una técnica que dice: si en un punto \(x_0\) conocemos el valor de la función y todos sus coeficientes de derivación (primera derivada, segunda, tercera, ...), entonces podemos expresar el valor de la función en un punto \(x\) cercano a \(x_0\) como una suma de polinomios.
La idea es la siguiente. Primero, muy cerca de \(x_0\), la función se puede aproximar por su recta tangente en ese punto. Como \(f'(x_0)\) es la pendiente (tasa de cambio) en \(x = x_0\), en un punto desplazado \(\Delta x = x - x_0\) respecto a \(x_0\) podemos escribir \(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) — "valor original + pendiente × desplazamiento". Pero esto es solo una aproximación de primer orden. Si queremos más precisión, añadimos términos de segundo orden, tercer orden...
🔵 Kai: ¿Cómo se determina el término de segundo orden?
🟡 Lina: El coeficiente de cada término se elige de modo que "al derivar \(n\) veces y sustituir \(x = x_0\), se extraiga exactamente \(f^{(n)}(x_0)\)". Para eso se pone \(1/n!\) — el factorial que acabamos de definir. ¿Por qué se necesita \(n!\)? Porque al derivar \(x^n\) \(n\) veces aparece \(n!\). Por ejemplo, \(x^3\) derivado una vez da \(3x^2\), otra vez \(6x\), otra vez \(6 = 3!\). En general, al derivar \((x - x_0)^n\) \(n\) veces y sustituir \(x = x_0\), queda \(n!\). Así que si ponemos \(n!\) en el denominador, se cancela exactamente y se extrae solo \(f^{(n)}(x_0)\). El resultado es:
Aquí convenimos que \(f^{(0)} = f\) (derivar 0 veces = la función original). Los "\(\cdots\)" a la derecha significan que esta suma continúa infinitamente.
🔵 Kai: ¿Se suma infinitamente? ¿De verdad converge a la función original?
🟡 Lina: Buena pregunta. Primero te explico qué significa "sumar infinitamente". Piensa por ejemplo en \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots\). A la suma de solo el primer término, de los dos primeros, de los tres primeros... la llamamos suma parcial (partial sum). En este caso las sumas parciales son \(1, 1.5, 1.75, 1.875, \ldots\) y se acercan cada vez más a \(2\) — cada vez avanzamos "la mitad de la distancia restante", así que nunca superamos \(2\) pero nos acercamos tanto como queramos. Cuando las sumas parciales se acercan indefinidamente a un valor, definimos ese valor como la "suma" de la serie infinita. Al revés, como \(1 + 1 + 1 + \cdots\) donde las sumas parciales crecen sin límite y no se estabilizan en un valor, se dice que "diverge" y la suma no está definida.
🔵 Kai: Ya veo, "sumar infinitamente" en realidad es mirar hacia dónde van las sumas parciales. Pero en el caso del desarrollo de Taylor, ¿converge de verdad? No funciona para todas las funciones, ¿verdad?
🟡 Lina: Perspicaz. De hecho, no para todas las funciones el desarrollo de Taylor coincide con la función original. Por ejemplo, la función \(f(x) = e^{-1/x^2}\) (para \(x \neq 0\)), \(f(0) = 0\) tiene todos sus coeficientes de derivación iguales a \(0\) en \(x = 0\), así que su desarrollo de Taylor es idénticamente \(0\) — completamente diferente de la función original. Pero las tres funciones que vamos a usar ahora, \(\cos x\), \(\sin x\), \(e^x\), tienen demostrado que la serie infinita coincide con la función original para cualquier número real \(x\). Así que puedes usarlas con tranquilidad. Además, la serie de \(e^x\) converge incluso cuando se sustituye \(x\) por un número complejo — esto lo usaremos en la siguiente sección para derivar la fórmula de Euler. En la práctica, muchas veces se trunca la serie según la precisión necesaria.
⚪ Mei: Es impresionante poder reconstruir el valor en un punto lejano solo a partir de la información en \(x_0\).
🟡 Lina: La ecuación (A.20) también se puede escribir de forma compacta con la notación \(\Sigma\) (sigma). Como \(\displaystyle\sum_{n=1}^{3} n = 1 + 2 + 3 = 6\), la notación \(\sum\) suma desde el valor inicial de la variable escrito abajo hasta el valor final escrito arriba, incrementando de 1 en 1. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{3} n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14\); si el límite inferior es \(0\), se empieza desde \(n = 0\). Cuando el límite superior es \(\infty\), significa "el límite de las sumas parciales" como acabo de explicar. Por ejemplo \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = 2\) — exactamente el ejemplo de serie geométrica que mencioné antes.
🔵 Kai: O sea que \(\sum\) es un símbolo de instrucción que dice "suma todo desde aquí hasta aquí".
🟡 Lina: Exacto. Usando esto, la ecuación (A.20) se escribe así. Aquí \(f^{(n)}(x_0)\) es "el valor de \(f\) derivada \(n\) veces evaluada en \(x = x_0\)" — la notación que acabo de explicar:
🟡 Lina: En particular, al desarrollo alrededor de \(x_0 = 0\) lo llamamos desarrollo de Maclaurin (Maclaurin expansion). Taylor y Maclaurin son ambos nombres de matemáticos.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es el desarrollo de Taylor? Explica brevemente por qué cada término lleva un factor \(1/n!\).
Respuesta
El desarrollo de Taylor es una técnica que representa una función como un polinomio (serie de potencias) a partir del valor de la función y todos sus coeficientes de derivación en un punto \(x_0\). El factor \(1/n!\) se incluye para que, al derivar el lado derecho \(n\) veces y sustituir \(x = x_0\), se extraiga exactamente \(f^{(n)}(x_0)\) (porque derivar \(x^n\) \(n\) veces produce \(n!\), y hay que cancelarlo).
🟡 Lina: Comprobemos que esta fórmula es correcta. "Correcta" significa que al sustituir \(x = 0\) en el lado derecho se obtiene \(f(0)\), al derivar una vez y sustituir \(x = 0\) se obtiene \(f'(0)\)... al derivar \(n\) veces y sustituir \(x = 0\) se obtiene \(f^{(n)}(0)\). Vamos a hacerlo.
Primero, derivemos el lado derecho término a término respecto a \(x\). \(f(0)\) es constante, así que su derivada es \(0\). La derivada de \(f'(0)\,x\) es \(f'(0)\). La derivada de \(\dfrac{f''(0)}{2!}\,x^2\) es \(\dfrac{f''(0)}{2!} \cdot 2x = f''(0)\,x\). La derivada de \(\dfrac{f'''(0)}{3!}\,x^3\) es \(\dfrac{f'''(0)}{3!} \cdot 3x^2 = \dfrac{f'''(0)}{2!}\,x^2\). Es decir,
Todo se desplaza un paso y mantiene la misma forma. Si aquí sustituimos \(x = 0\), todos los términos que contienen \(x\) desaparecen y queda solo \(f'(0)\) — que efectivamente coincide con \(f'(0)\) del lado izquierdo. Derivando una vez más y sustituyendo \(x = 0\) se extrae \(f''(0)\). Repitiendo esto se confirma que al derivar \(n\) veces y sustituir \(x = 0\), se obtiene \(f^{(n)}(0)\).
🔵 Kai: Ya veo... cada vez que derivas se desplaza un paso, y al sustituir \(x = 0\) queda exactamente el coeficiente de derivación de ese orden. El \(n!\) absorbe bien el \(n\), por eso funciona. ¡Es un mecanismo genial!
Desarrollo de Maclaurin de tres funciones¶
🟡 Lina: Para derivar la fórmula de Euler, desarrollamos las tres funciones \(\cos x\), \(\sin x\), \(e^x\).
Desarrollo de \(\cos x\):
Evaluando las derivadas sucesivas de \(\cos x\) en \(x = 0\):
Tabla A.1: Derivadas sucesivas de cos x y sus valores en x=0
| \(n\) | \(f^{(n)}(x)\) | \(f^{(n)}(0)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(\cos x\) | \(1\) |
| 1 | \(-\sin x\) | \(0\) |
| 2 | \(-\cos x\) | \(-1\) |
| 3 | \(\sin x\) | \(0\) |
| 4 | \(\cos x\) | \(1\) |
El patrón se repite cada 4. Los términos de orden impar son \(0\), así que:
Desarrollo de \(\sin x\):
De forma similar,
Tabla A.2: Derivadas sucesivas de sin x y sus valores en x=0
| \(n\) | \(f^{(n)}(x)\) | \(f^{(n)}(0)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(\sin x\) | \(0\) |
| 1 | \(\cos x\) | \(1\) |
| 2 | \(-\sin x\) | \(0\) |
| 3 | \(-\cos x\) | \(-1\) |
| 4 | \(\sin x\) | \(0\) |
Los términos de orden par son \(0\), así que:
🔵 Kai: \(\cos\) solo tiene potencias pares, \(\sin\) solo impares. Corresponde al período 4 de las derivadas.
Desarrollo de \(e^x\):
🟡 Lina: La función exponencial \(e^x\) es especial porque "por muchas veces que la derives, sigue siendo ella misma". Como \((e^x)' = e^x\), para todos los órdenes \(f^{(n)}(0) = e^0 = 1\).
🔵 Kai: El desarrollo de \(e^x\) es muy limpio. Sobreviven todos los términos.
⚪ Mei: \(\cos x\) solo pares, \(\sin x\) solo impares, \(e^x\) todos. Comparando los tres, parece que hay alguna relación...
🟡 Lina: Perspicaz. Precisamente de ahí nace la fórmula de Euler.
✅ Verificación de comprensión: En los desarrollos de Maclaurin de \(\cos x\), \(\sin x\) y \(e^x\), ¿qué órdenes de términos sobreviven en cada caso?
Respuesta
En \(\cos x\) solo sobreviven los términos de orden par (\(1, x^2, x^4, \ldots\)), en \(\sin x\) solo los de orden impar (\(x, x^3, x^5, \ldots\)), y en \(e^x\) sobreviven todos los órdenes. Que en \(\cos x\) y \(\sin x\) desaparezcan ciertos términos se debe a que, por la periodicidad 4 de las derivadas, hay órdenes cuyo valor en \(x=0\) es 0.
✅ Verificación de comprensión: Si en el desarrollo de Maclaurin de \(e^x\) sustituimos \(x = 1\), ¿qué se obtiene?
Respuesta
\(e^1 = e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + \cdots \approx 2.718\ldots\). El valor del número de Napier \(e\) se expresa como una serie infinita.
La fórmula de Euler — La verdadera naturaleza de \(e^{i\theta}\)¶
🟡 Lina: Llegamos al clímax de este apéndice. Vamos a sustituir \(i\theta\) en lugar de \(x\) en la ecuación (A.25). \(\theta\) es un número real.
🔵 Kai: Pero \(x\) era real, ¿se puede meter un número imaginario?
🟡 Lina: Buena pregunta. De hecho, está demostrado matemáticamente que el desarrollo de Taylor de \(e^x\), \(\sum x^n/n!\), converge a un valor definido incluso cuando \(x\) es complejo. El punto clave para entenderlo intuitivamente es este: el numerador \(|x|^n\) es solo "multiplicar el mismo número \(|x|\) \(n\) veces", pero el denominador \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n\) tiene "cada vez un nuevo factor más grande multiplicándose". Así que cuando \(n\) es suficientemente grande, el crecimiento del denominador aplasta al del numerador y cada término se hace rápidamente pequeño. Veámoslo concretamente. Para \(|x| = 10\), el \(n\)-ésimo término es \(10^n/n!\), pero \(10! = 3628800\), \(20! \approx 2.4 \times 10^{18}\) — el denominador crece explosivamente. El término con \(n = 20\) es \(10^{20}/20! \approx 41\), que aún tiene cierto tamaño, pero el término con \(n = 30\) es \(10^{30}/30! \approx 0.004\), haciéndose rápidamente pequeño. Para \(n\) aún mayores se hace prácticamente cero, así que la serie en su conjunto converge a un valor finito. La demostración rigurosa se estudia en análisis matemático universitario, pero puedes confiar en el resultado y usarlo.
🔵 Kai: Entiendo que converge, pero en primer lugar, ¿qué es "\(e\) elevado a \(i\theta\)"? Cuando era real tenía la imagen de "multiplicar \(e\) muchas veces", pero multiplicar un número imaginario de veces no tiene sentido, ¿no?
🟡 Lina: Precisamente ese es el punto. La \(e^x\) real se caracterizaba por la propiedad "por muchas veces que la derives sigue siendo ella misma", pero cuando \(x\) es imaginario es difícil dar un significado directo a la operación "elevar \(e\) a la potencia \(i\theta\)". Así que cambiamos de perspectiva.
Primero confirmemos que, para \(x\) real, el valor de la serie \(\sum x^n/n!\) coincide exactamente con la "\(e^x\) que ya conocemos" — por ejemplo, sustituyendo \(x = 1\) sale \(e \approx 2.718\ldots\), y con \(x = 2\) sale \(e^2 \approx 7.389\ldots\). Es decir, en el ámbito real, la serie es simplemente "otra forma de escribir" \(e^x\).
Pero la serie se puede calcular también cuando se introduce un número complejo en \(x\). Entonces, adoptamos directamente la serie \(\sum x^n/n!\) que funcionaba para los reales como la definición de \(e^{i\theta}\). Es decir, "qué es \(e^{i\theta}\)" se define por esta serie. Es la imagen de "extender" al dominio complejo una fórmula que da la respuesta correcta para los reales.
⚪ Mei: "Si se puede calcular, se adopta como definición" — la misma idea que cuando introdujimos la unidad imaginaria \(i\). Con \(i\) fue "suponemos que existe un número que satisface \(i^2 = -1\)", y ahora es "llamamos \(e^{i\theta}\) al valor de esta serie".
🟡 Lina: Exacto. Entonces escribámoslo explícitamente. La definición es
Las potencias de \(i\) son cíclicas con período 4:
🔵 Kai: Se repite cada 4.
🟡 Lina: Así es. Usando esto, desarrollamos la ecuación (A.26):
Aquí usamos \((i\theta)^n = i^n \theta^n\). Esto es simplemente aplicar la ley "la potencia de un producto es el producto de las potencias" — \((ab)^n = a^n b^n\), es decir, multiplicar \(ab\) \(n\) veces equivale al producto de multiplicar \(a\) \(n\) veces por multiplicar \(b\) \(n\) veces — con \(a = i\), \(b = \theta\). Como la multiplicación de complejos sigue las mismas leyes conmutativa y asociativa que los reales, esta ley se aplica directamente. Usando el patrón cíclico de las potencias de \(i\): \((i\theta)^2 = i^2 \theta^2 = -\theta^2\), \((i\theta)^3 = i^3 \theta^3 = -i\theta^3\), \((i\theta)^4 = i^4 \theta^4 = \theta^4\), ... Sustituyendo,
🔵 Kai: Los signos cambian como \(+, +, -, -, +, +, \ldots\) de dos en dos, y eso es por el patrón cíclico de \(i\).
🟡 Lina: Exacto. Ahora separemos la parte real y la parte imaginaria. Los términos sin \(i\) (los de \(n = 0, 2, 4, \ldots\)) son la parte real, y los términos con \(i\) (los de \(n = 1, 3, 5, \ldots\)) con la \(i\) factorizada son la parte imaginaria.
🔵 Kai: ¡Ah! ¡La parte real es \(\cos\theta\) de la ecuación (A.23), y la parte imaginaria es \(\sin\theta\) de la ecuación (A.24)!
🟡 Lina: Exacto. Esta es la fórmula de Euler:
⚪ Mei: Al introducir \(i\) en la serie "completa" de \(e^x\), los términos pares se asignaron automáticamente a \(\cos\) y los impares a \(\sin\)... magistral.
🟡 Lina: ¿Entiendes por qué ocurre esto? La serie de \(e^x\) contiene todos los órdenes, así que el patrón de potencias de \(i\) (\(1, i, -1, -i, \ldots\)) distribuye los términos pares a la parte real y los impares a la parte imaginaria. Si recoges solo los pares obtienes \(\cos\theta\), solo los impares \(\sin\theta\) — por eso la función exponencial y las trigonométricas están conectadas.
🔵 Kai: Las potencias de \(i\) actúan como "clasificadoras". \(i^2 = -1\) vuelve a la parte real, \(i^3 = -i\) vuelve a la parte imaginaria... el ciclo de 4 realiza automáticamente la clasificación par/impar.
⚪ Mei: Es decir, precisamente porque \(e^x\) es la serie "completa", cuando introduces \(i\) salen naturalmente tanto \(\cos\) como \(\sin\).
Fig. A.1: Fórmula de Euler y circunferencia unidad. \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) representa un punto sobre la circunferencia unidad del plano complejo. Valores especiales: \(e^{i\cdot 0}=1\), \(e^{i\pi/2}=i\), \(e^{i\pi}=-1\) (identidad de Euler), \(e^{i3\pi/2}=-i\). Al variar \(\theta\), el punto rota sobre la circunferencia unidad.
🟡 Lina: Mira la Fig. A.1「Fórmula de Euler y circunferencia unidad」. El módulo de \(e^{i\theta}\) es \(|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1\), así que \(e^{i\theta}\) siempre está a distancia 1 del origen — es decir, representa un punto sobre la circunferencia unidad (circunferencia de radio 1). Comprueba los valores especiales de la figura. Con \(\theta = 0\), \(e^{i \cdot 0} = 1\) (dirección positiva del eje real); con \(\theta = \pi/2\), \(e^{i\pi/2} = i\) (dirección positiva del eje imaginario); con \(\theta = \pi\), \(e^{i\pi} = -1\) (dirección negativa del eje real); con \(\theta = 3\pi/2\), \(e^{i3\pi/2} = -i\) (dirección negativa del eje imaginario) — al variar \(\theta\), el punto gira sobre la circunferencia unidad.
🔵 Kai: Así que el "multiplicar por \(i\) es rotar \(90°\)" de antes se ve como avanzar \(\pi/2\) cada vez sobre la circunferencia unidad.
🟡 Lina: El matemático del siglo XVIII Euler descubrió esta fórmula, considerada una de las relaciones más bellas de las matemáticas. Pero para nosotros lo importante no es la belleza, sino la utilidad práctica. En mecánica cuántica esta fórmula aparece literalmente en cada página.
Caso especial de la fórmula de Euler¶
🟡 Lina: Sustituye \(\theta = \pi\).
Es decir,
🔵 Kai: ¡\(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\) en una sola ecuación...!
🟡 Lina: Esto se llama la identidad de Euler, y relaciona cinco constantes importantes de las matemáticas en una sola expresión. Sin embargo, es solo un caso particular de la ecuación (A.28), así que la verdaderamente importante es la ecuación (A.28).
Reescritura de la forma polar¶
🟡 Lina: Usando la fórmula de Euler, la forma polar (A.8) se puede escribir de forma muy compacta.
⚪ Mei: ¡La forma polar se escribe con solo 3 caracteres: \(re^{i\theta}\)! Así la multiplicación también se puede escribir de forma compacta.
🟡 Lina: Exacto. De hecho, la ley de exponentes que se cumple para reales \(e^A \cdot e^B = e^{A+B}\) se puede usar tal cual cuando los exponentes son imaginarios puros. Esto se puede demostrar directamente desde la definición como serie, pero aquí solo usaremos el resultado. Así que,
🔵 Kai: ¡Lo que tanto costó en la ecuación (A.11) se resuelve con una sola aplicación de la ley de exponentes!
🟡 Lina: Lo que demostramos con esfuerzo usando las fórmulas de adición trigonométricas en la ecuación (A.11), sale en un instante solo con la ley de exponentes. Ese es el poder de la fórmula de Euler.
🔵 Kai: Pero, ¿por qué las leyes de los reales funcionan tal cual para los imaginarios? Si "\(e\) elevado a un imaginario" se definió mediante la serie, ¿por qué las leyes se cumplen automáticamente? Es extraño.
🟡 Lina: Buena pregunta. Intuitivamente, si multiplicas término a término las series de \(e^{i\theta_1}\) y \(e^{i\theta_2}\) y reorganizas, obtienes exactamente la serie de \(e^{i(\theta_1+\theta_2)}\). De hecho, el cálculo que hicimos en la ecuación (A.11) usando las fórmulas de adición es simplemente lo mismo reformulado en lenguaje de series. Es decir, la ley de exponentes y las fórmulas de adición son expresiones diferentes de lo mismo. Omito la demostración rigurosa, pero está garantizado que se cumple sin contradicciones.
⚪ Mei: La ley de exponentes y las fórmulas de adición son dos caras de la misma moneda... la fórmula de Euler es el puente entre ambas.
🔵 Kai: Que el argumento se sume era la propia ley de exponentes.
✅ Verificación de comprensión: Calcula el valor de \(e^{i\pi/2}\) usando la fórmula de Euler. Además, ¿a qué punto del plano complejo corresponde?
Respuesta
\(e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = 0 + i \cdot 1 = i\). En el plano complejo es la dirección positiva del eje imaginario, el punto \((0, 1)\). Es decir, \(i\) es el número complejo con "módulo 1, argumento \(\pi/2\)".
📝 Ejercicios:
- Cálculos usando la fórmula de Euler → Problema B-9. Forma polar y reescritura con la fórmula de Euler
Aplicaciones de la fórmula de Euler — Puente hacia la mecánica cuántica¶
🟡 Lina: Para terminar, vamos a organizar algunas relaciones importantes que se derivan de la fórmula de Euler. Las usaremos repetidamente a partir de Cap. 4.
Representación de Euler de las funciones trigonométricas¶
🟡 Lina: De la fórmula de Euler,
Sustituyendo \(\theta\) por \(-\theta\), como \(\cos\) es función par (\(\cos(-\theta) = \cos\theta\), gráfica simétrica respecto al eje \(y\)) y \(\sin\) es función impar (\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\), simétrica respecto al origen):
Sumando las dos:
Restando:
🔵 Kai: Sumando sale \(\cos\), restando sale \(\sin\)... ¡es igual a cuando extraíamos la parte real e imaginaria con el conjugado complejo!
⚪ Mei: Tiene la misma estructura que las ecuaciones (A.13) y (A.14) para extraer la parte real e imaginaria. Y \(e^{-i\theta}\) comparado con \(e^{i\theta}\) tiene el signo de la parte imaginaria invertido.
🟡 Lina: Sí, ¿te diste cuenta? De hecho, si tomas el conjugado complejo de \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), el signo de la parte imaginaria se invierte y da \(\cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}\). Es decir,
Esto es la versión "fórmula de Euler" de lo que vimos en la sección del conjugado complejo: "el argumento cambia de signo". Es simplemente el resultado de aplicar la definición (A.12) a la forma cartesiana \(\cos\theta + i\sin\theta\).
⚪ Mei: Ya veo, es una relación que surge naturalmente de la definición del conjugado complejo. Cuando el mismo resultado aparece desde diferentes ángulos, se profundiza la comprensión.
Módulo de \(e^{i\theta}\)¶
🟡 Lina: Calcula el módulo de \(e^{i\theta}\).
🔵 Kai: \(e^{i\theta}\) siempre tiene módulo 1. En el plano complejo se mueve sobre la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.
🟡 Lina: Exacto. Aunque \(\theta\) cambie, el tamaño no cambia, solo cambia la dirección. \(e^{i\theta}\) representa un factor de "rotación pura". En mecánica cuántica, lo llamamos factor de fase (phase factor).
🔵 Kai: ¿Factor de fase?
🟡 Lina: Significa "un factor que no cambia el tamaño, solo cambia el ángulo (la fase)". A partir de Cap. 4 habrá muchas situaciones donde \(e^{i\theta}\) multiplica a la amplitud de probabilidad, pero como la probabilidad es \(|\phi|^2\), si solo cambia el factor de fase, la probabilidad no cambia. Sin embargo, cuando se suman dos amplitudes, la diferencia de fase sí afecta. Este es el núcleo matemático del fenómeno de interferencia en mecánica cuántica.
⚪ Mei: No afecta a la probabilidad por sí solo, pero al sumar sí importa... El mecanismo lo veremos en Cap. 4.
🟡 Lina: Así es. Por ahora solo hemos preparado las herramientas. La forma de usarlas la experimentarás en el texto principal.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuánto vale el módulo del factor de fase \(e^{i\theta}\)? Además, ¿en qué situación se vuelve importante el factor de fase en mecánica cuántica?
Respuesta
\(|e^{i\theta}| = 1\), siempre es 1. En mecánica cuántica, la probabilidad se calcula como \(|\phi|^2\), así que un cambio solo en el factor de fase no altera la probabilidad. Sin embargo, cuando se suman dos amplitudes (interferencia), la diferencia de fase sí tiene efecto. Este es el núcleo matemático del fenómeno de interferencia en mecánica cuántica.
Resumen del conjugado complejo y la forma polar¶
🟡 Lina: Para terminar, resumo los resultados de este apéndice en una tabla.
Tabla A.3: Correspondencia entre la forma cartesiana y polar de números complejos
| Expresión | Forma cartesiana | Forma polar |
|---|---|---|
| Número complejo \(z\) | \(a + bi\) | \(re^{i\theta}\) |
| Conjugado complejo \(z^*\) | \(a - bi\) | \(re^{-i\theta}\) |
| Módulo al cuadrado \(\lvert z \rvert^2\) | \(a^2 + b^2\) | \(r^2\) |
| Parte real \(\operatorname{Re}(z)\) | \(a\) | \(r\cos\theta\) |
| Parte imaginaria \(\operatorname{Im}(z)\) | \(b\) | \(r\sin\theta\) |
🔵 Kai: ¿Cuándo uso la forma cartesiana y cuándo la polar?
🟡 Lina: Depende de la situación. La suma y la resta son más fáciles en forma cartesiana, la multiplicación y la división en forma polar. En mecánica cuántica irás y vendrás entre ambas, así que familiarízate con las dos.
✅ Verificación de comprensión: Simplifica la siguiente expresión: \(|3e^{i\pi/6}|^2\).
Respuesta
\(|3e^{i\pi/6}|^2 = 3^2 \cdot |e^{i\pi/6}|^2 = 9 \times 1 = 9\). Como el módulo del factor de fase \(e^{i\pi/6}\) es 1, el módulo al cuadrado es solo la amplitud al cuadrado \(r^2 = 9\).
📝 Ejercicios:
- Problemas de aplicación de la fórmula de Euler → Problema M-4. Representación exponencial de \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\)
Resumen de este apéndice¶
🟡 Lina: Repasemos lo que hemos aprendido en este apéndice.
- La unidad imaginaria \(i\) satisface \(i^2 = -1\). Un número complejo \(z = a + bi\) tiene parte real \(a\) y parte imaginaria \(b\)
- Las cuatro operaciones se realizan solo con \(i^2 = -1\) y las reglas algebraicas normales. La división se hace multiplicando por el conjugado del denominador para hacerlo real
- En el plano complejo los números complejos se representan como puntos (flechas). Con el módulo \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) y el argumento \(\theta\) se escribe la forma polar \(z = re^{i\theta}\)
- Significado geométrico de la multiplicación: los módulos se multiplican y los argumentos se suman → rotación y escalamiento
- El conjugado complejo \(z^* = a - bi = re^{-i\theta}\). \(zz^* = |z|^2\) es la relación más frecuente en mecánica cuántica
- La fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) se deriva del desarrollo de Taylor y conecta la función exponencial con las trigonométricas
- El factor de fase \(e^{i\theta}\) es un número complejo de módulo 1 que representa una rotación que "no cambia el tamaño, solo la dirección"
🔵 Kai: Sinceramente, al principio pensaba "¿para qué sirven los imaginarios?", pero al llegar a la fórmula de Euler empiezo a entender por qué son necesarios. Pero lo de usar \(e^{i\theta}\) como "factor de fase" todavía no me queda claro... "el módulo es 1 así que no afecta a la probabilidad" pero "al sumar sí importa", ¿en qué cálculo concreto se nota la diferencia?
🟡 Lina: Te doy solo un ejemplo anticipatorio. \(e^{i \cdot 0} = 1\) y \(e^{i\pi} = -1\) ambos tienen módulo 1, pero si los sumas: \(1 + (-1) = 0\), se cancelan completamente. En cambio \(e^{i \cdot 0} + e^{i \cdot 0} = 2\), se refuerzan. Según si las fases están alineadas o son opuestas, el resultado de la suma cambia completamente. En mecánica cuántica esta "suma" ocurre con las amplitudes de probabilidad — los detalles los verás en Cap. 4.
🔵 Kai: Aunque el módulo es el mismo 1, al sumar puede dar 0 o 2... La fase es invisible pero decisivamente importante. Pero, ¿por qué la naturaleza adopta la regla de "sumar primero y luego elevar al cuadrado"?
🟡 Lina: Pregunta profunda. De hecho, eso mismo es uno de los misterios fundamentales de la mecánica cuántica, y "por qué las amplitudes de probabilidad son complejas" sigue siendo objeto de debate. En este material partimos del hecho experimental de que "la naturaleza es así", pero guarda esa pregunta en un rincón de tu mente.
🔵 Kai: Es interesante que existan preguntas sin respuesta. "¿Por qué números complejos?" — quizás solo con reales falta algo, o algo así. Tengo ganas de seguir adelante.
🟡 Lina: Buena intuición. De hecho, investigaciones recientes están mostrando tanto teórica como experimentalmente que "solo con números reales no se pueden reproducir todos los resultados experimentales de la mecánica cuántica". Pero dejemos eso para más adelante. Volviendo a las herramientas, en particular \(|z|^2 = zz^*\) y \(e^{i\theta}\) son tan frecuentes que pueden considerarse el "idioma común" de la mecánica cuántica. Practica haciendo cálculos con tus propias manos para familiarizarte.
Avance del siguiente capítulo¶
🟡 Lina: En este apéndice organizamos el álgebra de números complejos y la fórmula de Euler. En el siguiente Apéndice B trataremos otro pilar matemático de la mecánica cuántica: los fundamentos de álgebra lineal y espacios de Hilbert. Conceptos como vectores, matrices, valores propios y producto interno conectan directamente con la discusión del espín y los vectores de estado a partir de Cap. 5.
🔵 Kai: Vectores los vi en el instituto, pero ¿qué es un espacio de Hilbert?
🟡 Lina: A grandes rasgos, es un "espacio vectorial en el que está definido un producto interno". Estrictamente hay algunas condiciones más, pero eso lo explicaré en Apéndice B. Como entra el producto interno con números complejos, el conocimiento de este apéndice es un prerrequisito. ¡Espéralo con ganas!
🔵 Kai: Producto interno con complejos... ¿es diferente del producto interno normal? Me intriga, pero esperaré al próximo apéndice.
Referencias¶
- 広江克彦『趣味で量子力学』（2014）— 複素数の基礎と Euler の公式の丁寧な導出。本付録の四則演算・複素共役・Taylor 展開の説明はこの書籍の構成を参考にした
- 清水明『新版 量子論の基礎 — その本質のやさしい理解のために』（サイエンス社、2004）— 量子力学における複素数の役割についての物理的動機づけ
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, Ch. 22 (Algebra) — 複素数の図形的意味と物理への応用
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2021) — 2 状態系の記述における複素数の本質的役割
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