Prólogo Soluciones¶
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Índice
Básico
- B-1. Análisis dimensional en unidades naturales
- B-2. Producto escalar de cuadrivectores
- B-3. Umbral de producción de partículas
- B-4. Operación matricial del boost de Lorentz
- B-5. Cinemática de la creación de pares electrón-positrón
- B-6. Práctica de contracción de índices
- B-7. Sentido de escala
Intermedio
- M-1. Principio de incertidumbre y cambio en el número de partículas
- M-2. Vibración de una cuerda y "partículas"
- M-3. Falsabilidad y concordancia de precisión
- M-4. Análisis dimensional de la escala de Planck
Avanzado
Básico¶
B-1. Análisis dimensional en unidades naturales¶
Problema:
En la teoría cuántica de campos se utiliza frecuentemente el sistema de unidades naturales \(\hbar = c = 1\). En este sistema de unidades, la dimensión de todas las magnitudes físicas puede expresarse como "potencias de masa" \([\text{mass}]^n\). Determina la dimensión de masa \(n\) para cada una de las siguientes magnitudes físicas.
(a) Energía \(E\)
(b) Longitud \(\ell\)
(c) Tiempo \(t\)
(d) Momento \(p\)
(e) Acción \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) (donde \(d^4x = dt\,d^3x\))
Estrategia: Con \(\hbar = c = 1\) se unifican las dimensiones de todas las magnitudes físicas como \([\text{mass}]^n\). \([\hbar] = [E][t] = 1 \Rightarrow [t] = [E]^{-1}\), \(c = [\ell]/[t] = 1 \Rightarrow [\ell] = [t]\). La referencia es \([E] = [\text{mass}]\).
| Magnitud | Dimensión de masa \(n\) | Razón |
|---|---|---|
| (a) \(E\) | \(+1\) | \([E] = [\text{mass}]\) (por definición) |
| (b) \(\ell\) | \(-1\) | \([\ell] = [t] = [E]^{-1}\) |
| (c) \(t\) | \(-1\) | De \([\hbar] = [E][t] = 1\) |
| (d) \(p\) | \(+1\) | \([p] = [E]/c = [E] \cdot [\text{mass}]^0 = [\text{mass}]\) |
| (e) \(S\) | \(0\) | \([S] = [\hbar] = 1\), por lo tanto adimensional |
Verificación: \([d^4x] = [t][\ell]^3 = [\text{mass}]^{-4}\), por lo que se requiere \([\mathcal{L}] = [\text{mass}]^4\) (se usa en A2).
B-2. Producto escalar de cuadrivectores¶
Problema:
Sea la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\) (convención "mostly minus"). Para el cuadrimomento \(p^\mu = (E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\), calcula lo siguiente.
(a) Escribe cada componente de \(p_\mu = \eta_{\mu\nu}\,p^\nu\).
(b) Expresa el invariante \(p^\mu p_\mu\) en términos de \(E\) y \(|\mathbf{p}|\).
(c) Verifica que la condición de capa de masa (on-shell condition) \(p^\mu p_\mu = m^2\) (en unidades naturales) corresponde a \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) en unidades convencionales.
\(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) (mostly minus).
(a) \(p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\nu\):
\(p_0 = +E, \quad p_1 = -p_x, \quad p_2 = -p_y, \quad p_3 = -p_z\)
(b) Invariante:
\(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = (p^0)^2 - |\mathbf{p}|^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2\)
(c) Restauración al sistema de unidades convencional:
En unidades naturales \(p^\mu p_\mu = m^2\). Introduciendo las dimensiones con \([E] \to [E]/c\) (igualando las componentes dividiendo por c) y \([m] \to mc^2\):
\(\frac{E^2}{c^2} - |\mathbf{p}|^2 = m^2 c^2 \quad\Rightarrow\quad E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\)
Esta es la relación relativista energía-momento habitual. \(\boxed{E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4}\)
Verificación: En reposo \(\mathbf{p} = 0\) se obtiene \(E = mc^2\). Para \(m = 0\) (fotón) se obtiene \(E = |\mathbf{p}|c\). Ambos límites son consistentes con los resultados conocidos.
B-3. Umbral de producción de partículas¶
Problema:
En unidades naturales (\(c = 1\)), consideramos el caso en que una partícula incidente (masa \(m\), energía cinética \(T\)) colisiona con una partícula blanco en reposo (masa \(M\)) para producir partículas con masa total \(m_1 + m_2 + \cdots + m_n\).
(a) Cuando la energía total de la partícula incidente se escribe como \(E = m + T\), expresa la masa invariante del sistema centro de masa \(\sqrt{s}\) en términos de \(E\), \(m\) y \(M\). Donde
(b) Considera la reacción mínima \(p + p \to p + p + H\) para producir un bosón de Higgs (masa \(m_H \approx 125\;\mathrm{GeV}\)) haciendo incidir un haz de protones sobre un protón blanco en reposo (masa \(m_p \approx 0.938\;\mathrm{GeV}\)). A partir de la condición de umbral \(\sqrt{s} = 2m_p + m_H\), determina la energía cinética mínima \(T_{\mathrm{thr}}\) necesaria para el protón incidente (valor numérico en unidades de GeV).
(a) Masa invariante \(\sqrt{s}\):
\(p_1^\mu = (E, \mathbf{p}_1), \quad p_2^\mu = (M, \mathbf{0})\) (blanco en reposo)
\(s = (p_1 + p_2)^\mu(p_1 + p_2)_\mu = (E + M)^2 - |\mathbf{p}_1|^2\)
Sustituyendo \(|\mathbf{p}_1|^2 = E^2 - m^2\):
\(s = (E + M)^2 - (E^2 - m^2) = E^2 + 2EM + M^2 - E^2 + m^2 = m^2 + M^2 + 2EM\)
\(\boxed{\sqrt{s} = \sqrt{m^2 + M^2 + 2EM}}\)
(b) Umbral de producción del Higgs:
Para \(p + p \to p + p + H\), el umbral es \(\sqrt{s} = 2m_p + m_H\). Sustituyendo \(m = M = m_p\), \(E = m_p + T\):
\((2m_p + m_H)^2 = 2m_p^2 + 2(m_p + T)m_p = 2m_p^2 + 2m_p^2 + 2m_p T = 4m_p^2 + 2m_p T\)
\(T = \frac{(2m_p + m_H)^2 - 4m_p^2}{2m_p} = \frac{4m_p^2 + 4m_p m_H + m_H^2 - 4m_p^2}{2m_p} = 2m_H + \frac{m_H^2}{2m_p}\)
Sustitución numérica (\(m_p = 0.938\ \mathrm{GeV}\), \(m_H = 125\ \mathrm{GeV}\)):
\(T_{\mathrm{thr}} = 2(125) + \frac{125^2}{2 \times 0.938} = 250 + \frac{15625}{1.876} \approx 250 + 8329 \approx 8579\ \mathrm{GeV}\)
\(\boxed{T_{\mathrm{thr}} \approx 8.58\ \mathrm{TeV}}\)
Verificación: Se confirma cuantitativamente el fenómeno por el cual, en colisiones asimétricas, la energía umbral es órdenes de magnitud mayor que en colisiones simétricas (sistema del centro de masa). Las colisiones del LHC a 13 TeV en el centro de masa utilizan el esquema de colisión simétrica, por lo que la misma física es posible con una energía mucho menor que los 8.58 TeV requeridos en blanco fijo para producir el Higgs (125 GeV). Esta es la ventaja de los haces en contraposición.
B-4. Operación matricial del boost de Lorentz¶
Problema:
La matriz de transformación del boost de Lorentz en la dirección \(x\) está dada por
donde \(\beta = v/c\), \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\).
(a) Calcula \(\gamma\) cuando \(\beta = 3/5\).
(b) Aplica este boost al cuadrimomento \(p^\mu = (5m,\, 3m,\, 0,\, 0)\) y obtén \(p'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, p^\nu\).
(c) Verifica mediante cálculo directo que se cumple \(p'^\mu p'_\mu = p^\mu p_\mu\) (conservación del invariante de Lorentz).
(a) Cálculo de \(\gamma\):
\(\beta = 3/5, \quad \beta^2 = 9/25, \quad 1 - \beta^2 = 16/25\)
\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{16/25}} = \frac{5}{4}\)
\(\boxed{\gamma = 5/4}\)
(b) Cuadrimomento después del boost:
\(\gamma = 5/4, \quad \gamma\beta = (5/4)(3/5) = 3/4\)
Actuando sobre \(p^\mu = (5m, 3m, 0, 0)\):
\(p'^0 = \gamma p^0 - \gamma\beta p^1 = (5/4)(5m) - (3/4)(3m) = 25m/4 - 9m/4 = 16m/4 = 4m\)
\(p'^1 = -\gamma\beta p^0 + \gamma p^1 = -(3/4)(5m) + (5/4)(3m) = -15m/4 + 15m/4 = 0\)
\(p'^2 = 0, \quad p'^3 = 0\)
\(\boxed{p'^\mu = (4m, 0, 0, 0)}\)
(c) Conservación del invariante de Lorentz:
\(p^\mu p_\mu = (5m)^2 - (3m)^2 - 0 - 0 = 25m^2 - 9m^2 = 16m^2\)
\(p'^\mu p'_\mu = (4m)^2 - 0 - 0 - 0 = 16m^2\)
Ambos coinciden: \(\boxed{p^\mu p_\mu = p'^\mu p'_\mu = 16m^2}\).
Significado físico: \(p'^\mu = (4m, 0, 0, 0)\) es el cuadrimomento en el sistema en reposo. Es decir, este boost corresponde a la transformación al sistema en reposo de la partícula (la velocidad de la partícula es \(v = p^1/p^0 \cdot c = 3c/5\), igual al boost aplicado). La masa en reposo es \(4m\), y \(m_{\mathrm{rest}}^2 = 16m^2\) coincide con el invariante.
B-5. Cinemática de la creación de pares electrón-positrón¶
Problema:
Considera la reacción \(\gamma + N \to N + e^- + e^+\), en la que un fotón (\(m_\gamma = 0\)) produce un par electrón-positrón (\(e^-e^+\)) en la proximidad de un núcleo atómico en reposo (masa \(M \gg m_e\)).
(a) Siendo \(E_\gamma\) la energía del fotón, expresa la masa invariante \(\sqrt{s}\) del sistema en función de \(E_\gamma\) y \(M\).
(b) A partir de la condición de umbral para la creación de pares \(\sqrt{s} = M + 2m_e\), determina la energía mínima del fotón \(E_\gamma^{\min}\) necesaria. Simplifica la respuesta usando la aproximación \(M \gg m_e\).
(c) Con \(m_e = 0.511\;\mathrm{MeV}\), calcula el valor numérico de \(E_\gamma^{\min}\) en unidades de MeV (en el límite \(M \to \infty\)).
(a) Masa invariante:
Fotón \(k^\mu = (E_\gamma, E_\gamma, 0, 0)\) (masa cero), núcleo \(P_N^\mu = (M, \mathbf{0})\).
\(s = (k + P_N)^\mu(k + P_N)_\mu = (E_\gamma + M)^2 - E_\gamma^2\)
Expandiendo: \(E_\gamma^2 + 2E_\gamma M + M^2 - E_\gamma^2 = 2E_\gamma M + M^2\)
\(\boxed{\sqrt{s} = \sqrt{M^2 + 2E_\gamma M}}\)
(b) Condición de umbral \(\sqrt{s} = M + 2m_e\):
\(M^2 + 2E_\gamma M = (M + 2m_e)^2 = M^2 + 4Mm_e + 4m_e^2\)
\(E_\gamma^{\min} = \frac{4Mm_e + 4m_e^2}{2M} = 2m_e + \frac{2m_e^2}{M}\)
Aproximación \(M \gg m_e\): \(\boxed{E_\gamma^{\min} \approx 2m_e}\)
(c) Valor numérico:
En el límite \(M \to \infty\), \(E_\gamma^{\min} = 2m_e = 2 \times 0.511 = 1.022\ \mathrm{MeV}\)
\(\boxed{E_\gamma^{\min} \approx 1.022\ \mathrm{MeV}}\)
Significado físico: El núcleo existe únicamente como "compañero de retroceso" para satisfacer la conservación del momento. Cuando su masa es suficientemente grande, prácticamente no se lleva energía, por lo que la creación de pares ocurre cuando la energía del fotón es exactamente igual a la energía en reposo del par electrón-positrón \(2m_e c^2\). En el vacío (sin compañero de retroceso), la creación de pares es imposible debido al requisito de conservación del momento.
B-6. Práctica de contracción de índices¶
Problema:
En el espacio-tiempo de Minkowski de 4 dimensiones, realiza las siguientes contracciones de índices.
(a) \(\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}\)
(b) \(\partial_\mu x^\mu\) (donde \(x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3)\))
(c) Escribe explícitamente \(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \phi \equiv \Box\phi\) en términos de derivadas parciales respecto a \((x^0, x^1, x^2, x^3)\) (\(\Box\) es el operador de d'Alembert).
(a) \(\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}\):
\(\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = \delta^\mu{}_\mu = 4\) (dimensión del espacio-tiempo)
\(\boxed{\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = 4}\)
(b) \(\partial_\mu x^\mu\):
\(\partial_\mu x^\mu = \partial_\mu x^\nu \cdot \delta^\mu_\nu = \delta^\mu_\mu = 4\)
O escrito explícitamente: \(\partial_0 x^0 + \partial_1 x^1 + \partial_2 x^2 + \partial_3 x^3 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\)
\(\boxed{\partial_\mu x^\mu = 4}\)
(c) Operador de d'Alembert \(\Box\phi\):
\(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu = \eta^{00}\partial_0^2 + \eta^{11}\partial_1^2 + \eta^{22}\partial_2^2 + \eta^{33}\partial_3^2 = \partial_0^2 - \partial_1^2 - \partial_2^2 - \partial_3^2\)
\(\boxed{\Box\phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^0)^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^1)^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^2)^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^3)^2}}\)
O bien \(\Box = \partial_t^2 - \nabla^2\) (unidades naturales \(c = 1\), \(x^0 = t\)).
Verificación: La ecuación de Klein-Gordon \((\Box + m^2)\phi = 0\) para una onda plana \(\phi = e^{-ip \cdot x}\) se reduce a \((-p^\mu p_\mu + m^2) = 0\), es decir, \(p^\mu p_\mu = m^2\) (condición de capa de masa).
B-7. Sentido de escala¶
Problema:
En el texto se mencionó que "la teoría cuántica de campos puede describir fenómenos que difieren en más de 40 órdenes de magnitud en escala, desde el momento magnético de un solo electrón hasta la estructura del universo entero". Estima los siguientes escalas de energía en unidades de eV y ordénalas de mayor a menor.
(a) Energía en reposo del electrón \(m_e c^2\)
(b) Energía en reposo del bosón de Higgs \(m_H c^2 \approx 125\;\mathrm{GeV}\)
(c) Energía típica de un fotón del CMB (radiación cósmica de fondo de microondas) (estimada como \(E \sim k_B T\) a partir de la temperatura \(T \approx 2.725\;\mathrm{K}\). \(k_B \approx 8.617 \times 10^{-5}\;\mathrm{eV/K}\))
(d) Energía de colisión en el centro de masa del LHC \(\sqrt{s} = 13\;\mathrm{TeV}\)
| Escala | Valor | Conversión a eV |
|---|---|---|
| (a) \(m_e c^2\) | \(0.511\ \mathrm{MeV}\) | \(5.11 \times 10^5\ \mathrm{eV}\) |
| (b) \(m_H c^2\) | \(125\ \mathrm{GeV}\) | \(1.25 \times 10^{11}\ \mathrm{eV}\) |
| (c) Fotón del CMB | \(k_B T \approx 8.617 \times 10^{-5} \times 2.725\) | \(\approx 2.35 \times 10^{-4}\ \mathrm{eV}\) |
| (d) LHC | \(13\ \mathrm{TeV}\) | \(1.3 \times 10^{13}\ \mathrm{eV}\) |
Orden de mayor a menor:
\(\boxed{\text{LHC}\ (10^{13}) > m_H\ (10^{11}) > m_e\ (10^{5.7}) > \text{CMB}\ (10^{-3.6})}\)
Rango: Con el máximo en \(10^{13}\) eV y el mínimo en \(10^{-4}\) eV, hay una diferencia de aproximadamente 17 órdenes de magnitud. Aun así, esto no alcanza los "40 órdenes de magnitud" mencionados en el texto. La diferencia de 40 órdenes se alcanza al incluir, por ejemplo, la escala de Planck (\(10^{28}\) eV, véase S4) y la constante de desintegración del neutrón (resolución energética del orden de \(10^{-25}\) eV).
Intermedio¶
M-1. Principio de incertidumbre y cambio en el número de partículas¶
Problema:
Combinando la relación de incertidumbre entre energía y tiempo aprendida en mecánica cuántica
con la equivalencia masa-energía de la relatividad especial \(E = mc^2\), discute lo siguiente.
(a) Cuando se intenta localizar una partícula de masa \(m\) en una región espacial menor que \(\Delta x\), a partir de la incertidumbre en el momento \(\Delta p \gtrsim \hbar / \Delta x\), deduce la condición para que la energía cinética de la partícula supere \(mc^2\). Expresa esta escala de longitud crítica \(\Delta x_c\) en términos de \(m\), \(\hbar\), \(c\) (indicando explícitamente la relación con la longitud de onda de Compton \(\lambda_C\)).
(b) Discute que en la región \(\Delta x < \lambda_C\), dado que la incertidumbre en la energía supera \(mc^2\), pueden generarse nuevos pares partícula-antipartícula mediante \(E = mc^2\). Explica por qué esto implica la ruptura de la "mecánica cuántica de una partícula con número de partículas fijo".
(c) Calcula numéricamente la longitud de onda de Compton del electrón \(\lambda_C = \hbar/(m_e c)\) (en unidades de fm) y verifica que es del mismo orden que el tamaño del núcleo atómico (\(\sim\) unos pocos fm). Discute que en física atómica (escala \(\sim 0.1\;\mathrm{nm}\)) se puede ignorar el cambio en el número de partículas, pero en física nuclear y de partículas elementales no es posible ignorarlo.
(a) Longitud crítica \(\Delta x_c\):
Desde el punto de vista relativista, la incertidumbre en el momento es \(\Delta p \gtrsim \hbar/\Delta x\). La incertidumbre en energía asociada es \(\Delta E \gtrsim c\Delta p \gtrsim \hbar c/\Delta x\) (régimen ultra-relativista).
Condición para que la energía supere \(mc^2\):
\(\frac{\hbar c}{\Delta x} \gtrsim mc^2 \quad\Rightarrow\quad \Delta x \lesssim \frac{\hbar}{mc}\)
El lado derecho es precisamente la longitud de onda de Compton \(\lambda_C = \hbar/(mc)\):
\(\boxed{\Delta x_c = \lambda_C = \frac{\hbar}{mc}}\)
(b) Inevitabilidad del cambio en el número de partículas:
Para \(\Delta x < \lambda_C\) se tiene \(\Delta E > mc^2\), y dentro del rango de incertidumbre energética es posible crear virtualmente pares partícula-antipartícula de masa \(m\) (una fluctuación de energía del orden de \(E = mc^2\) está permitida). Esto constituye las "fluctuaciones del vacío", donde el vacío fluctúa dinámicamente como estado fundamental del campo.
En la mecánica cuántica de una partícula (ecuación de Schrödinger), el número de partículas se trata como una constante conservada, pero en la región \(\Delta x < \lambda_C\) esta premisa se rompe y se necesita un marco teórico capaz de describir la creación y aniquilación de pares de partículas → teoría cuántica de campos.
(c) Longitud de onda de Compton del electrón:
\(\lambda_C = \frac{\hbar c}{m_e c^2} = \frac{197\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{fm}}{0.511\ \mathrm{MeV}} \approx 386\ \mathrm{fm} = 3.86 \times 10^{-13}\ \mathrm{m}\)
\(\boxed{\lambda_C \approx 386\ \mathrm{fm}}\)
Comparación y conclusiones:
- Escala atómica (\(\sim 10^5\ \mathrm{fm} = 0.1\ \mathrm{nm}\)): \(\Delta x \gg \lambda_C\), por lo que las fluctuaciones en el número de partículas son despreciables → se puede describir con la mecánica cuántica ordinaria
- Escala nuclear (\(\sim\) unos pocos fm): \(\Delta x \lesssim \lambda_C\), por lo que las fluctuaciones en el número de partículas son esenciales → se necesita la teoría cuántica de campos
Esta frontera constituye el umbral físico en el que la transición de la mecánica cuántica a la teoría cuántica de campos se vuelve inevitable.
Verificación: \(\lambda_C\) también puede interpretarse como "la escala de longitud en la que un electrón y una onda electromagnética tienen la misma energía". El hecho de que la fórmula de la dispersión Compton \(\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta)\) utilice directamente \(\lambda_C\) muestra que se trata de una cantidad conectada directamente con el experimento.
M-2. Vibración de una cuerda y "partículas"¶
Problema:
La vibración transversal \(\phi(x, t)\) de una cuerda infinitamente larga (densidad lineal \(\mu\), tensión \(T\)) obedece la ecuación de ondas
(a) Definiendo \(v = \sqrt{T/\mu}\), reescribe esta ecuación en la forma \(\Box\phi = 0\) (ecuación de d'Alembert en 1+1 dimensiones).
(b) Escribe la solución general de una cuerda de longitud \(L\) (con ambos extremos fijos) como una serie de Fourier y determina la frecuencia \(\omega_n\) de cada modo \(n\).
(c) Recordando la cuantización del oscilador armónico que aprendiste en mecánica cuántica, la energía de cada modo \(n\) es
Si se interpreta \(N_n\) como "el número de partículas presentes en el modo \(n\)", esto es precisamente el prototipo de la teoría cuántica de campos. Utilizando esta analogía, reformula en términos de la vibración de una cuerda la explicación de Lina en el texto principal de que "los modos de vibración del campo son partículas".
(a) Ecuación de d'Alembert:
\(\mu\partial_t^2\phi = T\partial_x^2\phi \quad\Rightarrow\quad \partial_t^2\phi - \frac{T}{\mu}\partial_x^2\phi = 0\)
Definiendo \(v = \sqrt{T/\mu}\):
\(\partial_t^2\phi - v^2\partial_x^2\phi = 0\)
Utilizando el operador de d'Alembert en 1+1 dimensiones \(\Box = \partial_t^2 - v^2\partial_x^2\) (sustituyendo \(c\) por \(v\)):
\(\boxed{\Box\phi = 0}\)
(b) Solución para una cuerda con extremos fijos:
A partir de las condiciones de contorno \(\phi(0,t) = \phi(L,t) = 0\), la parte espacial es de tipo \(\sin(n\pi x/L)\):
\(\phi(x,t) = \sum_{n=1}^\infty q_n(t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\)
Sustituyendo en \(\Box\phi = 0\), cada modo es un oscilador armónico:
\(\ddot{q}_n(t) + \omega_n^2 q_n(t) = 0, \qquad \omega_n = \frac{n\pi v}{L}\)
\(\boxed{\omega_n = \frac{n\pi v}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots}\)
(c) Analogía como prototipo de la teoría cuántica de campos:
Cada modo de vibración \(n\) de la cuerda es un oscilador armónico unidimensional independiente. Al cuantizar el oscilador armónico, los niveles de energía del modo \(n\)-ésimo son \(E_n = \hbar\omega_n(N_n + 1/2)\), donde \(N_n\) es «el número de cuantos de excitación presentes en ese modo».
En la teoría cuántica de campos, se establece una correspondencia uno a uno entre el campo \(\phi(x,t)\) como «cuerda» y los modos de vibración \(n\) como «momento \(\mathbf{k}\)»:
| Cuerda | Teoría cuántica de campos |
|---|---|
| Cuerda completa \(\phi(x,t)\) | Campo escalar \(\phi(x)\) |
| Modo de vibración \(n\) | Modo de momento \(\mathbf{k}\) |
| Frecuencia del modo \(\omega_n = n\pi v/L\) | $\omega_\mathbf{k} = \sqrt{ |
| Número cuántico del modo \(N_n\) | Número de partículas \(N_\mathbf{k}\) |
| Energía del modo \(\hbar\omega_n(N_n + 1/2)\) | Energía del modo \(\omega_\mathbf{k}(N_\mathbf{k} + 1/2)\) |
Correspondencia con el texto principal: La explicación de Lina de que «los modos de vibración del campo son partículas» significa precisamente que cada modo de vibración de la cuerda es un oscilador armónico, y sus cuantos de excitación (\(N_n\)) corresponden a partículas. En la teoría de cuerdas (El Desafío de la Gravedad Cuántica), se realiza una extensión audaz en la que estos modos de vibración corresponden además a «distintas especies de partículas (partículas con diferente masa y espín)».
M-3. Falsabilidad y concordancia de precisión¶
Problema:
En el texto, Lina afirma que "la teoría cuántica de campos no es una verdad sino un modelo" y cita el ejemplo de cómo el modelo gravitatorio de Newton fue obligado a ser revisado por la precesión del perihelio de Mercurio.
(a) El valor teórico QED del momento magnético anómalo del electrón \(a_e = (g-2)/2\) se calcula actualmente como una expansión en potencias de \(\alpha\) (constante de estructura fina (fine-structure constant)) de la forma
Calcula el valor numérico del término de orden más bajo \(\alpha/(2\pi)\) con 4 cifras significativas, usando \(\alpha \approx 1/137.036\).
(b) Este valor se compara con \(a_e \approx 0.00116\). Después de confirmar que solo el término de orden más bajo ya explica la mayor parte del valor experimental, argumenta en aproximadamente 200 caracteres por qué "calcular términos de orden superior y compararlos con el experimento" es importante en la metodología científica, desde el punto de vista de la falsabilidad (falsifiability).
(c) Supongamos que en el futuro el valor teórico y el valor experimental de \(a_e\) discrepan en la decimoquinta cifra decimal. ¿Significa esto que la teoría cuántica de campos (QED) está "equivocada"? Argumenta basándote en la postura de filosofía de la ciencia presentada en el texto.
(a) Valor numérico del término de orden más bajo:
\(\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{1}{2\pi \times 137.036} = \frac{1}{861.02} \approx 1.1614 \times 10^{-3}\)
\(\boxed{\alpha/(2\pi) \approx 0.001161}\) (4 cifras significativas)
Coincidencia con el valor experimental \(a_e \approx 0.001160\):
El término de orden más bajo \(0.001161\) y el valor experimental \(0.001160\) coinciden hasta \(1.16 \times 10^{-3}\) en el primer dígito significativo. Solo con este término de orden más bajo, que Schwinger (1948) calculó a mano, se reproduce más del 99.9% del valor experimental.
(b) Significado de calcular términos de orden superior (desde la perspectiva de la falsabilidad):
Aunque el término de orden más bajo ya explica la mayor parte del valor experimental, eso no confirma que "la QED es correcta". A medida que aumenta la precisión de las mediciones experimentales, las contribuciones de los términos de orden superior (\(\alpha^2\), \(\alpha^3\), …) aparecen en dígitos más profundos después del punto decimal. Si las predicciones de los términos de orden superior difieren del valor experimental, eso constituiría evidencia de que el modelo QED está omitiendo algún efecto físico desconocido (por ejemplo, contribuciones de bucles de partículas no descubiertas), y sería necesario modificar o extender el modelo. Por el contrario, si la concordancia se mantiene a todos los órdenes, la fiabilidad de la QED queda garantizada hasta ese nivel de precisión. "Se puede calcular → se puede predecir → se puede verificar → la fiabilidad del modelo aumenta o se rechaza" — es precisamente esta falsabilidad lo que hace que la QED sea ciencia y no una mera afirmación filosófica.
(c) Respuesta al escenario hipotético (discrepancia en el dígito 15):
No debe interpretarse como "está equivocada", sino como "se ha revelado el límite de aplicabilidad". Así como la mecánica de Newton sigue siendo completamente válida a escalas macroscópicas y bajas velocidades incluso después de la aparición de la relatividad y la mecánica cuántica, la QED también es válida dentro del rango de dígitos medidos. Incluso si apareciera una discrepancia en el dígito 15, eso no significaría el rechazo total de la QED, sino que "los efectos de una teoría más profunda (por ejemplo, el Modelo Estándar, y más allá las teorías de gran unificación, o incluso la gravedad cuántica) comienzan a manifestarse a ese nivel de precisión". La postura filosófico-científica del texto es que "los modelos son siempre hipótesis con un rango de validez, y a medida que aumenta la precisión, se vislumbran los peldaños hacia teorías más fundamentales"; una discrepancia en el dígito 15 sería precisamente parte de ese proceso.
M-4. Análisis dimensional de la escala de Planck¶
Problema:
Deriva la masa de Planck \(M_P\), la longitud de Planck \(\ell_P\) y el tiempo de Planck \(t_P\), construidos a partir de la constante gravitacional \(G\), la constante de Planck \(\hbar\) y la velocidad de la luz \(c\), mediante análisis dimensional.
(a) Demuestra que \(M_P = \sqrt{\hbar c / G}\) a partir del análisis dimensional de \([G]\), \([\hbar]\) y \([c]\).
(b) Expresa \(\ell_P\) y \(t_P\) en términos de \(G\), \(\hbar\) y \(c\).
(c) Usando \(G \approx 6.674 \times 10^{-11}\;\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\), \(\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\) y \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\), calcula los valores numéricos de \(M_P\), \(\ell_P\) y \(t_P\) en unidades del SI.
(d) Convierte \(M_P c^2\) a unidades de GeV y compáralo con la energía en el centro de masa del LHC de \(13\;\mathrm{TeV}\). Describe en aproximadamente 100 caracteres la relación entre la enormidad de esta escala y la afirmación del texto de que «la teoría cuántica de campos colapsa cuando se intenta incorporar la gravedad».
(a) Derivación de la masa de Planck:
Se propone \(M_P = G^a \hbar^b c^d\) y se determinan los exponentes a partir de la dimensión \([M_P] = \mathrm{kg}\).
Tabla de dimensiones:
\([G] = \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}, \quad [\hbar] = \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}, \quad [c] = \mathrm{m\,s^{-1}}\)
\([G^a \hbar^b c^d] = \mathrm{m}^{3a+2b+d}\,\mathrm{kg}^{-a+b}\,\mathrm{s}^{-2a-b-d}\)
Para obtener únicamente la dimensión de \(\mathrm{kg}\): \(3a + 2b + d = 0\), \(-a + b = 1\), \(-2a - b - d = 0\)
De la segunda ecuación: \(b = 1 + a\). Sustituyendo en la primera: \(3a + 2(1 + a) + d = 0 \Rightarrow d = -5a - 2\). Sustituyendo en la tercera: \(-2a - (1 + a) - (-5a - 2) = 0 \Rightarrow 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1/2\). Por tanto \(b = 1/2\), \(d = 1/2\).
\(\boxed{M_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}}\)
(b) Longitud de Planck y tiempo de Planck:
Mediante un procedimiento análogo (o derivando directamente a partir de relaciones dimensionales):
\(\boxed{\ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}, \qquad t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}}\)
Relaciones: \(\ell_P = c \cdot t_P\), \(\ell_P = \hbar/(M_P c)\) (longitud de onda de Compton de la masa de Planck), \(t_P = \ell_P/c\).
(c) Valores numéricos:
-
\(M_P = \sqrt{\frac{1.055 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{6.674 \times 10^{-11}}} = \sqrt{\frac{3.165 \times 10^{-26}}{6.674 \times 10^{-11}}} = \sqrt{4.74 \times 10^{-16}} \approx 2.18 \times 10^{-8}\ \mathrm{kg}\)
-
\(\ell_P = \sqrt{\frac{1.055 \times 10^{-34} \times 6.674 \times 10^{-11}}{(3.0 \times 10^8)^3}} = \sqrt{\frac{7.04 \times 10^{-45}}{2.7 \times 10^{25}}} = \sqrt{2.61 \times 10^{-70}} \approx 1.62 \times 10^{-35}\ \mathrm{m}\)
-
\(t_P = \ell_P/c = \frac{1.62 \times 10^{-35}}{3.0 \times 10^8} \approx 5.39 \times 10^{-44}\ \mathrm{s}\)
\(\boxed{M_P \approx 2.18 \times 10^{-8}\ \mathrm{kg}, \quad \ell_P \approx 1.62 \times 10^{-35}\ \mathrm{m}, \quad t_P \approx 5.39 \times 10^{-44}\ \mathrm{s}}\)
(d) Conversión a GeV y comparación con el LHC:
\(M_P c^2 = 2.18 \times 10^{-8} \times (3.0 \times 10^8)^2 = 2.18 \times 10^{-8} \times 9.0 \times 10^{16} = 1.96 \times 10^9\ \mathrm{J}\)
\(\frac{1.96 \times 10^9}{1.602 \times 10^{-10}} \approx 1.22 \times 10^{19}\ \mathrm{eV} = 1.22 \times 10^{10}\ \mathrm{GeV}\)
\(\boxed{M_P c^2 \approx 1.22 \times 10^{19}\ \mathrm{GeV} = 1.22 \times 10^{16}\ \mathrm{TeV}}\)
Cociente respecto al LHC (13 TeV):
\(\frac{M_P c^2}{\sqrt{s}_{\mathrm{LHC}}} = \frac{1.22 \times 10^{16}}{13} \approx 10^{15}\)
Discusión:
La escala de Planck supera en aproximadamente \(10^{15}\) veces la energía del LHC. Cuando se intenta incorporar la gravedad de forma ingenua en la teoría cuántica de campos, la intensidad del acoplamiento gravitatorio crece con la energía y la expansión perturbativa colapsa en torno a la escala de Planck. No existe perspectiva de alcanzar experimentalmente este régimen energético de forma directa, por lo que solo queda avanzar a partir de la autoconsistencia de la propia teoría.
Avanzado¶
A-1. Indistinguibilidad de partículas idénticas (consecuencia en la teoría cuántica de campos)¶
Problema:
En el texto, Lina afirmó que "todos los electrones son perfectamente idénticos porque son el mismo tipo de vibración del mismo campo". En la mecánica cuántica, la indistinguibilidad de partículas idénticas se impone como un axioma, pero en la teoría cuántica de campos se deriva como un teorema. A través de la siguiente discusión, revive este cambio de visión del mundo.
(a) Recuerda la mecánica cuántica (contenido aprendido en los capítulos 16–17) y describe brevemente cómo se justificaba, dentro del marco de la mecánica cuántica, que la función de onda de dos bosones idénticos debe ser simétrica bajo intercambio (señala que esto se imponía como un axioma).
(b) En la teoría cuántica de campos, los estados de dos partículas se definen mediante los operadores de creación \(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}}\) que aparecen en la expansión de Fourier del campo escalar \(\hat{\phi}(x)\):
Demuestra que, a partir de la relación de conmutación del campo bosónico \([\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}] = 0\), se cumple automáticamente que \(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = |\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1\rangle\).
(c) De manera análoga, a partir de la relación de anticonmutación de los operadores de creación fermiónicos del campo de Dirac \(\{\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}, \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\} = 0\), demuestra que el estado de dos fermiones es antisimétrico bajo intercambio, y que cuando \(\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_2\), \(s_1 = s_2\), el estado se anula (principio de exclusión de Pauli).
(d) Basándote en lo anterior, argumenta en aproximadamente 300 caracteres la afirmación "la indistinguibilidad de partículas idénticas y la relación espín-estadística no son axiomas sino consecuencias en la teoría cuántica de campos", haciendo referencia a la diferencia de visión del mundo entre la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos.
(a) Tratamiento en mecánica cuántica (axioma):
En mecánica cuántica, la función de onda de partículas idénticas (por ejemplo, 2 electrones) debe ser simétrica para bosones y antisimétrica para fermiones, como consecuencia del requisito de que "intercambiar las posiciones de las partículas 1 y 2 no produce un estado físicamente distinguible". Esto se impone manualmente a nivel de la construcción de la función de onda como el postulado de simetrización (symmetrization postulate). Es decir, en mecánica cuántica se exige axiomáticamente que, al construir la función de onda de dos partículas, se simetrice/antisimetrice como \(|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle + \epsilon |\psi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle\) (\(\epsilon = +1\) bosones, \(\epsilon = -1\) fermiones).
(b) Derivación automática de la indistinguibilidad de los bosones:
De la relación de conmutación \([\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}] = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2} - \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1} = 0\) se obtiene:
\(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2} = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\)
Actuando sobre el vacío:
\(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}|0\rangle = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}|0\rangle = |\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1\rangle\)
\(\boxed{|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = |\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1\rangle}\)
(c) Antisimetría de los fermiones y principio de exclusión de Pauli:
De la relación de anticonmutación \(\{\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}, \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\} = \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2} + \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1} = 0\) se obtiene:
\(\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2} = -\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}\)
Por lo tanto, el estado de dos fermiones:
\(|\mathbf{p}_1 s_1, \mathbf{p}_2 s_2\rangle = \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}|0\rangle = -\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}|0\rangle = -|\mathbf{p}_2 s_2, \mathbf{p}_1 s_1\rangle\)
Es antisimétrico bajo el intercambio. Además, en el caso \(\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_2\), \(s_1 = s_2\), por la relación de anticonmutación \(\{A, A\} = 2A^2 = 0 \Rightarrow A^2 = 0\):
\((\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p},s})^2|0\rangle = 0\)
\(\boxed{\text{Dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico (principio de exclusión de Pauli)}}\)
(d) Cambio de visión del mundo (aproximadamente 300 caracteres):
En mecánica cuántica se requería imponer "a mano" la simetrización/antisimetrización al construir funciones de onda de dos partículas. Este es el postulado de simetrización, y un postulado es una exigencia provisional que "se asume porque concuerda con los experimentos". En teoría cuántica de campos, las partículas no son entidades independientes sino excitaciones cuánticas del campo; los cuantos generados desde el mismo modo del mismo campo son indistinguibles desde el mismo instante de su creación. Con solo incorporar en el marco de la cuantización del campo la estructura algebraica de las relaciones de conmutación (bosones) / anticonmutación (fermiones) de los operadores de creación, la simetría, la antisimetría y el principio de exclusión de Pauli se derivan automáticamente como consecuencias. Esta transición, en la que un axioma se degrada a teorema, muestra cuantitativamente el cambio de visión del mundo desde "las partículas son la entidad fundamental" hacia "el campo es la entidad fundamental". Además, gracias al teorema de espín-estadística, qué campos se cuantizan con relaciones de conmutación y cuáles con relaciones de anticonmutación queda determinado por las propiedades de Lorentz del campo.
A-2. Análisis dimensional de la constante de acoplamiento gravitatoria y no renormalizabilidad¶
Problema:
En el texto se mencionó que «cuando se intenta incorporar la gravedad en la teoría cuántica de campos, los cálculos divergen al infinito y se vuelven incontrolables». El núcleo de este problema reside en que la constante de acoplamiento gravitatoria posee una dimensión de masa negativa. A través de la siguiente discusión, percibe el «indicio» de la no renormalizabilidad únicamente a partir del análisis dimensional.
(a) La constante de acoplamiento de la QED (la carga \(e\)) es adimensional en unidades naturales. Para verificarlo, determina la dimensión de masa de cada factor en la densidad lagrangiana de interacción de la QED
y demuestra que \([e] = [\text{mass}]^0\). Considera que en 4 dimensiones espacio-temporales \([\mathcal{L}] = [\text{mass}]^4\), el campo fermiónico \([\psi] = [\text{mass}]^{3/2}\) y el campo de gauge \([A_\mu] = [\text{mass}]^1\).
(b) La acción de Einstein-Hilbert de la relatividad general (véase Cap. 6) es
Determina la dimensión de masa de \([G]\) en unidades naturales, dado que \([S] = [\text{mass}]^0\), \([d^4x] = [\text{mass}]^{-4}\) y el escalar de Ricci \([R] = [\text{mass}]^2\). Además, obtén la dimensión de masa de la constante de acoplamiento gravitatoria \(\kappa = \sqrt{32\pi G}\).
(c) Como resultado general de la teoría cuántica de campos, cuando la dimensión de masa de una constante de acoplamiento \(g\) es \([g] = [\text{mass}]^\delta\): - \(\delta > 0\): superrenormalizable (super-renormalizable) - \(\delta = 0\): renormalizable (renormalizable) - \(\delta < 0\): no renormalizable (non-renormalizable)
(los detalles se estudiarán en Cap. 16). Clasifica la QED y la gravedad según esta clasificación.
(d) En una teoría no renormalizable, con cada orden de bucle aparecen nuevos tipos de divergencias que no pueden absorberse con un número finito de parámetros. Combinando esto con la explicación de Rina en el texto sobre cómo la teoría de cuerdas suaviza las divergencias al reemplazar «partículas puntuales» por «cuerdas con extensión finita», argumenta en aproximadamente 300 caracteres «por qué la cuantización de la gravedad requiere un marco que vaya más allá de la teoría cuántica de campos».
(a) Dimensión de la constante de acoplamiento \(e\) de QED:
Cada factor de \(\mathcal{L}_{\mathrm{int}} = -e\,\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\,A_\mu\):
- \([\bar{\psi}\psi] = [\psi]^2 = [\text{mass}]^{3}\)
- \([\gamma^\mu] = [\text{mass}]^0\) (matriz constante adimensional)
- \([A_\mu] = [\text{mass}]^1\)
Por lo tanto \([\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu] = [\text{mass}]^{3+0+1} = [\text{mass}]^4\). Como \([\mathcal{L}] = [\text{mass}]^4\):
\([e] = [\text{mass}]^{4-4} = [\text{mass}]^0\)
\(\boxed{[e] = 0 \quad(\text{adimensional})}\)
(b) Dimensión de la constante gravitacional \(G\) y \(\kappa\):
En la acción de Einstein-Hilbert \(S_{\mathrm{EH}} = \frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}\,R\), con \([d^4x] = [\text{mass}]^{-4}\), \([R] = [\text{mass}]^2\), \([\sqrt{-g}] = [\text{mass}]^0\), \([S] = 0\):
\(0 = [G]^{-1} \cdot [\text{mass}]^{-4} \cdot [\text{mass}]^2 \quad\Rightarrow\quad [G]^{-1} = [\text{mass}]^{2}\)
\(\boxed{[G] = [\text{mass}]^{-2}}\)
\(\kappa = \sqrt{32\pi G}\):
\(\boxed{[\kappa] = [G]^{1/2} = [\text{mass}]^{-1}}\)
(c) Clasificación de renormalizabilidad:
| Constante de acoplamiento | Dimensión de masa \(\delta\) | Clasificación |
|---|---|---|
| \(e\) (QED) | \(0\) | Renormalizable (renormalizable) |
| \(G\) (gravedad) | \(-2\) | No renormalizable (non-renormalizable) |
| \(\kappa\) (acoplamiento linealizado de gravedad) | \(-1\) | No renormalizable |
(d) Por qué la cuantización de la gravedad requiere un marco que vaya más allá de la teoría cuántica de campos (aproximadamente 300 caracteres en japonés, aquí en extensión equivalente):
En una teoría no renormalizable (\(\delta < 0\)), en cada orden de loops aparecen nuevos tipos de divergencias (divergencias de mayor orden en momentos), y para absorberlas se necesitan infinitos tipos de contratérminos (counterterms). Como no se pueden controlar con un número finito de parámetros, se pierde el poder predictivo. La causa fundamental de que \([G] = [\text{mass}]^{-2}\) en gravedad cuántica es que la gravedad describe "la geometría del propio espacio-tiempo", por lo que cantidades de dimensión superior (derivadas de orden alto del tensor de Ricci) combinadas con la constante de acoplamiento producen divergencias en masa. La idea de la teoría de cuerdas, que Rina explicó en el texto como "reemplazar partículas puntuales por cuerdas con extensión finita", alivia estructuralmente estas divergencias UV. La extensión de la cuerda (\(\sim \ell_s\)) suaviza (softening) las interacciones a altos momentos (\(\mathbf{k} \gg 1/\ell_s\)), eludiendo así la barrera de la no renormalizabilidad de la teoría cuántica de campos. Esta es la razón esencial por la que se necesita un marco que trascienda la teoría cuántica de campos para cuantizar la gravedad.
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