Capítulo 4 Las reglas de las amplitudes de probabilidad — Las 3 leyes de Feynman¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En Cap. 3, vimos cómo el determinismo de la física clásica y el realismo ingenuo se derrumban a través del experimento de la doble rendija. Incluso lanzando electrones uno por uno aparece un patrón de interferencia, y al observar "por cuál rendija pasó", el patrón de interferencia desaparece. La suma clásica de probabilidades no podía explicar este fenómeno. Entonces, ¿qué gobierna el mundo cuántico en lugar de la probabilidad? —La respuesta es el tema de este capítulo.
Objetivo de este capítulo
- Aprender las 3 reglas fundamentales que sostienen todo el sistema de la mecánica cuántica
- "La probabilidad de que ocurra un evento es el cuadrado del valor absoluto de un número complejo llamado amplitud de probabilidad", "Las amplitudes de caminos indistinguibles se suman", "Las amplitudes de procesos sucesivos se multiplican"
- Redescribir el experimento de la doble rendija con estas 3 reglas y confirmar que la interferencia aparece de forma natural
4.1 Repaso mínimo de números complejos — Herramientas para manejar amplitudes¶
🟡 Lina: En el capítulo anterior, vimos que la suma clásica de probabilidades no puede explicar el patrón de interferencia de la doble rendija. Hoy vamos a introducir la herramienta alternativa llamada "amplitud de probabilidad", pero las amplitudes son números complejos. Así que primero preparemos las herramientas mínimas de los números complejos.
🔵 Kai: Los números complejos son los que aparecen en Matemáticas II del instituto, ¿verdad? Los del \(i^2 = -1\). ¿Por qué aparecen en física?
🟡 Lina: Buena pregunta. Para decirlo directamente, parece que las reglas de la naturaleza funcionan con la lógica de los números complejos —eso es lo que sabemos por los experimentos. Dicho con más precisión, el modelo de la mecánica cuántica no puede reproducir los resultados experimentales sin usar números complejos. Veremos la razón después, pero primero confirmemos cómo usar las herramientas.
Fundamentos de los números complejos¶
🟡 Lina: Un número complejo \(z\) se escribe usando números reales \(a\) y \(b\) como
A \(a\) se le llama parte real (\(\mathrm{Re}(z)\)) y a \(b\) parte imaginaria (\(\mathrm{Im}(z)\)). \(i\) es la unidad imaginaria que satisface \(i^2 = -1\).
⚪ Mei: Es lo mismo que aprendimos en el instituto. \(a\) y \(b\) son simplemente números reales, y \(z\) es "un solo número" que los combina.
🟡 Lina: Así es. Las reglas de cálculo también son las mismas que en el instituto. La suma se hace sumando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria. La multiplicación se desarrolla normalmente usando \(i^2 = -1\).
🔵 Kai: Si solo recuerdo que \(i^2 = -1\), el resto es cálculo normal.
Plano complejo y valor absoluto¶
🟡 Lina: Los números complejos se pueden representar como puntos en el plano complejo (también llamado plano de Gauss). El eje horizontal es la parte real y el eje vertical es la parte imaginaria.
La distancia desde el origen hasta el punto \(z = a + bi\) se llama valor absoluto de \(z\) y se escribe \(|z|\). Como el punto está a \(a\) en horizontal y \(b\) en vertical, la distancia desde el origen es directamente el teorema de Pitágoras:
⚪ Mei: Es la extensión al plano del "valor absoluto = distancia desde el origen en la recta numérica" de los números reales.
🟡 Lina: Exacto. Y el cuadrado del valor absoluto es
Esto siempre es un número real mayor o igual a cero. Esta propiedad es decisivamente importante cuando extraemos "probabilidades" en mecánica cuántica.
Conjugado complejo¶
🟡 Lina: Voy a presentar una herramienta más. Al número que se obtiene invirtiendo solo el signo de la parte imaginaria de \(z = a + bi\) se le llama conjugado complejo y se escribe \(z^*\).
🔵 Kai: ¿Solo invertir el signo de la parte imaginaria?
🟡 Lina: Sí. En el plano complejo, es el punto reflejado respecto al eje real. Lo conveniente es que al multiplicar \(z\) por \(z^*\) se obtiene el cuadrado del valor absoluto.
⚪ Mei: Es decir, \(|z|^2 = z \cdot z^*\). Así se puede calcular el cuadrado del valor absoluto sin tomar la raíz cuadrada.
🟡 Lina: Esta relación la usaremos constantemente de aquí en adelante, así que asegúrate de recordarla bien.
Forma polar — Expresión en magnitud y ángulo¶
🟡 Lina: Un punto en el plano complejo también se puede especificar por la distancia desde el origen \(r = |z|\) y el ángulo desde el eje real \(\theta\) (llamado argumento). Usando funciones trigonométricas:
🔵 Kai: Es la relación entre coordenadas cartesianas \((a, b)\) y coordenadas polares \((r, \theta)\). \(a = r\cos\theta\), \(b = r\sin\theta\).
🟡 Lina: Así es. Esta escritura se llama forma polar. Al escribir en forma polar, el significado de la multiplicación se vuelve muy claro. Si multiplicamos dos números complejos \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\) y \(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\), por las fórmulas de adición trigonométricas:
🟡 Lina: Mira el resultado. El valor absoluto es \(r_1 r_2\) (se multiplican) y el argumento es \(\theta_1 + \theta_2\) (se suman). Es decir, la multiplicación de números complejos es una operación que realiza simultáneamente una "dilatación/contracción" y una "rotación". Por ejemplo, multiplicar por \(i\) tiene \(|i| = 1\) y \(\arg(i) = \pi/2\), así que significa "la magnitud queda igual, rotación de 90°".
⚪ Mei: Ya veo, el valor absoluto se multiplica, el argumento se suma. Se separan limpiamente.
🔵 Kai: Entiendo…… Si multiplicas \(i\) dos veces, es una rotación de 180° y da \(-1\). ¡Por eso \(i^2 = -1\)!
🟡 Lina: Buena comprensión. He resumido el contenido hasta aquí en Fig. 4.1「Representación del número complejo \(z = a + bi\) en el plano complejo」 y Fig. 4.2「Significado geométrico de la multiplicación de números complejos」, así que échales un vistazo. Los detalles sobre números complejos —la derivación de la fórmula de Euler (Euler) \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) y su relación con la serie de Taylor— se tratan en Apéndice A. Sin embargo, en la segunda mitad de este capítulo usaré \(e^{i\theta}\) como notación abreviada conveniente, así que lo explicaré de nuevo en ese momento.
Fig. 4.1: Representación del número complejo \(z = a + bi\) en el plano complejo. El valor absoluto \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\) es la distancia desde el origen, el argumento \(\theta\) es el ángulo desde el eje real. El conjugado complejo \(z^* = a - bi\) es la reflexión respecto al eje real.
Fig. 4.2: Significado geométrico de la multiplicación de números complejos. El valor absoluto de \(z_1 z_2\) es \(|z_1|\cdot|z_2|\) (dilatación), el argumento es \(\theta_1 + \theta_2\) (rotación). Multiplicar por \(i\) equivale a una "rotación de \(90°\)".
✅ Verificación de comprensión: Calcula el valor absoluto \(|z|\) del número complejo \(z = 3 + 4i\) y el valor de \(z \cdot z^*\).
Respuesta
\(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). \(z \cdot z^* = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2\).
📝 Ejercicios:
- Representación en forma polar de números complejos y significado geométrico de la multiplicación → Problema B-1. Valor absoluto y conjugado complejo de números complejos
4.2 ¿Qué es la amplitud de probabilidad? — La primera regla¶
🟡 Lina: Bien, ahora que tenemos las herramientas listas, entremos al corazón de la mecánica cuántica. En el capítulo anterior, vimos que los resultados del experimento de la doble rendija no se pueden explicar con la suma clásica de probabilidades (números reales). La mecánica cuántica introduce, en lugar de la probabilidad, una cantidad llamada amplitud de probabilidad (probability amplitude).
🔵 Kai: ¿"Amplitud" como la amplitud de una onda?
🟡 Lina: El nombre proviene de ahí, pero es un concepto mucho más general. Permíteme enunciar la definición.
Primera regla (ley de probabilidad)
La probabilidad \(P\) de que ocurra un evento viene dada por el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de probabilidad \(\phi\) (un número complejo en general) correspondiente a ese evento.
\[P = |\phi|^2 \tag{4.9}\]
🔵 Kai: ¿Eso es todo? Pero… ¿por qué números complejos? La probabilidad es un número real entre 0 y 1, ¿verdad? ¿Qué sentido tiene pasar por números complejos?
🟡 Lina: Pregunta que va al corazón del asunto. Hay dos razones. Primera, como \(|z|^2 = a^2 + b^2 \geq 0\), el cuadrado del valor absoluto de un número complejo siempre es un número real no negativo. La probabilidad debe ser no negativa, así que esta condición se satisface correctamente.
Por supuesto, la probabilidad también debe ser menor o igual a 1, pero eso se garantiza normalizando adecuadamente la amplitud. "Normalización" significa la condición de que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles sea exactamente 1. Por ejemplo, si hay 3 resultados posibles (\(A\), \(B\), \(C\)) con amplitudes \(\phi_A\), \(\phi_B\), \(\phi_C\), entonces las amplitudes deben estar determinadas de forma que \(|\phi_A|^2 + |\phi_B|^2 + |\phi_C|^2 = 1\). En probabilidad clásica también existe la condición "la suma de las probabilidades de todos los casos es 1", ¿verdad? Es la misma idea. El método concreto se tratará en detalle a partir de Cap. 5.
Además, en este capítulo el objetivo es ver el efecto de la interferencia, así que a veces usaré los valores de las amplitudes directamente sin preocuparme por la normalización. Por eso, los resultados de los cálculos pueden superar 1, pero no hay problema porque son valores antes de normalizar. Por ejemplo, más adelante aparecerán valores como \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 2\), pero piensa en esto como "una cantidad proporcional a la probabilidad" y no como "la probabilidad misma". Para obtener la probabilidad real, basta dividir todo por la suma total para que dé 1 —por ejemplo, si la suma es 2, se divide cada término por 2— pero ahora lo importante es solo el cambio relativo de "si hay término de interferencia, ¿aumenta o disminuye el valor?", así que omitiremos la división. El método formal de normalización se aprenderá en Cap. 5.
🔵 Kai: Entiendo, dejamos la normalización para después y ahora nos enfocamos en el aumento o disminución por la interferencia. Pero, ¿por qué usar números complejos a propósito?
🟡 Lina: La segunda razón —y esta es la esencial— es que los números complejos tienen fase (argumento \(\theta\)). Cuando se suman dos números complejos, dependiendo de la diferencia de fase pueden reforzarse o cancelarse mutuamente. Esto es la esencia de la interferencia. La probabilidad clásica es siempre un número real positivo, así que si sumas probabilidades siempre aumentan; la cancelación mutua no puede ocurrir, ¿verdad?
⚪ Mei: Ya veo. Como la probabilidad siempre es positiva, al sumarla siempre aumenta. Pero como la amplitud es un número complejo, al sumarlas pueden cancelarse. Eso crea las "partes oscuras" del patrón de interferencia.
🟡 Lina: Exactamente. Aquí está el corazón de la mecánica cuántica. No se suman las probabilidades directamente, sino que se suman las amplitudes y luego se toma el cuadrado del valor absoluto. Esta diferencia en el orden es lo que produce la diferencia decisiva entre lo clásico y lo cuántico.
🔵 Kai: Pero si la amplitud es un número complejo, eso significa que no se puede medir directamente en un experimento, ¿verdad? Los valores medidos siempre son reales……
🟡 Lina: Observación aguda. Así es. Lo que podemos observar directamente en un experimento es solo \(|\phi|^2\), es decir, la probabilidad. La amplitud misma no se puede medir directamente. Pero las predicciones del modelo que usa amplitudes coinciden con una precisión asombrosa con los resultados experimentales. "La amplitud no se ve directamente, pero sin usarla no se pueden explicar los experimentos" —esa es la fuerza de la mecánica cuántica como modelo.
🔵 Kai: No se ve, pero sin ella no funciona……
🟡 Lina: Así es. Los modelos de la física no son "la verdad" sino que tienen valor en las "predicciones cuantitativas y la falsabilidad", como hablamos en el prólogo. El modelo de la amplitud de probabilidad es, por ahora, la mejor hipótesis que no contradice los experimentos.
Introducción de la notación — Bra-ket de Dirac¶
🟡 Lina: Voy a introducir una notación conveniente para escribir las amplitudes de probabilidad. Es la notación bra-ket inventada por Dirac, ampliamente usada en mecánica cuántica.
🟡 Lina: "La amplitud de que una partícula parta del estado \(s\) y llegue al estado \(x\)" se escribe
El \(| s \rangle\) de la derecha se llama ket, y el \(\langle x |\) de la izquierda se llama bra. En esta notación, el ket representa el estado inicial y el bra el estado final. El conjunto \(\langle x | s \rangle\) se llama bracket (= bra + ket) y es el símbolo que significa "la amplitud de \(s\) a \(x\)". El bra y el ket tienen un significado matemático más profundo, pero eso lo trataremos en Cap. 11. Por ahora, úsalos como "símbolos abreviados para escribir amplitudes".
🔵 Kai: ¿Por qué el estado final está a la izquierda? ¿Significa que se lee de derecha a izquierda en orden temporal?
🟡 Lina: Sí, se lee de derecha a izquierda como "parte de \(s\) y llega a \(x\)". Al principio requiere un poco de costumbre, pero cuando aparezcan cálculos con matrices en capítulos posteriores, esta convención de "derecha a izquierda" se conectará de forma natural. Lo usaremos desde el próximo Cap. 5, pero iremos acostumbrándonos a la notación calculando realmente allí.
🟡 Lina: Usando esta notación, la primera regla se escribe como
⚪ Mei: Como el símbolo de la amplitud indica directamente "de dónde a dónde", la fórmula de la probabilidad también se lee fácilmente.
✅ Verificación de comprensión: En la notación bra-ket de Dirac \(\langle x | s \rangle\), ¿qué representan el ket \(|s\rangle\) y el bra \(\langle x|\)? Además, ¿qué significa físicamente este símbolo completo?
Respuesta
El ket \(|s\rangle\) representa el estado inicial y el bra \(\langle x|\) representa el estado final. El símbolo completo \(\langle x | s \rangle\) significa "la amplitud de probabilidad de que una partícula parta del estado \(s\) y llegue al estado \(x\)". Se lee de derecha a izquierda.
✅ Verificación de comprensión: Explica en una sola frase por qué es esencialmente importante que la amplitud de probabilidad sea un número complejo y no un número real.
Respuesta
Porque los números complejos tienen fase (argumento), de modo que al sumar dos amplitudes pueden reforzarse o cancelarse mutuamente (interferencia), mientras que con solo números reales positivos la cancelación no puede ocurrir.
4.3 Suma de caminos — La segunda regla¶
🟡 Lina: Ahora pasemos a la segunda regla. Esta responde directamente al "misterio" que vimos en Cap. 3 del experimento de la doble rendija.
Segunda regla (regla de adición de amplitudes)
Cuando un evento puede realizarse a través de múltiples caminos indistinguibles, la amplitud total es la suma de las amplitudes de cada camino.
🔵 Kai: ¿"Caminos indistinguibles"?
🟡 Lina: Significa "no hay forma, ni siquiera en principio, de saber por cuál camino pasó la partícula". En el experimento de la doble rendija, cuando no se observa por cuál rendija pasó, el camino por la rendija 1 y el camino por la rendija 2 son "indistinguibles".
En el caso de la doble rendija, la amplitud en la posición del detector \(x\) es
🟡 Lina: Recuerda la discusión del capítulo anterior. Con la probabilidad clásica se sumaban directamente las probabilidades: \(P = P_1 + P_2\). Pero en mecánica cuántica, se suman las amplitudes y luego se calcula la probabilidad. Es decir:
Aquí he abreviado \(\phi_1 = \langle x | s \rangle_{\text{vía rendija 1}}\), \(\phi_2 = \langle x | s \rangle_{\text{vía rendija 2}}\).
⚪ Mei: El lado izquierdo es la predicción de la mecánica cuántica, y el lado derecho es la predicción clásica. Estos dos en general no son iguales.
🔵 Kai: Pero, ¿qué forma tiene concretamente esa "diferencia"? Al sumar números complejos y luego tomar el valor absoluto, no es una simple resta, ¿verdad?
🟡 Lina: Buena pregunta. Desarrollémoslo explícitamente. Cuando \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son números complejos:
De la primera a la segunda línea usé \((\phi_1 + \phi_2)^* = \phi_1^* + \phi_2^*\) —como el conjugado complejo es la operación de "invertir la parte imaginaria de cada término", el conjugado de una suma es la suma de los conjugados. La tercera línea es simplemente desarrollar con la propiedad distributiva. Y usando la ecuación (4.6), \(z \cdot z^* = |z|^2\), escribí \(\phi_1\phi_1^* = |\phi_1|^2\), \(\phi_2\phi_2^* = |\phi_2|^2\).
🔵 Kai: ¡Ah, ya se está usando el \(z \cdot z^* = |z|^2\) que acabamos de aprender!
🟡 Lina: A los últimos 2 términos \(\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\) los llamo término de interferencia (interference term). Ahí está contenida la esencia de la interferencia.
🔵 Kai: Espera un momento. \(\phi_1 \phi_2^*\) es un número complejo, ¿verdad? La probabilidad \(P\) tiene que ser real, ¿no es un problema que aparezca un término complejo? ¿Tiene alguna relación con el otro término \(\phi_1^* \phi_2\)?
🟡 Lina: Buena pregunta, y buen ojo. Exactamente así es: \(\phi_1 \phi_2^*\) y \(\phi_1^* \phi_2\) son conjugados complejos entre sí. Al sumar dos conjugados complejos, las partes imaginarias se cancelan y el resultado es real —por ejemplo \((a+bi) + (a-bi) = 2a\), ¿verdad? Por eso el término de interferencia es siempre real, y la condición de que \(P\) debe ser real se satisface correctamente.
🔵 Kai: Ah, es verdad. Si sumas \(w\) y \(w^*\), la parte imaginaria desaparece, así que para cualquier \(\phi_1\), \(\phi_2\), el término de interferencia es real.
🟡 Lina: Además, esta estructura se mantiene igual incluso cuando hay 3 o más amplitudes. Si desarrollas \(|\phi_1 + \phi_2 + \cdots|^2\), todos los términos cruzados aparecen como pares \(\phi_j\phi_k^*\) y \(\phi_j^*\phi_k\), así que el hecho de que la probabilidad sea real está garantizado automáticamente independientemente del número de amplitudes.
⚪ Mei: Es decir, la estructura de "aparecen en pares de conjugados complejos y por eso es real" funciona automáticamente sin importar cuántas amplitudes haya.
🟡 Lina: Así es. Para verlo más claramente, escribamos cada amplitud en forma polar. Como vimos en la ecuación (4.7), \(\phi_1 = |\phi_1|(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\), \(\phi_2 = |\phi_2|(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\). Aquí voy a introducir una sola notación abreviada conveniente. Se escribe \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). Esto se llama la fórmula de Euler.
🔵 Kai: Espera un momento. \(e\) es la base de la función exponencial, ¿la de \(2.718\ldots\), verdad? Poner un número imaginario \(i\theta\) en el exponente, ¿qué significa?
🟡 Lina: Buena pregunta. Es una duda muy razonable. En el rango de los reales, \(e^x\) es simplemente "multiplicar \(e\) por sí mismo \(x\) veces", pero cuando el exponente es imaginario ya no se puede interpretar directamente así. La fórmula de Euler surge naturalmente cuando se reescribe la función exponencial como una suma infinita (serie infinita). La derivación se hace cuidadosamente en Apéndice A. En esta etapa, defínelo así: \(e^{i\theta}\) es \(\cos\theta + i\sin\theta\). Es decir, le damos el nombre \(e^{i\theta}\) a "un número complejo con valor absoluto 1 y argumento \(\theta\)". Piensa en ello no tanto como notación abreviada sino como la definición de un nuevo símbolo. La mayor ventaja de esta definición es que la multiplicación se convierte en suma de exponentes: \(e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}\). Esto simplemente expresa en notación exponencial la propiedad "al multiplicar dos números complejos, los argumentos se suman" que mostramos en la ecuación (4.8). Por tanto no es una ley nueva, sino una reescritura de un hecho ya confirmado.
Verifiquémoslo concretamente. En la ecuación (4.8) teníamos \(r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = r_1 r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\). Reescrito con \(e^{i\theta}\): \(r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 \, e^{i(\theta_1+\theta_2)}\) —exactamente el mismo contenido, escrito de forma mucho más compacta.
🔵 Kai: Entiendo, es solo otra forma de escribir la ecuación (4.8). Como la multiplicación se convierte en suma, es conveniente. Por ahora lo usaré como notación abreviada.
🟡 Lina: Así es. Con esta notación podemos escribir \(\phi_1 = |\phi_1|e^{i\theta_1}\), \(\phi_2 = |\phi_2|e^{i\theta_2}\). Ahora confirmemos qué pasa al tomar el conjugado complejo. El conjugado de \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) es, simplemente invirtiendo el signo de la parte imaginaria, \(\cos\theta - i\sin\theta\), ¿verdad?
🔵 Kai: Eso lo entiendo. Pero, ¿se puede reescribir \(\cos\theta - i\sin\theta\) en forma de \(e\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. Recuerda las propiedades de las funciones trigonométricas que aprendiste en el instituto: \(\cos(-\theta) = \cos\theta\), \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\). Esto se ve directamente desde la definición del círculo unitario. El punto de ángulo \(\theta\) en el círculo unitario es \((\cos\theta,\, \sin\theta)\), y el punto de ángulo \(-\theta\) está en posición simétrica respecto al eje real (eje \(x\)), así que la coordenada \(x\) (\(\cos\)) es la misma y la coordenada \(y\) (\(\sin\)) tiene signo opuesto. Por tanto, \(\cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\). Ahora recuerda la convención de nuestra notación abreviada: \(e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha\). Si sustituyes \(\alpha = -\theta\), el lado derecho es exactamente \(e^{i(-\theta)} = e^{-i\theta}\). Es decir, al tomar el conjugado complejo, se invierte el signo del exponente.
⚪ Mei: Ya veo, \((e^{i\theta})^* = e^{-i\theta}\). Simple.
🟡 Lina: Por tanto \(\phi_2^* = |\phi_2|e^{-i\theta_2}\). Entonces
donde \(\delta = \theta_1 - \theta_2\) es la diferencia de fase entre las dos amplitudes. De manera similar, \(\phi_1^* \phi_2 = |\phi_1||\phi_2| e^{-i\delta}\). Desarrollemos usando la fórmula de Euler. \(e^{i\delta} = \cos\delta + i\sin\delta\), \(e^{-i\delta} = \cos\delta - i\sin\delta\). Al sumar estos dos, las partes imaginarias se cancelan y \(e^{i\delta} + e^{-i\delta} = 2\cos\delta\), por lo que:
🔵 Kai: ¡Oh! ¡\(\cos\delta\)! Dependiendo del valor de \(\delta\) puede ser positivo o negativo, ¡así que el término de interferencia puede ser tanto positivo como negativo!
🟡 Lina: Así es. En resumen:
- \(\cos\delta = +1\) (diferencia de fase \(\delta = 0\)): \(P = (|\phi_1| + |\phi_2|)^2\) → interferencia constructiva (franja brillante)
- \(\cos\delta = -1\) (diferencia de fase \(\delta = \pi\)): \(P = (|\phi_1| - |\phi_2|)^2\) → interferencia destructiva (franja oscura)
- Si \(|\phi_1| = |\phi_2|\) y \(\delta = \pi\), entonces \(P = 0\) → cancelación completa
⚪ Mei: La probabilidad puede llegar a ser cero solo por la diferencia de fase. Eso es algo que clásicamente jamás ocurriría.
Mira Fig. 4.3「Suma de amplitudes de probabilidad (en el plano complejo)」. Cuando se suman amplitudes como flechas (vectores) en el plano complejo, se ve de un vistazo que si apuntan en la misma dirección (misma fase) las longitudes se suman, y si apuntan en direcciones opuestas (fase opuesta) se cancelan.
Fig. 4.3: Suma de amplitudes de probabilidad (en el plano complejo). Izquierda: caso de misma fase (\(\delta = 0\)), las amplitudes se refuerzan \(|\phi_1 + \phi_2|^2 > |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\). Derecha: caso de fase opuesta (\(\delta = \pi\)), las amplitudes se cancelan \(|\phi_1 + \phi_2|^2 < |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\). La diferencia de fase es la esencia de la interferencia.
🔵 Kai: ¡Así que esta es la verdadera naturaleza del patrón de interferencia…! Como la amplitud es un número complejo, surge la diferencia de fase, y al sumarlas se refuerzan o se debilitan. Si sumáramos probabilidades directamente, esto no pasaría.
🟡 Lina: Así es. Y mira el tercer término de la ecuación (4.14), \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\) —esto corresponde exactamente al término de interferencia que se observó en Cap. 3 como "la desviación respecto a la predicción clásica \(P_1 + P_2\)". Solo con la primera y segunda regla, ese hecho experimental se reproduce como una ecuación.
⚪ Mei: Es decir, la verdadera identidad de la "desviación" que se veía experimentalmente en el capítulo anterior era este término \(\cos\delta\).
Generalización: muchos caminos¶
🟡 Lina: La segunda regla no se limita a 2 caminos. Si hay \(N\) caminos indistinguibles:
Por ejemplo, si la pared tiene 5 rendijas, se suman las 5 amplitudes. Si hay varias paredes con múltiples rendijas en cada una, se suman las amplitudes de todos los caminos posibles.
🔵 Kai: ¿Y si hay infinitos caminos?
🟡 Lina: Pregunta aguda. De hecho, Feynman avanzó exactamente en esa dirección y llegó a la formulación de la integral de caminos, que "suma las amplitudes de todos los caminos posibles". Eso es tema para más adelante, pero recuerda que está en la extensión natural de la segunda regla.
✅ Verificación de comprensión: En el término de interferencia \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\), ¿cuál es el valor del término de interferencia cuando \(\delta = \pi/2\)? ¿Qué situación física significa esto?
Respuesta
Como \(\cos(\pi/2) = 0\), el término de interferencia es 0. En este caso la probabilidad es \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\), que coincide con la suma clásica de probabilidades. Es una situación intermedia donde no ocurre ni refuerzo ni cancelación.
✅ Verificación de comprensión: Al sumar dos amplitudes \(\phi_1 = 1\), \(\phi_2 = e^{i\pi} = -1\), ¿cuánto vale la probabilidad \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\)? Además, ¿cuánto vale la suma clásica de probabilidades \(P_{\text{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)?
Respuesta
\(\phi_1 + \phi_2 = 1 + (-1) = 0\) por lo que \(P = |0|^2 = 0\) (cancelación completa). Por otro lado, \(P_{\text{cl}} = |1|^2 + |-1|^2 = 1 + 1 = 2\). En mecánica cuántica la probabilidad puede ser cero, pero con la suma clásica nunca es cero. (Nota: \(P_{\text{cl}} = 2 > 1\) es un valor antes de normalizar, así que no hay problema. Lo importante en este ejemplo es la diferencia cualitativa de que "en mecánica cuántica \(P = 0\) es posible".)
📝 Ejercicios:
- Número de términos de interferencia en el caso de 3 rendijas → Problema M-2. Patrón de interferencia de \(N\) rendijas equidistantes con igual amplitud
4.4 Multiplicación de procesos — La tercera regla¶
🟡 Lina: Pasemos a la tercera regla.
Tercera regla (regla de multiplicación de amplitudes)
Cuando una partícula sigue un camino, la amplitud del camino completo es el producto de las amplitudes de cada etapa que compone el camino.
🔵 Kai: ¿Multiplicación en vez de suma? ¿Cuándo se multiplica?
🟡 Lina: "Sumar" es para alternativas paralelas (por cuál camino pasa), "multiplicar" es para etapas en serie (lo que ocurre secuencialmente dentro de un camino). ¿Por qué multiplicación? Porque en probabilidad clásica también, la probabilidad de que "A ocurra y además B también ocurra" se multiplica: \(P(A) \times P(B)\) (para eventos independientes). Con las amplitudes es la misma idea —la amplitud de un solo camino donde "ocurre la primera etapa y luego la segunda" es el producto de las amplitudes de cada etapa.
Por ejemplo, si el camino "ir de Tokio a Osaka" se compone de 2 etapas: "Tokio→Nagoya" y "Nagoya→Osaka", la amplitud del camino completo es el producto de las amplitudes de cada etapa. En el experimento de la doble rendija, la amplitud del "camino por la rendija 1" es:
Leyendo de derecha a izquierda, es el producto de "la amplitud de llegar de \(s\) a la rendija 1, \(\langle 1 | s \rangle\)" por "la amplitud de llegar de la rendija 1 a \(x\), \(\langle x | 1 \rangle\)".
⚪ Mei: Es la misma estructura que la multiplicación de probabilidades clásicas. Pero……
🔵 Kai: Pero las amplitudes son números complejos, ¿verdad? Multiplicar números complejos, ¿produce alguna diferencia respecto a multiplicar probabilidades reales?
🟡 Lina: Buena pregunta. Hay una diferencia decisiva. La multiplicación de probabilidades es "real positivo × real positivo = real positivo", así que la fase no interviene. La multiplicación de amplitudes es "complejo × complejo = complejo", y las fases se suman. Como vimos en la ecuación (4.8), los argumentos se suman, ¿verdad? Esta acumulación de fase es lo que determina el patrón de interferencia cuando las amplitudes se suman después.
🔵 Kai: Entiendo. La fase se acumula con la multiplicación, y la interferencia ocurre por esa diferencia de fase cuando se suman. La multiplicación y la suma trabajan juntas.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la diferencia decisiva entre la multiplicación de probabilidades clásicas y la multiplicación de amplitudes en mecánica cuántica?
Respuesta
La multiplicación de probabilidades clásicas es un producto de números reales positivos, por lo que no hay concepto de fase. La multiplicación de amplitudes en mecánica cuántica es un producto de números complejos, por lo que las fases (argumentos) se suman. Esta acumulación de fase es lo que determina el patrón de interferencia cuando las amplitudes se suman posteriormente.
Resumen de las 3 reglas¶
🟡 Lina: Resumamos aquí las 3 reglas.
Tabla 4.1: Las 3 reglas fundamentales de la mecánica cuántica
| Regla | Contenido | Ecuación |
|---|---|---|
| Primera regla | Probabilidad = cuadrado del valor absoluto de la amplitud | $P = |
| Segunda regla | Caminos indistinguibles → sumar amplitudes | \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \cdots\) |
| Tercera regla | Procesos sucesivos → multiplicar amplitudes | \(\phi = \phi_A \cdot \phi_B \cdot \cdots\) |
🔵 Kai: ¿Solo 3? ¿Con esto se cubre toda la mecánica cuántica?
🟡 Lina: "Toda" es exagerado, pero una cantidad sorprendente de fenómenos se derivan de estas 3 reglas. Mira Fig. 4.4「Estructura de las 3 reglas. Izquierda: Segunda regla」. La segunda regla (suma) corresponde a alternativas paralelas y la tercera regla (multiplicación) a etapas en serie.
Fig. 4.4: Estructura de las 3 reglas. Izquierda: Segunda regla — se suman las amplitudes de caminos paralelos indistinguibles del estado inicial \(s\) al estado final \(x\) (\(\phi = \phi_1 + \phi_2\)). Derecha: Tercera regla — se multiplican las amplitudes de etapas sucesivas en serie que componen un camino (\(\phi = \phi_A \cdot \phi_B \cdot \phi_C\)).
🟡 Lina: Feynman presentó estas 3 reglas como punto de partida de la mecánica cuántica. Por supuesto, para resolver problemas concretos se necesita saber por separado "qué valor toma la amplitud de cada etapa". Pero la estructura de las reglas está completa con estas 3. En mecánica clásica, la ecuación de movimiento de Newton \(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\) da la "estructura", y la forma concreta de la fuerza \(\mathbf{F}\) difiere para cada problema, ¿verdad? Es una relación similar.
⚪ Mei: Es decir, las 3 reglas determinan el marco de "cómo calcular", y los valores concretos de las amplitudes se dan por separado para cada sistema.
✅ Verificación de comprensión: ¿En qué situaciones se usa la segunda regla (suma) y en cuáles la tercera regla (multiplicación)?
Respuesta
Segunda regla (suma): Cuando una partícula puede ir del mismo estado inicial al mismo estado final por múltiples caminos indistinguibles, se suman las amplitudes de cada camino. Tercera regla (multiplicación): Cuando un camino está compuesto por múltiples etapas sucesivas, se multiplican las amplitudes de cada etapa.
📝 Ejercicios:
- Cálculo de la amplitud al pasar por 2 paredes → Problema M-4. Cálculo de la amplitud a través de dos paredes
4.5 Redescripción de la doble rendija con amplitudes — Integración de las 3 reglas¶
🟡 Lina: Bien, ahora usemos las 3 reglas juntas para describir cuantitativamente el experimento de la doble rendija de Cap. 3. Este es el clímax de hoy.
Confirmación del montaje¶
🟡 Lina: Confirmemos la disposición del experimento (recuerda la figura de Cap. 3).
- Fuente de electrones \(s\)
- Pared con rendija 1 y rendija 2
- Detector en la posición \(x\) al otro lado de la pared
No se observa por cuál rendija pasó.
🟡 Lina: He resumido la disposición experimental y las etiquetas de cada amplitud en Fig. 4.5「Estructura de amplitudes en el experimento de la doble rendija」. Mirando esta figura, vamos a aplicar las 3 reglas en orden.
Fig. 4.5: Estructura de amplitudes en el experimento de la doble rendija. Dos caminos desde la fuente de electrones \(s\) hasta el detector \(x\) pasando por las rendijas 1 y 2. Por la tercera regla, la amplitud de cada camino es el producto por etapas (ej: \(\phi_1 = \langle x|1\rangle\langle 1|s\rangle\)), por la segunda regla la amplitud total es \(\phi_1 + \phi_2\), por la primera regla la probabilidad es \(|\phi_1 + \phi_2|^2\).
Paso 1: Escribir la amplitud de cada camino con la tercera regla¶
🟡 Lina: Primero, escribamos la amplitud de cada camino con la tercera regla (multiplicación).
Amplitud del camino vía rendija 1:
Amplitud del camino vía rendija 2:
🔵 Kai: Leyendo de derecha a izquierda, es "de \(s\) a la rendija" × "de la rendija a \(x\)".
Paso 2: Obtener la amplitud total con la segunda regla¶
🟡 Lina: Como no se observa por cuál rendija pasó, los dos caminos son indistinguibles. Con la segunda regla (suma):
Paso 3: Obtener la probabilidad con la primera regla¶
🟡 Lina: Finalmente, con la primera regla (probabilidad = |amplitud|²):
Esto tiene la misma forma que la ecuación (4.12). Los últimos 2 términos son iguales a \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\) por la ecuación (4.13) (\(\delta\) es la diferencia de fase entre \(\phi_1\) y \(\phi_2\); veremos enseguida de qué depende concretamente). Por cierto, para cualquier número complejo \(w\) se cumple que \(w + w^* = 2\,\mathrm{Re}(w)\) (el doble de la parte real), así que el término de interferencia también se puede escribir como \(2\,\mathrm{Re}(\phi_1 \phi_2^*)\).
⚪ Mei: Aplicando las 3 reglas en orden, el término de interferencia que derivamos antes aparece directamente.
Origen físico de la diferencia de fase¶
🔵 Kai: Pero, ¿cómo se determina \(\delta\) concretamente?
🟡 Lina: Buena pregunta. Recuerda la relación de de Broglie que aprendimos en Cap. 2. A una partícula con momento \(p\) le corresponde una longitud de onda \(\lambda = h/p\).
🔵 Kai: La longitud de onda la recuerdo. Pero, ¿qué significa concretamente que "la fase avanza"?
🟡 Lina: Buena pregunta. Primero te explico "la fase" intuitivamente. Cuando representamos una onda como \(\cos\theta\), el valor de \(\theta\) es la fase. \(\theta = 0\) es la cresta, \(\theta = \pi\) es el valle, \(\theta = 2\pi\) es de nuevo la cresta. Es decir, la fase es un ángulo que indica "en qué etapa del ciclo de la onda estamos". En términos de números complejos, el argumento \(\theta\) de \(e^{i\theta}\) corresponde exactamente a esta fase.
🔵 Kai: Entiendo, a medida que la fase cambia \(0 \to \pi \to 2\pi\), va de cresta → valle → cresta completando un ciclo.
🟡 Lina: Así es. Para ser más concreto, recuerda la ecuación de ondas que aprendiste en el instituto —para una onda de longitud \(\lambda\) que se propaga, si la distancia desde el punto de partida a lo largo de la dirección de propagación es \(r\), el valor de la onda se representa como \(\cos\bigl(\frac{2\pi}{\lambda}r\bigr)\). La parte \(\frac{2\pi}{\lambda}r\) es la fase. En \(r = 0\), fase \(0\) (cresta); en \(r = \lambda/2\), fase \(\pi\) (valle); en \(r = \lambda\), fase \(2\pi\) (cresta de nuevo). Es decir, la longitud de onda \(\lambda\) es "la distancia en la que la onda repite un ciclo completo (cresta→valle→cresta)", y al avanzar una distancia \(\lambda\), la fase avanza exactamente \(2\pi\) (una vuelta completa).
🔵 Kai: Entiendo, por cada longitud de onda avanza \(2\pi\). Entonces, ¿3 longitudes de onda serían \(6\pi\)?
🟡 Lina: Exacto. Generalicemos esto. Cuando una partícula se desplaza una distancia \(r\), dentro de esa distancia caben \(r/\lambda\) periodos de onda. Por tanto, la fase avanza \(2\pi \times (r/\lambda) = 2\pi r/\lambda\). Si \(r = 3\lambda\), entonces \(6\pi\) —la cantidad correspondiente a repetir cresta→valle→cresta 3 veces. Aquí capté la intuición de la fase con \(\cos\), pero como la amplitud en mecánica cuántica es un número complejo, en realidad la fase se maneja como el argumento \(\theta\) de \(e^{i\theta}\). Es decir, cuando una partícula se desplaza una distancia \(r\), el argumento (=fase) de la amplitud rota en \(2\pi r/\lambda\) —en la forma polar que aprendimos antes, significa que a la amplitud se le multiplica un número complejo de valor absoluto 1 y argumento \(2\pi r/\lambda\). La conclusión "cuando una partícula se desplaza una distancia \(r\), la fase avanza \(2\pi r/\lambda\)" es la misma en ambas notaciones.
⚪ Mei: Es decir, el contenido que captamos intuitivamente con \(\cos\) se puede releer directamente como la historia del argumento de \(e^{i\theta}\).
🔵 Kai: Entendí que la fase avanza, pero ¿cómo afecta eso a la amplitud?
🟡 Lina: Recuerda la forma polar que aprendimos antes. La amplitud se escribe como \(|\phi|e^{i\theta}\), donde \(\theta\) era la fase. Como cuando una partícula se desplaza una distancia \(r\) la fase aumenta en \(2\pi r/\lambda\), el argumento de la amplitud también rota esa cantidad. En forma de ecuación, a la amplitud en el punto de partida \(|\phi|e^{i\theta_0}\) se le multiplica el factor de fase \(e^{i \cdot 2\pi r/\lambda}\):
Es justamente la propiedad "al multiplicar, los argumentos se suman" de la ecuación (4.8). El valor absoluto (magnitud) no cambia, solo cambia la fase (dirección).
🔵 Kai: Ooh, la magnitud no cambia y solo rota la dirección de la flecha. Exactamente una "rotación".
🟡 Lina: Reescribamos esto con la relación de de Broglie \(\lambda = h/p\).
🟡 Lina: Organicemos esta expresión. Mirando la forma \(\frac{2\pi p}{h} \cdot r\), la combinación \(\frac{2\pi}{h}\) aparece como factor común multiplicando a \(p\) y \(r\). De hecho, en las situaciones donde expresamos la fase en ángulos (radianes), \(2\pi\) y \(h\) siempre aparecen juntos. ¿Recuerdas que en Cap. 1, cuando escribimos la condición cuántica de Bohr, introdujimos el símbolo \(\hbar = h/(2\pi)\)? Entonces lo usamos para la cuantización del momento angular, pero aquí aparece naturalmente el mismo símbolo. Confirmémoslo de nuevo:
y se lee "h-barra".
🔵 Kai: Ya veo, el \(\hbar\) que apareció en la cuantización del momento angular también aparece en el cálculo de la fase. Pero, ¿cómo cambia la ecuación con esto?
🟡 Lina: Transformemos esta definición. Multiplicando ambos lados de \(\hbar = h/(2\pi)\) por \(2\pi\) obtenemos \(2\pi\hbar = h\), es decir \(h = 2\pi\hbar\). Entonces, sustituyendo \(h\) por \(2\pi\hbar\) en \(2\pi p/h\):
Los \(2\pi\) se simplifican y queda más limpio, ¿verdad? Usando esto, la expresión anterior de la fase queda:
⚪ Mei: La fase es \(pr/\hbar\) —simplemente el producto del momento por la distancia dividido por \(\hbar\). Se reduce a una forma simple.
🟡 Lina: Así que cuando una partícula libre se desplaza una distancia \(r\), la fase avanza en \(pr/\hbar\). Usando la notación de Euler que aprendimos antes, "que la fase avance \(\theta\)" corresponde a "multiplicar la amplitud por \(e^{i\theta}\)". Por tanto, a la amplitud se le asocia el factor de fase
\(\hbar\) es "simplemente \(h\) dividido por \(2\pi\)", pero como al expresar la fase en ángulos (radianes) el \(2\pi\) queda absorbido y la ecuación se simplifica, en mecánica cuántica se usa \(\hbar\) más frecuentemente que \(h\).
🔵 Kai: Así que aquí se usa la notación \(e^{i\theta}\) que introdujimos antes. Es decir, al desplazarse una distancia \(r\), la magnitud de la amplitud no cambia y solo la fase rota en \(pr/\hbar\), ¿es eso?
🟡 Lina: Exacto. \(e^{ipr/\hbar}\) es un número complejo con valor absoluto 1 y argumento \(pr/\hbar\), así que al multiplicar la amplitud por él, no cambia la magnitud, solo rota la fase. "Al desplazarse una distancia \(r\), la fase rota en \(pr/\hbar\)" —este es el comportamiento básico de la amplitud de una partícula libre. Mira Fig. 4.6「Acumulación de fase de una partícula libre」.
Fig. 4.6: Acumulación de fase de una partícula libre. Izquierda: cuando una partícula se desplaza una distancia \(r\), la fase de la amplitud rota en \(pr/\hbar\) (la dirección de la flecha representa la fase). Al avanzar 1 longitud de onda \(\lambda = h/p\), la fase rota \(2\pi\). Derecha: en la doble rendija, cuando las longitudes de los dos caminos difieren, surge una diferencia de fase \(\delta = p\Delta r/\hbar\) que determina el patrón de interferencia.
🟡 Lina: Llamemos \(r_1\) a la distancia de la rendija 1 al detector \(x\), y \(r_2\) a la distancia de la rendija 2 a \(x\). Para simplificar, consideremos una configuración simétrica donde la fuente de electrones está en el centro frente a las dos rendijas. Cuando escribimos la amplitud de cada camino con la tercera regla, como vimos en la ecuación (4.8), las fases se suman, así que la fase total del camino \(k\) es "fase de fuente→rendija \(k\)" + "fase de rendija \(k\)→\(x\)". En ecuación, si la distancia de la fuente a la rendija \(k\) es \(d_k\) y la distancia de la rendija \(k\) al detector es \(r_k\), la fase total del camino \(k\) es \(pd_k/\hbar + pr_k/\hbar\). La diferencia de fase entre los dos caminos es:
En la configuración simétrica \(d_1 = d_2\), así que el primer término desaparece y la diferencia de fase se determina solo por la parte desde las rendijas hasta el detector.
🔵 Kai: Si la fuente de electrones estuviera descentrada, ¿cambiaría la conclusión?
🟡 Lina: La conclusión no cambiaría. En una configuración asimétrica, las distancias "fuente→rendija 1" y "fuente→rendija 2" difieren, así que se agrega una diferencia de fase extra correspondiente. Pero esa es una constante independiente de la posición del detector \(x\), así que solo desplaza todo el patrón de interferencia lateralmente; el espaciado de las franjas y el hecho de que "ocurre interferencia" siguen siendo los mismos. Como queremos ver el mecanismo de la interferencia, discutamos con la configuración simétrica que permite omitir esa constante extra.
Escribamos la diferencia de caminos como \(\Delta r = r_1 - r_2\). Como aprendimos antes, cuando una partícula libre se desplaza una distancia \(r\), la fase avanza \(pr/\hbar\). Así que la fase desde la rendija \(k\) hasta el detector \(x\) es \(\theta_k = pr_k/\hbar\). La diferencia de fase \(\delta = \theta_1 - \theta_2\) es:
⚪ Mei: La diferencia de fase es proporcional a la diferencia de caminos \(\Delta r = r_1 - r_2\).
🟡 Lina: Así es. Y como al mover la posición del detector \(x\), \(\Delta r\) cambia, \(\cos\delta\) oscila y se forma un patrón de franjas claras y oscuras —eso es el patrón de interferencia.
🔵 Kai: Con solo mover el detector lateralmente, el \(\cos\) oscila… ¡y eso se convierte en el patrón de franjas!
🟡 Lina: Transformemos esta ecuación un poco más. Primero, de la definición \(\hbar = h/(2\pi)\) reescribimos \(p/\hbar = 2\pi p/h\). Luego recordemos la relación de de Broglie \(\lambda = h/p\) que aprendimos en Cap. 2. Resolviendo para \(p\): \(p = h/\lambda\). Sustituyendo:
En el paso intermedio sustituimos \(p\) por \(h/\lambda\). La \(h\) se simplifica y finalmente la diferencia de fase se expresa solo con la longitud de onda \(\lambda\) y la diferencia de caminos \(\Delta r\).
Así, la diferencia de fase se expresa solo con la longitud de onda \(\lambda\) y la diferencia de caminos \(\Delta r\).
Cuando \(\Delta r\) es un múltiplo entero de la longitud de onda \(\lambda\) (\(\Delta r = \lambda, 2\lambda, 3\lambda, \ldots\)), \(\cos\delta = 1\) y hay interferencia constructiva; cuando es un múltiplo semi-entero (\(\Delta r = \lambda/2, 3\lambda/2, 5\lambda/2, \ldots\)), \(\cos\delta = -1\) y hay interferencia destructiva. Esto coincide completamente con el patrón de interferencia observado experimentalmente en Cap. 3.
🔵 Kai: Increíble…… Con solo las 3 reglas y la relación de de Broglie, el patrón de interferencia de la doble rendija sale cuantitativamente.
🟡 Lina: Así es. Y en ninguna parte de esta derivación se ha dicho "el electrón es una onda". Lo único que se ha dicho es la regla "la amplitud de probabilidad es un número complejo y se suman las amplitudes de caminos indistinguibles". La interferencia aparece naturalmente como consecuencia de la suma de números complejos.
✅ Verificación de comprensión: ¿Es necesaria la hipótesis de que "el electrón es una onda" para explicar la interferencia en el experimento de la doble rendija? En el marco de las 3 reglas, ¿cómo se explica la interferencia?
Respuesta
La hipótesis de que "el electrón es una onda" no es necesaria. En el marco de las 3 reglas, la interferencia aparece naturalmente como consecuencia matemática de las reglas "la amplitud de probabilidad es un número complejo y se suman las amplitudes de caminos indistinguibles". El refuerzo y la cancelación debidos a la diferencia de fase generan el patrón de interferencia.
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de la doble rendija, cuando la diferencia de caminos \(\Delta r\) es exactamente igual a la longitud de onda de de Broglie \(\lambda\), indica la diferencia de fase \(\delta\) y el tipo de interferencia (constructiva/destructiva).
Respuesta
\(\delta = 2\pi\Delta r / \lambda = 2\pi\). \(\cos(2\pi) = 1\) por lo que es interferencia constructiva (franja brillante).
📝 Ejercicios:
- Derivar el espaciado del patrón de interferencia de la doble rendija a partir de la ecuación de amplitudes → Problema M-3. "Observar" hace desaparecer la interferencia: explicación matemática
4.6 Extensión a casos más complejos¶
🟡 Lina: Para apreciar el poder de las 3 reglas, consideremos un caso un poco más complejo. Hay 2 paredes: en la primera hay rendijas 1 y 2, y en la segunda hay 3 rendijas: \(a\), \(b\), \(c\).
🔵 Kai: Los caminos aumentan de golpe. \(s \to 1 \to a \to x\), \(s \to 1 \to b \to x\), …… ¿cuántos en total?
⚪ Mei: La primera pared tiene 2 opciones, la segunda 3, así que \(2 \times 3 = 6\) en total.
🟡 Lina: He ilustrado todos los caminos en Fig. 4.7「Caso de 2 paredes con múltiples rendijas」. Las 6 líneas de diferentes colores representan todos los caminos posibles.
Fig. 4.7: Caso de 2 paredes con múltiples rendijas. Cuando la pared 1 tiene 2 rendijas y la pared 2 tiene 3, hay \(2 \times 3 = 6\) caminos de \(s\) a \(x\). La amplitud de cada camino es el producto de 3 etapas (tercera regla), y se suman las amplitudes de todos los caminos (segunda regla).
🟡 Lina: Se escribe la amplitud de cada camino con la tercera regla (multiplicación) y se suman todos los caminos con la segunda regla (suma).
🔵 Kai: Hay 6 productos de 3 amplitudes, y se suman todos. La estructura es la misma que antes.
🟡 Lina: Así es. No importa cuántas paredes haya ni cuántas rendijas, la regla es la misma. "Multiplicar cada etapa y sumar todos los caminos". Y al final se toma el cuadrado del valor absoluto para obtener la probabilidad.
⚪ Mei: Aunque aumente el número de paredes o rendijas, la forma de aplicar las 3 reglas no cambia.
🟡 Lina: Aquí quiero hacer un complemento importante. Si miras bien la ecuación (4.24), la información de las rendijas de la primera pared solo aparece en \(\langle j | i \rangle\) y \(\langle i | s \rangle\). La amplitud desde la segunda pared en adelante, \(\langle x | j \rangle\), no depende de por cuál rendija de la primera pared pasó la partícula.
🔵 Kai: Es decir, ¿una vez que se determina el "estado" tras pasar la primera pared, se pueden olvidar los detalles anteriores?
🟡 Lina: Exactamente. Feynman lo dice así: "Lo único que se necesita para predecir todo el futuro es la amplitud en cada rendija". Los detalles de dónde venía la partícula antes de llegar a la rendija están todos contenidos dentro de la amplitud. Esto es el germen del concepto de "estado" en mecánica cuántica, que trataremos formalmente a partir de Cap. 5.
✅ Verificación de comprensión: En la estructura de la ecuación (4.24), ¿la amplitud \(\langle x | j \rangle\) desde la segunda pared hasta el detector depende de por cuál rendija de la primera pared pasó la partícula? ¿Qué significado físico tiene esto?
Respuesta
No depende. La amplitud desde la rendija \(j\) de la segunda pared hasta el detector \(x\) no tiene relación con por cuál rendija de la primera pared la partícula llegó a \(j\). Esto significa que "si se conoce la amplitud en cierto punto, se puede predecir el futuro sin conocer los detalles del camino anterior", y es el germen del concepto de "estado" en mecánica cuántica.
✅ Verificación de comprensión: Si hay 3 paredes con \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\) rendijas en cada una, ¿cuántos son los caminos totales? Además, ¿de cuántos factores es el producto de la amplitud de cada camino?
Respuesta
El número total de caminos es \(n_1 \times n_2 \times n_3\). La amplitud de cada camino es el producto de 4 factores (fuente → pared 1, pared 1 → pared 2, pared 2 → pared 3, pared 3 → detector).
📝 Ejercicios:
- Desarrollar explícitamente la amplitud total en el caso de 2 paredes y contar el número de términos de interferencia → Problema M-1. Derivación de la fórmula general del término de interferencia
4.7 La frontera entre "distinguible" e "indistinguible"¶
🟡 Lina: Bien, hasta aquí hemos visto las 3 reglas y cómo usarlas. Por último, discutamos el punto más sutil y más importante de la mecánica cuántica. Es la frontera entre "distinguible" e "indistinguible".
🔵 Kai: En Cap. 3 se habló de que "si se observa por cuál rendija pasó, el patrón de interferencia desaparece", ¿verdad? ¿Tiene relación con eso?
🟡 Lina: Exactamente eso. Las 3 reglas tienen en realidad una premisa implícita.
Se suman las amplitudes solo cuando los estados finales son indistinguibles.
Cuando los estados finales son distinguibles en principio, se suman las probabilidades.
Desaparición de la interferencia por observación¶
🟡 Lina: Veámoslo concretamente. Consideremos un experimento donde se coloca una fuente de luz justo detrás de cada rendija de la doble rendija para detectar por cuál pasó el electrón. El mecanismo es este: justo detrás de la pared, en la posición exactamente intermedia entre las dos rendijas, se coloca una fuente de luz. Y junto a la rendija 1 se coloca un detector de fotones \(D_1\), y junto a la rendija 2 un detector de fotones \(D_2\). Es decir, imagina que están alineados de izquierda a derecha: "\(D_1\) — Rendija 1 — Fuente de luz — Rendija 2 — \(D_2\)". Cuando un fotón emitido por la fuente choca con el electrón y se dispersa, si el electrón está cerca de la rendija 1, el fotón rebota hacia la rendija 1 y entra en \(D_1\); si está cerca de la rendija 2, entra en \(D_2\) —es decir, según cuál detector se ilumina, se sabe la posición del electrón. Esto es una realización concreta con un aparato de "obtener información del camino" que discutimos en Cap. 3.
🔵 Kai: Entiendo, se le lanza un fotón para averiguar "en cuál está". Pero entonces la interferencia desaparece……
🟡 Lina: En este caso, la amplitud de "el electrón llega a \(x\) y el fotón se detecta en \(D_1\)" y la amplitud de "el electrón llega a \(x\) y el fotón se detecta en \(D_2\)" corresponden a estados finales diferentes.
⚪ Mei: No solo "el electrón está en \(x\)", sino que "dónde está el fotón" también forma parte del estado final.
🟡 Lina: Así es. El estado final donde el fotón está en \(D_1\) y el estado final donde está en \(D_2\) son distinguibles en principio. Por eso no se deben sumar las amplitudes. Se suman las probabilidades.
🟡 Lina: Consideremos el caso en que el fotón se detecta en \(D_1\). Aquí necesitamos ampliar un poco el alcance de la tercera regla.
La tercera regla dice "se multiplican las amplitudes de cada etapa que compone un camino". Antes multiplicamos las etapas de una sola partícula moviéndose "\(s\) → rendija → \(x\)", pero en realidad esta regla es más amplia. Se multiplican las amplitudes de todos los sucesos que componen un escenario —incluso si intervienen múltiples partículas.
🔵 Kai: ¿También se multiplica cuando intervienen múltiples partículas? ¿Por qué es así?
🟡 Lina: La idea es esta: en probabilidad clásica también, la probabilidad de que "salga 1 en el dado y además salga cara en la moneda" es el producto de cada probabilidad: \(1/6 \times 1/2\), ¿verdad? La probabilidad de que eventos independientes "ocurran simultáneamente" se multiplica. En mecánica cuántica, la tercera regla es exactamente la versión en amplitudes de esta estructura. "El electrón pasa por la rendija 1 y llega a \(x\)" y "el fotón se dispersa cerca de la rendija 1 y va a \(D_1\)" ocurren simultáneamente —esto son múltiples etapas que componen un único escenario, así que se aplica directamente la tercera regla (las amplitudes de procesos sucesivos se multiplican), resultando en el producto de las amplitudes de cada parte. Pero como son números complejos, la fase también se multiplica —esa es la única diferencia con lo clásico.
🔵 Kai: Es decir, "el electrón se mueve así" y "el fotón se mueve así" forman un conjunto, ¿y la amplitud del conjunto completo es el producto de cada parte? La misma estructura que la multiplicación de probabilidades, pero como son números complejos, la fase también se acumula.
🟡 Lina: Exacto. El fotón emitido por la fuente de luz también es un cuanto, así que su comportamiento también se describe con amplitudes. Cuando el electrón pasa por la rendija 1, llamemos \(a\) a la amplitud de que el fotón emitido por la fuente se disperse cerca de la rendija 1 y llegue al detector \(D_1\). La amplitud de que el electrón pase por la rendija 1 y llegue a \(x\) es \(\phi_1\). La amplitud del escenario completo es, por la tercera regla, \(a \cdot \phi_1 = a\phi_1\).
⚪ Mei: Ya veo, lo que la profesora Lina dijo antes de que "es la misma estructura que la multiplicación de probabilidades clásicas, pero como son números complejos la fase también se acumula" se está usando aquí de la misma manera.
🔵 Kai: Espera un momento. Si el fotón golpea al electrón, ¿no cambia el movimiento del electrón? ¿Se puede seguir usando \(\phi_1\) tal cual?
🟡 Lina: Buena observación. Estrictamente, la interacción con el fotón cambia ligeramente el momento del electrón. Pero ahora queremos ver la esencia de la discusión —"si es distinguible, la interferencia desaparece"— así que consideramos el caso en que la influencia del fotón es pequeña (la amplitud del electrón \(\phi_1\) casi no cambia). Si la energía del fotón es suficientemente pequeña comparada con la energía cinética del electrón, esta aproximación es buena. Por cierto, como aprendimos en Cap. 2, la energía del fotón es \(E = hf\), así que cuanto mayor sea la longitud de onda de la luz, menor es la energía y menor la influencia sobre el electrón. Este punto se conectará con la discusión posterior.
🟡 Lina: De manera similar, llamemos \(b\) a la amplitud de que el electrón pase por la rendija 2 pero el fotón se disperse hacia \(D_1\). Como se están acumulando los símbolos, organicémoslos aquí.
| Camino del electrón | Amplitud de que el fotón vaya a \(D_1\) | Amplitud de que el fotón vaya a \(D_2\) |
|---|---|---|
| Rendija 1 | \(a\) (el cercano) | \(b'\) (el lejano) |
| Rendija 2 | \(b\) (el lejano) | \(a'\) (el cercano) |
\(a\) y \(a'\) son las amplitudes de que "el fotón vaya al detector cercano a la rendija por la que pasó el electrón", y \(b\) y \(b'\) son las amplitudes de que "vaya al detector lejano". Si la configuración es simétrica, \(a = a'\) y \(b = b'\).
🔵 Kai: Entiendo, \(a\) es la amplitud de "ir al detector correcto" y \(b\) es la amplitud de "ir al detector equivocado".
🟡 Lina: Así es. Usando estos símbolos, construyamos las amplitudes para cada estado final.
🟡 Lina: Primero consideremos el estado final "el electrón está en \(x\) y el fotón está en \(D_1\)". Hay 2 caminos que llevan a este estado final. Uno es vía rendija 1: la amplitud de que el electrón pase por la rendija 1 y llegue a \(x\) es \(\phi_1\), y la amplitud de que el fotón se disperse cerca de la rendija 1 y llegue a \(D_1\) es \(a\); por la tercera regla se multiplican: \(a\phi_1\). El otro es vía rendija 2: de manera similar, se multiplican \(\phi_2\) y \(b\): \(b\phi_2\). Como ambos caminos llevan al mismo estado final (electrón en \(x\), fotón en \(D_1\)), por la segunda regla se suman las amplitudes:
🔵 Kai: Aquí también se usa directamente "los caminos que llevan al mismo estado final se suman en amplitud".
🟡 Lina: Ahora consideremos el estado final "el electrón está en \(x\) y el fotón está en \(D_2\)". Con la misma lógica, vía rendija 1 la amplitud de que el fotón vaya a \(D_2\) es \(b'\) (el lejano), vía rendija 2 es \(a'\) (el cercano):
🟡 Lina: Correcto. En configuración simétrica \(a = a'\), \(b = b'\). Y si la longitud de onda de la luz es suficientemente más corta que la separación entre rendijas, el fotón puede "distinguir" en cuál rendija está el electrón, así que va casi con certeza al detector cercano —es decir, \(b \approx 0\), \(b' \approx 0\).
⚪ Mei: Cuanto más corta es la longitud de onda, mayor es el "poder de resolución", así que \(b\) se acerca a cero.
🟡 Lina: Bien, calculemos la probabilidad de que el electrón llegue a \(x\). El estado final "fotón en \(D_1\)" y el estado final "fotón en \(D_2\)" son distinguibles en principio —basta mirar los detectores. Para estados finales distinguibles entre sí, no se suman amplitudes sino probabilidades. Por tanto:
🔵 Kai: Eh, esto tiene una forma completamente diferente al \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) de la ecuación (4.20).
🟡 Lina: Así es. Si la longitud de onda de la luz es suficientemente corta y se puede determinar completamente por cuál rendija pasó (caso \(b = 0\), \(b' = 0\)), cada término de la ecuación (4.27) se convierte en \(|a\phi_1 + 0|^2 = |a\phi_1|^2\) y \(|0 + a'\phi_2|^2 = |a'\phi_2|^2\). Aquí confirmemos algo sobre el valor absoluto del producto de dos números complejos. En la ecuación (4.8), el valor absoluto de \(z_1 z_2\) era \(r_1 r_2 = |z_1|\cdot|z_2|\). Es decir, \(|z_1 z_2| = |z_1|\cdot|z_2|\) —el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos. Por tanto \(|a\phi_1| = |a|\cdot|\phi_1|\), y su cuadrado es \(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\). En consecuencia:
Cada término contiene solo \(\phi_1\) o solo \(\phi_2\), y no existe un término donde \(\phi_1\) y \(\phi_2\) se mezclen (es decir, un término de interferencia como \(\phi_1\phi_2^*\)). Por tanto el término de interferencia desaparece. Aquí \(|a|^2\) y \(|a'|^2\) son probabilidades de dispersión del fotón, que en general no son 1, pero son constantes que no dependen de la posición del detector \(x\). En configuración simétrica \(a = a'\), así que \(P(x) \approx |a|^2(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2)\). El factor \(|a|^2\) que multiplica todo es una constante independiente de \(x\), así que la forma de la probabilidad al variar \(x\) es proporcional a \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\) —es decir, un patrón sin franjas de interferencia, solo la superposición de dos montículos.
🔵 Kai: ¡Ooh, el término de interferencia desapareció limpiamente! Como \(\phi_1\) y \(\phi_2\) no se mezclan, no hay ningún término \(\cos\delta\) en ningún sitio.
⚪ Mei: Se ve muy claramente la consecuencia matemática de "ser distinguible".
🔵 Kai: Entonces, al revés, ¿qué pasa si la longitud de onda de la fuente de luz es muy larga?
🟡 Lina: Buena pregunta. Cuando la longitud de onda de la luz es mucho mayor que la separación entre rendijas, el fotón "no puede distinguir" cerca de cuál rendija se dispersó. Intuitivamente es así: cuando se intenta distinguir dos puntos usando una onda, la precisión está limitada al orden de la longitud de onda. Por ejemplo, si intentas detectar pequeñas irregularidades en la superficie del agua usando las ondulaciones de una piedra lanzada al estanque, si la longitud de onda es mayor que la separación entre irregularidades, una sola cresta cubre ambas irregularidades a la vez y "no se da cuenta" de la diferencia, ¿verdad? La luz funciona igual: si la separación entre rendijas es mucho menor que la longitud de onda \(\lambda\), para el fotón las dos rendijas parecen "prácticamente el mismo lugar". En ecuación, \(a\) (amplitud de que el fotón vaya a \(D_1\) cuando el electrón está en la rendija 1) y \(b\) (amplitud de que el fotón vaya a \(D_1\) cuando el electrón está en la rendija 2) se vuelven aproximadamente iguales.
🔵 Kai: Entiendo, si la longitud de onda de las ondulaciones es mayor que las irregularidades, "no se puede notar" su existencia. Intentar distinguir rendijas separadas 1 mm con luz de longitud de onda 1 m es imposible.
🟡 Lina: Así es. Es como tratar de leer letras pequeñas con "ojos borrosos": no se puede distinguir cerca de cuál rendija se dispersó. En ecuación, que la longitud de onda del fotón sea demasiado larga para "distinguir" las dos rendijas significa que, tanto si el electrón está en la rendija 1 como en la 2, la probabilidad de que el fotón vaya a \(D_1\) es casi la misma —es decir, \(a \approx b\), \(a' \approx b'\). Entonces la ecuación (4.25) se convierte en \(\Phi_1 = a\phi_1 + b\phi_2 \approx a(\phi_1 + \phi_2)\), y \(|\Phi_1|^2 \approx |a|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\) —¡el término de interferencia reaparece! La ecuación (4.27) se acerca a la ecuación (4.20). Cuando la información de "por cuál pasó" proporcionada por el fotón se vuelve ambigua, la interferencia se recupera.
⚪ Mei: Ya veo, cuando \(a \approx b\) se puede factorizar y vuelve a la forma \(|\phi_1 + \phi_2|^2\), así que tiene la misma estructura que el caso con interferencia.
🟡 Lina: Exacto. Esta es la explicación matemática del fenómeno "al observar, la interferencia desaparece" que vimos en Cap. 3.
🟡 Lina: Si comparamos lado a lado las reglas de cálculo de la probabilidad clásica y la mecánica cuántica, se ven la similitud estructural y la diferencia decisiva.
Tabla 4.2: Comparación entre las reglas de probabilidad clásica y de amplitudes en mecánica cuántica
| Operación | Probabilidad clásica | Mecánica cuántica (amplitudes) |
|---|---|---|
| Qué se suma | Probabilidades (reales positivos) | Amplitudes (complejos) |
| Qué se multiplica | Probabilidades (reales positivos) | Amplitudes (complejos) |
| Alternativas paralelas | \(P = P_1 + P_2\) | \(\phi = \phi_1 + \phi_2\) |
| Etapas en serie | \(P = P_A \times P_B\) | \(\phi = \phi_A \cdot \phi_B\) |
| Observable | La probabilidad misma | \(P = \lvert\phi\rvert^2\) |
| Interferencia | No (siempre positiva) | Sí (cancelación posible por la fase) |
El corazón de las reglas¶
🟡 Lina: Resumamos la esencia aquí.
Reglas de la mecánica cuántica:
- Procesos con estado final indistinguible en principio → se suman las amplitudes (ocurre interferencia)
- Procesos con estado final distinguible en principio → se suman las probabilidades (no ocurre interferencia)
🔵 Kai: Lo de "en principio" es importante, ¿verdad? No si se observó realmente o no, sino si es distinguible en principio.
🟡 Lina: Observación muy importante. Incluso si no se miran los datos de los detectores de fotones \(D_1\), \(D_2\), una vez que el fotón entró en uno de los detectores, en principio es distinguible. Por tanto la interferencia desaparece.
⚪ Mei: Es decir, no se trata de "no lo sabía" sino de "podría saberlo".
🟡 Lina: Así es. Esta es una de las partes más profundas de la mecánica cuántica, relacionada con la conexión entre "información" y "física". Lo exploraremos en profundidad nuevamente en la paradoja EPR de Cap. 23 y el problema de la medición de Cap. 25.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo afecta a la presencia o ausencia de interferencia la diferencia entre "distinguible en principio" y "realmente observado"?
Respuesta
Lo que determina la presencia o ausencia de interferencia no es "si se observó realmente" sino "si es distinguible en principio". Incluso si no se miran los datos del detector, si la información que distingue los caminos está registrada en algún lugar del entorno (si es distinguible en principio), la interferencia desaparece.
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de la doble rendija, se colocó una fuente de luz detrás de cada rendija, pero no se miraron en absoluto los datos del detector de fotones. ¿Aparece el patrón de interferencia?
Respuesta
No aparece. No importa si se miraron o no los datos de en cuál detector entró el fotón; desde el momento en que el fotón fue dispersado, "por cuál rendija pasó" se vuelve distinguible en principio, por lo que se suman probabilidades y no amplitudes. El término de interferencia desaparece.
📝 Ejercicios:
- Discutir cualitativamente la relación entre la longitud de onda de la fuente de luz y la visibilidad del patrón de interferencia → Problema M-5. Relación entre diferencia de fase y diferencia de camino
4.8 Visión general de este capítulo — El significado de las 3 reglas¶
🟡 Lina: Repasemos lo que hemos aprendido en este capítulo.
🔵 Kai: Reflexionando sobre lo de hoy…… entendí que se necesita la fase para explicar la interferencia, y por eso aparecen los números complejos. Pero si solo es para representar la fase, parece que \(\cos\theta\) con números reales también serviría. "¿Por qué las reglas de la naturaleza obedecen precisamente la estructura matemática de los números complejos?" —eso todavía me inquieta.
🟡 Lina: Es una pregunta muy profunda. Solo te daré una pista: con solo \(\cos\theta\) no se obtiene "un sistema cerrado bajo suma y multiplicación". Por ejemplo, \(\cos\theta_1 \times \cos\theta_2\) se descompone por la fórmula del producto en una suma de \(\cos\) y \(\cos\), pero el resultado no es "un solo \(\cos\)" —es decir, no hay una estructura concisa donde "al multiplicar se vuelve un \(\cos\) con una sola fase". Con números complejos, \(e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}\): el resultado de la multiplicación vuelve limpiamente a ser un número complejo con una sola fase. Esta "estructura cerrada" es indispensable para implementar naturalmente la tercera regla (multiplicar amplitudes). De hecho, existen investigaciones que preguntan "¿se puede construir la mecánica cuántica solo con amplitudes reales?" o "¿qué pasa con cuaterniones?", y están siendo descartadas experimentalmente. Pero la respuesta definitiva a "¿por qué números complejos?" sigue siendo un tema de investigación activa. En esta etapa, aceptemos el hecho de que "el modelo con números complejos concuerda con los experimentos" y avancemos.
🔵 Kai: Entiendo…… "Para que la multiplicación sea cerrada se necesitan números complejos, y con solo \(\cos\) la tercera regla no funciona bien". No me queda del todo claro, pero partiré de "concuerda con los experimentos" y seguiré adelante.
🟡 Lina: Bien. Y resumiendo la visión general de las reglas de hoy: las amplitudes de caminos indistinguibles se suman, las amplitudes de procesos sucesivos se multiplican. No importa cuántas paredes haya ni cuántas rendijas, la amplitud se construye combinando estas dos reglas.
⚪ Mei: Como la estructura es simple, se puede escribir la amplitud con el mismo procedimiento para cualquier configuración por compleja que sea.
🔵 Kai: Y como la amplitud es un número complejo, surge la diferencia de fase, y al sumar ocurre interferencia. Esa era la verdadera naturaleza del patrón de interferencia de la doble rendija. Pero algo que me preocupa es: "¿indistinguible para quién?" Si queda información en algún lugar del universo, ya no vale, ¿verdad? Esa frontera de "queda información", ¿se puede determinar con rigor?
🟡 Lina: Es una pregunta muy profunda. De hecho, existe un marco para tratar cuantitativamente "dónde y cuánta información queda", y ese es el tema central que se aborda frontalmente en el problema de la medición de Cap. 25. Por ahora, concentrémonos en dominar la regla de "si es distinguible en principio o no".
🔵 Kai: Espera un momento. En la discusión de la fuente de luz de antes, dijiste que con longitud de onda larga se acerca a "indistinguible". Eso significa que hay un gradiente entre "completamente distinguible" y "completamente indistinguible", ¿verdad? Si solo se puede distinguir a medias, ¿la interferencia también se queda a medias?
🟡 Lina: Exactamente así es. Cuando \(b\) toma un valor entre cero y \(a\) en la ecuación (4.27), el término de interferencia no desaparece completamente pero se debilita. La intensidad de la interferencia cambia continuamente según "cuánto se puede distinguir". La ecuación (4.27) de hoy describe precisamente ese estado intermedio —si \(b = 0\), interferencia cero; si \(b = a\), interferencia máxima; entre medias cambia continuamente. La discusión cuantitativa se profundizará en Cap. 25.
⚪ Mei: Es decir, cuando el "grado de distinguibilidad" cambia continuamente, la intensidad de la interferencia también cambia continuamente. No es blanco y negro sino un gradiente.
🔵 Kai: Me sorprendió que no sea completamente blanco y negro sino que haya un gradiente. Pero si la ecuación (4.27) describe también los estados intermedios, por ahora puedo avanzar usando "si es distinguible en principio o no" como criterio de juicio. ……Pero, ¿en problemas reales no se duda al juzgar "distinguible en principio"?
🟡 Lina: En la práctica, basta con ver "si hay una diferencia física en el estado final". Si el fotón entró en uno u otro detector, si el estado interno de la partícula cambió —el criterio de juicio es si queda o no una huella física de ese tipo. Trataremos muchos ejemplos concretos en los capítulos siguientes, y allí irás desarrollando la intuición.
🔵 Kai: "Si queda o no una huella física". Para que me quede del todo claro necesito ver ejemplos concretos, pero como criterio de juicio es simple. ……Pero, "queda una huella", ¿incluye por ejemplo ser dispersado por una molécula de aire? Si es así, ¿no significaría que en el mundo cotidiano la interferencia siempre desaparece?
🟡 Lina: Exactamente así es. A escalas cotidianas, la interacción con el entorno hace que la información del camino se filtre, por lo que la interferencia cuántica casi nunca se observa. Las moléculas de aire y los fotones actúan espontáneamente como "observadores" registrando la información del camino. Esto conecta con la pregunta "¿por qué el mundo cotidiano parece clásico?". Lo trataremos en detalle como decoherencia en Cap. 25.
🔵 Kai: Entonces, al revés, si quieres ver interferencia tienes que aislar completamente las interacciones con el entorno…… ¿pero es posible aislar completamente? Incluso en el vacío, la gravedad no se puede apantallar.
🟡 Lina: El aislamiento completo es imposible, pero en la práctica basta con identificar "las causas principales que destruyen la interferencia" y suprimirlas. En cuanto a la gravedad, a la escala de las partículas que se manejan en los experimentos actuales, la decoherencia gravitatoria es despreciablemente pequeña —los principales culpables de destruir la interferencia son las colisiones con fotones térmicos y gas residual. Así que haciendo vacío y enfriando a temperaturas extremadamente bajas, se puede mantener la interferencia suficientemente largo. Los ordenadores cuánticos hacen exactamente eso: reducir al máximo la "observación entrometida" del entorno. Las consecuencias de que el aislamiento completo sea imposible se tratan en Cap. 25.
🔵 Kai: Ya veo, no es la gravedad sino los fotones térmicos y las moléculas de gas los principales culpables. Entonces se puede manejar con vacío + temperaturas extremadamente bajas. Pero si "es completamente imposible", eso significa que cualquier sistema cuántico eventualmente pierde la interferencia…… ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. Los sistemas cuánticos reales siempre interactúan poco a poco con el entorno, así que con el tiempo la interferencia se pierde gradualmente. Los investigadores en computación cuántica intentan desesperadamente alargar el "tiempo de coherencia" —el tiempo durante el cual se mantiene la interferencia— precisamente por esto. Esta es la esencia de la decoherencia, y será el tema central de Cap. 25. En esta etapa, basta con retener que "cuando la interacción con el entorno filtra información del camino, la interferencia desaparece" —esto es una consecuencia directa de las reglas que aprendimos hoy.
⚪ Mei: En resumen, si los estados finales son distinguibles o no determina si "se suman amplitudes" o "se suman probabilidades". Y cuando el "grado de distinguibilidad" cambia continuamente, la intensidad de la interferencia también cambia continuamente —el \(b\) de la ecuación (4.27) es el parámetro que representa ese grado. Cuando la observación hace que sean distinguibles, la interferencia desaparece.
🟡 Lina: Resumen perfecto. Quiero enfatizar una cosa aquí: las reglas de hoy son muy generales. No solo la doble rendija, sino los electrones en un átomo, la dispersión de fotones, las reacciones de partículas elementales —todos los fenómenos que trata la mecánica cuántica se describen en el marco de estas 3 reglas.
🔵 Kai: Pero para resolver problemas concretos, necesitas conocer los valores de la amplitud de cada etapa, ¿verdad? Como \(\langle x | 1 \rangle\) o \(\langle 1 | s \rangle\).
🟡 Lina: Así es. Hoy aprendimos "la estructura de las reglas". En el próximo capítulo, usando como tema un sistema físico concreto —partículas de espín 1/2 y el experimento de Stern-Gerlach (Stern-Gerlach)— veremos cómo se determinan los valores de las amplitudes. Allí podrás experimentar cómo funcionan concretamente las reglas de hoy.
Avance del próximo capítulo¶
🟡 Lina: Hoy aprendimos "las reglas del juego" que son las 3 reglas de las amplitudes de probabilidad. Pero aunque conozcas las reglas, si no sabes cómo mover las piezas no puedes jugar.
En el próximo Cap. 5, tomaremos el espín 1/2 —el sistema cuántico más simple. En el experimento de Stern-Gerlach, un haz de átomos de plata se divide exactamente en 2: "arriba" y "abajo" —describiremos cuantitativamente ese sorprendente resultado experimental con las 3 reglas de hoy.
Lo que aparecerá naturalmente allí es el germen del espacio de Hilbert (Hilbert), el escenario matemático de la mecánica cuántica. Representar "estados" como conjuntos de 2 números complejos, sumarlos y multiplicarlos —las 3 reglas de hoy empezarán a funcionar como cálculos con valores numéricos concretos.
Referencias¶
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Ch. 3: "Probability Amplitudes" (1965). Fuente original de las 3 reglas de las amplitudes de probabilidad. La estructura argumental de este capítulo se basa en este capítulo.
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Ch. 1 (2021). Enfoque educativo que parte del experimento de Stern-Gerlach para introducir los conceptos de amplitud y estado. Se referenciará formalmente a partir del Cap. 5.
- P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed., Ch. 1 (1958). Fuente original de la notación bra-ket. La formulación más concisa del "principio de superposición".
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