Capítulo 3 Experimento de la doble rendija — El colapso del determinismo y el realismo¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En Cap. 1 vimos que, a partir de tres crisis —la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y la estabilidad del átomo—, la discretización (cuantización) de la energía resulta inevitable. En Cap. 2, a través de la hipótesis de ondas de materia de de Broglie y los experimentos de difracción de electrones, confirmamos que las partículas también poseen propiedades ondulatorias. Sin embargo, ¿qué significa concretamente que "una partícula se comporta como una onda"? ¿Qué es lo que "ondula"? El experimento de este capítulo enfrenta esta pregunta de manera directa.
Objetivo de este capítulo
Seguiremos en detalle el experimento de la doble rendija con electrones (tanto como experimento mental como experimento real) y derivaremos las siguientes tres conclusiones: 1. Los electrones se detectan individualmente como partículas, pero al acumular muchos muestran un patrón de interferencia 2. Si se determina "por cuál rendija pasó", la interferencia desaparece 3. Ni la imagen clásica de partícula ni la de onda pueden explicar completamente este fenómeno — el papel esencial de la probabilidad y el colapso del determinismo
3.1 Doble rendija con balas — Línea base de partículas clásicas¶
🟡 Lina: Hoy vamos a tratar el experimento más famoso de la mecánica cuántica: el experimento de la doble rendija. Pero en lugar de lanzar electrones directamente, primero confirmemos qué pasaría si hiciéramos el mismo experimento con partículas cotidianas — balas.
🔵 Kai: ¿Doble rendija con balas? Suena un poco violento.
🟡 Lina: Tranquilo, es un experimento mental. El montaje es el siguiente:
- Una ametralladora dispara balas en direcciones aleatorias
- Frente a ella hay una pared con dos rendijas (rendija 1 y rendija 2)
- Detrás de la pared hay una placa de detención con un detector que se puede mover a lo largo de la posición \(x\)
Para las balas sería más natural llamarlas "agujeros", pero como después vamos a comparar con experimentos de electrones y ondas, usaremos "rendija" y "agujero" como sinónimos. Ambos se refieren a una abertura en la pared.
🟡 Lina: Supongamos que las balas son ideales: "absolutamente indestructibles". No se parten por la mitad. Cuando llegan al detector, siempre llegan como una bala entera. Y como la pared solo tiene dos rendijas, cada bala necesariamente pasa por una u otra. Es decir, "pasar por la rendija 1" y "pasar por la rendija 2" no ocurren simultáneamente — son eventos mutuamente excluyentes en términos de probabilidad.
⚪ Mei: Si no se rompen ni atraviesan la pared, solo pueden pasar por la rendija 1 o la rendija 2 — son eventos mutuamente excluyentes.
🟡 Lina: Exacto. Disparamos balas durante un tiempo suficientemente largo y medimos la probabilidad de llegada \(P(x)\) en cada posición \(x\) del detector. Comparemos tres casos:
- Cuando se tapa la rendija 2: las balas solo pasan por la rendija 1 → distribución de probabilidad \(P_1(x)\)
- Cuando se tapa la rendija 1: las balas solo pasan por la rendija 2 → distribución de probabilidad \(P_2(x)\)
- Cuando ambas rendijas están abiertas: distribución de probabilidad \(P_{12}(x)\)
🔵 Kai: Si ambas están abiertas, ¿no sería simplemente sumar \(P_1\) y \(P_2\)? Porque cada bala pasa por una u otra.
🟡 Lina: Exactamente. El resultado experimental es:
⚪ Mei: Como "pasar por el agujero 1" y "pasar por el agujero 2" son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad total es la suma de cada probabilidad — es exactamente la regla de adición que aprendimos en probabilidad del instituto.
🟡 Lina: Así es. A este resultado lo llamaremos "sin interferencia (no interference)". Mira la Fig. 3.1「Diagrama conceptual del experimento de la doble rendija con balas」 donde se resume la visión general del experimento. Por qué lo llamamos "sin interferencia" quedará claro cuando veamos el experimento con ondas en la siguiente sección. El "patrón de interferencia" que veremos a continuación no aparece en el caso de las balas — ese es el significado de "sin interferencia".
Fig. 3.1: Diagrama conceptual del experimento de la doble rendija con balas. Las balas disparadas por la ametralladora pasan por uno u otro agujero y golpean la pared siguiendo la distribución de probabilidad \(P_{12} = P_1 + P_2\). No aparece el "patrón de interferencia" que veremos en la siguiente sección.
✅ Verificación de comprensión: Explica la razón física por la cual \(P_{12} = P_1 + P_2\) se cumple en el experimento de la doble rendija con balas.
Respuesta
Las balas son partículas indestructibles que necesariamente pasan por el agujero 1 o el agujero 2. "Pasar por el agujero 1" y "pasar por el agujero 2" son eventos mutuamente excluyentes, por lo que, según la regla de adición de probabilidades, la probabilidad total es la suma de cada probabilidad individual.
3.2 Doble rendija con ondas en el agua — Estructura matemática de la interferencia¶
🟡 Lina: Ahora hagamos el mismo experimento con ondas en la superficie del agua. Colocamos una fuente de ondas en un tanque poco profundo que emite ondas circulares. La pared tiene dos rendijas y al otro lado ponemos un detector. El detector mide la intensidad de la onda. La intensidad es una magnitud que representa la cantidad de energía de la onda — puedes pensar que cuanto más violentamente oscila la onda, mayor es la intensidad.
🔵 Kai: ¿Cómo se calcula concretamente la intensidad? Es diferente de la altura de la onda en sí, ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. Escribiremos el desplazamiento de la superficie del agua como \(h\). Es la misma letra que la constante de Planck, pero en esta sección hablamos de ondas en el agua así que no las confundas — distínguelas por el contexto. Ya usamos el mismo símbolo en el Prólogo. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud (el valor máximo de la oscilación) — ¿por qué al cuadrado? Porque la energía de una onda es mayor cuanto mayor es la amplitud de oscilación, y físicamente es proporcional al cuadrado de la amplitud. Puedes pensar que cada punto de la superficie del agua oscila arriba y abajo como un resorte, así que por la misma razón por la que la energía elástica de un resorte es proporcional al cuadrado del desplazamiento \(\frac{1}{2}kx^2\), la energía de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud.
🔵 Kai: Entiendo, como cada punto de la onda oscila como un resorte, la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud... eso me queda claro. Pero, ¿por qué van a aparecer números complejos a partir de aquí?
🟡 Lina: Buena pregunta. Para calcular la interferencia que viene a continuación, vamos a representar \(h\) como un número complejo. Cuando se escribe en forma compleja, lo que en la física del instituto se llama "amplitud" (el valor máximo real de la oscilación) corresponde a \(|h|\) (el valor absoluto del número complejo). Por eso la intensidad se escribe como \(I \propto |h|^2\) — al tomar el cuadrado del valor absoluto obtenemos un valor real positivo. Te adelanto la razón: una onda tiene dos informaciones, la "amplitud (magnitud de la oscilación)" y la "fase (en qué etapa de cresta-valle se encuentra)". Con un solo número real solo puedes representar la amplitud, pero con un número complejo puedes escribir \(h = |h|e^{i\theta}\) y condensar tanto la amplitud \(|h|\) como la fase \(\theta\) en un solo número. Y cuando sumas dos ondas, la diferencia de fase produce automáticamente el efecto de interferencia — esto lo veremos en el cálculo que viene a continuación.
Veámoslo con un ejemplo concreto. Supongamos que hay dos ondas de amplitud 1, una en la cresta (fase \(0\)) y otra en el valle (fase \(\pi\)). En números reales: \(h_1 = 1\), \(h_2 = -1\), y al sumar \(h_1 + h_2 = 0\) — se cancelan. En números complejos: \(h_1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0} = 1\), \(h_2 = 1 \cdot e^{i\pi} = -1\), el mismo resultado. Pero ¿y si la fase fuera un valor intermedio como \(\pi/3\)? Solo con números reales no puedes representar "amplitud 1 y fase \(\pi/3\)" en un solo número. Con números complejos puedes escribir \(h = e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3)\), y con solo sumar el efecto de interferencia aparece automáticamente.
⚪ Mei: Es decir, con números complejos puedes empaquetar "magnitud" y "temporización" en un solo número, y la interferencia aparece automáticamente al sumar — es una herramienta muy conveniente.
🟡 Lina: Exacto. En resumen, si escribimos \(h = |h|e^{i\theta}\), entonces \(|h|\) es la amplitud, \(\theta\) es la fase, y al sumar dos ondas el efecto de interferencia se refleja automáticamente. Cuando calculamos la magnitud física observable (la intensidad), tomamos \(|h|^2\), así que el resultado final es un número real.
Ahora investiguemos los mismos tres casos que con las balas:
- Cuando se tapa el agujero 2: intensidad de la onda que se propaga desde el agujero 1 → \(I_1(x) = |h_1(x)|^2\)
- Cuando se tapa el agujero 1: intensidad de la onda que se propaga desde el agujero 2 → \(I_2(x) = |h_2(x)|^2\)
- Cuando ambos agujeros están abiertos: intensidad \(I_{12}(x) = ?\)
🔵 Kai: Como es una onda, podemos usar el principio de superposición. Si ambos están abiertos, la altura de la onda será \(h_1 + h_2\).
🟡 Lina: Correcto. Ahora calcula la intensidad.
⚪ Mei: La intensidad es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud, así que \(I_{12} = |h_1 + h_2|^2\).
🟡 Lina: Así es. Vamos a desarrollar esto. Usaremos la fórmula para desarrollar el cuadrado del valor absoluto de un número complejo. Escribimos \(h_1\) y \(h_2\) en forma polar. La forma polar es una manera de representar un número complejo como "magnitud × rotación" — al escribir \(h = |h|e^{i\theta}\), \(|h|\) representa la magnitud de la amplitud y \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) (fórmula de Euler) representa la rotación de fase. Es la misma notación que cuando escribimos la onda de de Broglie como \(e^{i(kx - \omega t)}\) en Cap. 2. Recordarás que en el instituto escribías los números complejos como \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Usando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), esto se puede abreviar como \(re^{i\theta}\) — la relación que introdujimos en Cap. 2. Lo que importa para el cálculo actual es solo la correspondencia "cuando escribimos \(e^{i\theta}\) nos referimos a \(\cos\theta + i\sin\theta\)", con eso basta. Si escribimos \(h_1 = |h_1|e^{i\theta_1}\), \(h_2 = |h_2|e^{i\theta_2}\), entonces \(\theta_1\), \(\theta_2\) son las fases de cada onda cuando llegan a la posición \(x\) del detector — el ángulo que indica en qué etapa de "cresta" y "valle" se encuentra la onda.
🔵 Kai: La forma polar la vimos en el capítulo anterior, así que no hay problema. Y queremos desarrollar \(|h_1 + h_2|^2\), ¿verdad? ¿Se desarrolla normalmente como \((h_1 + h_2)^2\)?
🟡 Lina: Casi. Como es el cuadrado del valor absoluto, es un poco diferente de elevar al cuadrado directamente. Para desarrollar \(|h_1 + h_2|^2\), es conveniente reescribir el cuadrado del valor absoluto como un "producto" — así podemos usar la propiedad distributiva (abrir paréntesis). La herramienta para esto es el conjugado complejo (complex conjugate).
Antes, una convención de notación. En el Prólogo escribimos el conjugado complejo como \(\bar{z}\), pero en física el estándar es escribir \(z^*\). De ahora en adelante usaremos esta notación. El significado es exactamente el mismo — solo se invierte el signo de la parte imaginaria.
Para un número complejo \(h\), el que resulta de invertir el signo de la parte imaginaria se llama conjugado complejo y se escribe \(h^*\). Por ejemplo, si \(h = 3 + 2i\) entonces \(h^* = 3 - 2i\). Y se cumple \(|h|^2 = h^* h\). Comprobémoslo: \(h^* h = (3 - 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13\), que coincide con \(3^2 + 2^2 = 13\). En general, si \(h = a + bi\) entonces \(h^* h = (a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2 = |h|^2\).
⚪ Mei: Es decir, al reescribir el cuadrado del valor absoluto como el producto \(z^* z\), podemos usar la propiedad distributiva.
🟡 Lina: Exacto. Usemos esto para desarrollar \(|h_1 + h_2|^2\). Con \(|z|^2 = z^* z\) y \(z = h_1 + h_2\), tenemos \(|h_1 + h_2|^2 = (h_1 + h_2)^*(h_1 + h_2)\). Luego, el conjugado complejo de una suma es la suma de los conjugados complejos — es decir \((h_1 + h_2)^* = h_1^* + h_2^*\). Esto se verifica directamente por la definición. Si \(h_1 = a + bi\), \(h_2 = c + di\), entonces \(h_1 + h_2 = (a+c) + (b+d)i\), y su conjugado complejo es \((a+c) - (b+d)i = (a - bi) + (c - di) = h_1^* + h_2^*\).
Usando esto:
🔵 Kai: Los primeros dos términos \(|h_1|^2 + |h_2|^2\) son las intensidades de cada onda por separado. Los últimos dos términos \(h_1^* h_2 + h_2^* h_1\) son la parte "extra" que aparece... ¿estos son el término de interferencia?
🟡 Lina: Sí, precisamente eso es el término de interferencia. Calculemos concretamente los últimos dos términos. Antes escribimos \(h = |h|e^{i\theta}\) — esta escritura de "magnitud × rotación" se llama forma polar. Sustituyamos la forma polar. Aquí una verificación — ¿cuál es el conjugado complejo de la forma polar \(h = |h|e^{i\theta}\)? Como \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), al invertir el signo de la parte imaginaria obtenemos \(\cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}\). Es decir, \(h^* = |h|e^{-i\theta}\) — solo se invierte el signo del exponente. Usando esto:
De manera similar \(h_2^* h_1 = |h_1||h_2|e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\). Al sumar estos dos, usando la relación \(e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = (\cos\alpha + i\sin\alpha) + (\cos\alpha - i\sin\alpha) = 2\cos\alpha\):
⚪ Mei: Con \(e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cos\alpha\) la parte imaginaria desaparece, así que el término de interferencia es real.
🟡 Lina: Exacto. Como la intensidad física es real, el término de interferencia que se le suma también debe ser real — todo es consistente. Aquí \(\delta = \theta_2 - \theta_1\) es la cantidad llamada diferencia de fase (phase difference) entre las dos ondas. Como \(\cos\) es una función par, \(\cos(\theta_2 - \theta_1) = \cos(\theta_1 - \theta_2)\), y el resultado es el mismo independientemente de la elección de signo. La diferencia de fase \(\delta\) varía según la posición porque la distancia del agujero 1 al detector y la del agujero 2 al detector son diferentes en cada posición — la diferencia de fase se determina según cuántas longitudes de onda caben en la diferencia de caminos. Por eso, al mover el detector, \(\delta\) cambia continuamente, \(\cos\delta\) oscila entre \(+1\) y \(-1\), y se produce un patrón de franjas claras y oscuras.
Como antes definimos \(I_1 = |h_1|^2\), \(I_2 = |h_2|^2\), tenemos \(|h_1| = \sqrt{I_1}\), \(|h_2| = \sqrt{I_2}\) (la amplitud es no negativa, así que tomamos la raíz cuadrada positiva). Por tanto \(|h_1||h_2| = \sqrt{I_1 I_2}\) y:
🔵 Kai: ¡Ah, hay un término extra añadido a \(I_1 + I_2\)!
🟡 Lina: Este término extra \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\) se llama término de interferencia (interference term).
⚪ Mei: Según el valor de \(\cos\delta\), puede haber interferencia constructiva (\(\cos\delta = +1\)) o destructiva (\(\cos\delta = -1\)). Como la diferencia de fase \(\delta\) varía según la posición, se forma un patrón de franjas claras y oscuras.
🟡 Lina: Así es. Este es el patrón de interferencia (interference pattern). Es un resultado claramente diferente de la ecuación (3.1) de las balas.
🔵 Kai: Las balas suman probabilidades, las ondas suman amplitudes. Los resultados son completamente diferentes.
🟡 Lina: Mira la Fig. 3.2「Experimento de la doble rendija con ondas en la superficie del agua」. Comparando las distribuciones de intensidad con solo el agujero 1, solo el agujero 2, y ambos abiertos, se ve claramente que cuando ambos están abiertos aparece un patrón completamente diferente de \(I_1 + I_2\).
Fig. 3.2: Experimento de la doble rendija con ondas en la superficie del agua. Izquierda: intensidad \(I_1\) con solo el agujero 1 abierto. Centro: intensidad \(I_2\) con solo el agujero 2 abierto. Derecha: la intensidad \(I_{12} = |h_1 + h_2|^2\) (línea sólida) con ambos abiertos difiere de \(I_1 + I_2\) (línea discontinua), produciéndose franjas claras y oscuras por interferencia.
🟡 Lina: Ese es precisamente el punto clave. Para ondas se suma la amplitud y luego se eleva al cuadrado. Para partículas se suma la probabilidad (que ya está elevada al cuadrado). Esta diferencia genera el término de interferencia.
✅ Verificación de comprensión: En la ecuación (3.2), cuando \(\delta = \pi\) (diferencia de fase de media longitud de onda), si \(I_1 = I_2 = I_0\), ¿cuánto vale \(I_{12}\)?
Respuesta
Como \(\cos\pi = -1\), tenemos \(I_{12} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0}(-1) = 2I_0 - 2I_0 = 0\). Se cancelan completamente y la intensidad es cero (interferencia destructiva total).
📝 Ejercicios:
- Derivación de la condición de interferencia en la doble rendija → Problema M-4. Comprender la desaparición de la interferencia mediante la "descomposición condicional de probabilidades"
3.3 Doble rendija con electrones — Partículas que interfieren¶
🟡 Lina: Bien, ahora vamos al tema principal. ¿Qué ocurre si hacemos el mismo experimento de la doble rendija con electrones?
🔵 Kai: Como aprendimos en Cap. 2 que los electrones tienen propiedades ondulatorias... ¿van a interferir?
🟡 Lina: No te apresures con la conclusión. Primero confirmemos el montaje experimental.
- Cañón de electrones: emite electrones desde un filamento calentado y los acelera con un voltaje. Se obtiene un haz de electrones con aproximadamente la misma energía
- Pared con dos rendijas: una lámina metálica delgada con dos rendijas microscópicas grabadas
- Detector: colocado sobre una pantalla. Cuando llega un electrón, emite una señal "clic"
🔵 Kai: ¿El detector cuenta uno por uno como en el caso de las balas?
🟡 Lina: Sí. Y aquí está el hecho decisivamente importante. Voy a enunciar la primera característica del resultado experimental.
Hecho 1: Los electrones se detectan como partículas¶
🟡 Lina: Si movemos el detector mientras registramos la llegada de electrones:
- Del detector se escuchan señales discretas "clic"
- Las señales llegan a intervalos irregulares
- Sin embargo, la magnitud de cada señal es siempre la misma — nunca se detecta "medio electrón"
⚪ Mei: Igual que las balas. Los electrones llegan al detector como unidades completas, uno por uno. No llegan extendiéndose continuamente como una onda.
🟡 Lina: Exacto. Los electrones se detectan como partículas. Hasta aquí, igual que las balas.
Hecho 2: Al acumular muchos electrones aparece un patrón de interferencia¶
🟡 Lina: Sin embargo, si detectamos electrones durante un tiempo prolongado y obtenemos la probabilidad de llegada \(P_{12}(x)\) en cada posición \(x\)—
🔵 Kai: No me digas que...
🟡 Lina: Sí. Aparece el mismo patrón que la interferencia de ondas en el agua.
Cerca del centro hay lugares donde \(P_{12}\) es más del doble de \(P_1 + P_2\), y en otros lugares es casi cero. Un patrón de franjas claras y oscuras — franjas de interferencia.
🔵 Kai: Un momento. Los electrones llegan uno a uno con un "clic" como partículas, ¿verdad? ¿Pero el patrón global es igual a la interferencia de ondas? Y eso de que haya lugares donde es más del doble de \(P_1 + P_2\), con balas eso sería absolutamente imposible — que la probabilidad aumente al tapar una rendija...
🟡 Lina: Exacto. Este es el misterio central de la mecánica cuántica. Mira la Fig. 3.3「Diagrama conceptual del experimento de la doble rendija con electrones. Los electrones disparados desde el cañón de electrones se detectan uno a uno como partículas, pero la distribución de probabilidad \(P_{12}\) al acumular muchos es completamente diferente de \(P_1 + P_2\)」 mientras te lo explico. Lo digo una vez más con claridad:
Los electrones se detectan uno a uno como partículas. Sin embargo, la distribución de probabilidad de llegada de muchos electrones tiene la misma forma que un patrón de interferencia de ondas.
Fig. 3.3: Diagrama conceptual del experimento de la doble rendija con electrones. Los electrones disparados desde el cañón de electrones se detectan uno a uno como partículas, pero la distribución de probabilidad \(P_{12}\) al acumular muchos es completamente diferente de \(P_1 + P_2\) — muestra un patrón de interferencia de ondas.
🔵 Kai: Pero, ¿esto no será porque muchos electrones vuelan al mismo tiempo y chocan entre sí creando interferencia?
🟡 Lina: Buena pregunta. Pero no es así. De hecho, incluso si se envían electrones de uno en uno — es decir, se dispara el siguiente electrón solo después de que el anterior ha sido detectado — al acumular suficientes se obtiene el mismo patrón de interferencia. En 1989, el experimento de Tonomura Akira y colaboradores demostró esto de manera bellísima. Cuando envías electrones de uno en uno, al principio solo aparecen puntos aleatorios dispersos en la pantalla. Pero al acumular miles, decenas de miles, gradualmente emerge el patrón de interferencia.
🔵 Kai: ¿Un solo electrón... interfiere consigo mismo?
🟡 Lina: En lenguaje clásico tendríamos la tentación de expresarlo así. Pero precisamente, ese "lenguaje clásico" en sí mismo no es aplicable aquí. Esto lo discutiremos un poco más adelante. Mira la Fig. 3.4「Aparición del patrón de interferencia por acumulación de electrones」. Con apenas 10 electrones solo se ven puntos aleatorios, pero al acumular 10.000 el patrón de interferencia emerge claramente.
Fig. 3.4: Aparición del patrón de interferencia por acumulación de electrones. Patrón de acumulación en la pantalla al irradiar electrones de uno en uno. Con pocos (\(n=10\)) son puntos aleatorios, pero con muchos (\(n=10000\)) aparece el patrón de interferencia. En lenguaje clásico parece que "un solo electrón interfiere consigo mismo", pero precisamente esta expresión muestra los límites del marco clásico.
Descripción matemática del patrón de interferencia¶
🟡 Lina: Para las ondas en el agua, la intensidad se calculaba "sumando amplitudes y luego elevando al cuadrado". Se sabe que el caso del electrón también se describe con la misma estructura matemática. Vamos a usar de nuevo la amplitud de probabilidad que anticipamos en el Prólogo. Definimos dos números complejos \(\phi_1(x)\) y \(\phi_2(x)\):
- Cuando solo el agujero 1 está abierto: \(P_1 = |\phi_1|^2\)
- Cuando solo el agujero 2 está abierto: \(P_2 = |\phi_2|^2\)
- Cuando ambos están abiertos: \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)
Aquí \(\mathrm{Re}(z)\) es la operación de tomar la parte real de un número complejo \(z\) — si \(z = a + bi\) entonces \(\mathrm{Re}(z) = a\). ¿Por qué usamos esta escritura? Porque \(\phi_1^* \phi_2\) es en general un número complejo, pero como término de interferencia solo tiene significado físico su parte real. Con el mismo cálculo que para las ondas en el agua, \(\phi_1^* \phi_2 = |\phi_1||\phi_2|e^{i(\theta_2 - \theta_1)}\), así que \(2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2) = 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\). Es decir, el término de interferencia \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\) de la ecuación (3.2) para ondas en el agua también puede escribirse como \(2\mathrm{Re}(h_1^* h_2)\) — es otra notación para lo mismo. La escritura con \(\mathrm{Re}\) es una notación conveniente que permite ver la estructura del término de interferencia sin desarrollar en forma polar, y la usaremos frecuentemente de ahora en adelante. Para el caso del electrón es exactamente la misma estructura matemática, solo reemplazando \(h\) por \(\phi\).
🔵 Kai: ¡Tiene exactamente la misma estructura que la ecuación (3.2) de las ondas en el agua! Pero, ¿qué son \(\phi_1\) y \(\phi_2\)? Para las ondas en el agua era "la altura de la onda", pero para el electrón...?
🟡 Lina: Buena pregunta. \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son números complejos llamados amplitudes de probabilidad (probability amplitudes). No son una magnitud física directamente observable como la "altura" de las ondas en el agua. Lo único observable es \(|\phi|^2\), es decir, la probabilidad.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es la amplitud de probabilidad? Y, ¿cuál es la diferencia fundamental entre la "amplitud" de las ondas en el agua y la "amplitud de probabilidad" del electrón?
Respuesta
La amplitud de probabilidad es un número complejo cuyo cuadrado del valor absoluto da la probabilidad. La amplitud de las ondas en el agua (la altura de la onda) es una magnitud física directamente observable, pero la amplitud de probabilidad del electrón no es directamente observable — lo único observable es \(|\phi|^2\) (la probabilidad).
⚪ Mei: Es decir, para el electrón no se "suman probabilidades" sino que se "suman amplitudes de probabilidad" y luego se eleva al cuadrado.
🟡 Lina: Exactamente. Esta es la diferencia fundamental entre el cálculo clásico de probabilidades y el cálculo de probabilidades en mecánica cuántica. He resumido los tres casos en una tabla, mira la Tabla 3.1「Reglas de composición de probabilidades para balas, ondas en el agua y electrones」. También he dibujado las distribuciones de probabilidad para los tres casos en la Fig. 3.5「Comparación de distribuciones de probabilidad: balas, ondas y electrones」, compáralas.
Tabla 3.1: Reglas de composición de probabilidades para balas, ondas en el agua y electrones
| Partícula clásica (bala) | Onda (superficie del agua) | Electrón | |
|---|---|---|---|
| Lo que se suma | Probabilidad | Amplitud | Amplitud de probabilidad |
| Forma de detección | Como partícula | Continuamente | Como partícula |
| Interferencia | No | Sí | Sí |
Fig. 3.5: Comparación de distribuciones de probabilidad: balas, ondas y electrones. Distribuciones de probabilidad en la pantalla para los tres casos. Las balas dan \(P_{12} = P_1 + P_2\) (suma simple), las ondas en el agua y los electrones suman amplitudes y luego elevan al cuadrado, produciendo franjas de interferencia. Los electrones y las ondas en el agua tienen matemáticamente el mismo patrón de interferencia, pero el punto decisivamente diferente es que la detección se realiza como partícula.
🔵 Kai: El electrón "se detecta como partícula" pero "se suman amplitudes"... ¿no es contradictorio? Si es una "partícula" debería sumar probabilidades, y si es una "onda" debería sumar amplitudes pero llegar continuamente. ¿No es ninguna de las dos?
🟡 Lina: Así es, no es ninguna de las dos. Si miras de nuevo la Tabla 3.1「Reglas de composición de probabilidades para balas, ondas en el agua y electrones」 y la Fig. 3.5「Comparación de distribuciones de probabilidad: balas, ondas y electrones」, las diferencias entre los tres casos — balas, ondas y electrones — son evidentes. Si intentas encajar al electrón en las categorías clásicas de "partícula" u "onda", surge una contradicción. El enfoque de la mecánica cuántica no es intentar resolver esta "contradicción", sino aceptar los hechos experimentales tal como son y formularlos matemáticamente. Se renuncia a definir "qué es un electrón" en términos clásicos y se describe "qué hace un electrón" mediante las reglas de la amplitud de probabilidad. Al final de esta sección veremos con más detalle por qué la imagen clásica se derrumba.
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de la doble rendija con electrones, menciona un punto en común y una diferencia con el experimento de las balas.
Respuesta
Punto en común: Los electrones se detectan discretamente uno a uno (como partículas). "Medio electrón" no existe. Diferencia: La distribución de probabilidad de llegada de muchos electrones no satisface \(P_{12} = P_1 + P_2\) y muestra franjas de interferencia.
📝 Ejercicios:
- Signo del término de interferencia y franjas claras/oscuras → Problema B-1. Cálculo del término de interferencia
3.4 "¿Por cuál pasó?" — Observación y desaparición de la interferencia¶
🔵 Kai: Hay algo que me venía preocupando hace rato: ¿no bastaría con mirar por cuál agujero pasó el electrón? Iluminándolo con luz, por ejemplo.
🟡 Lina: Hagamos precisamente ese experimento. Colocamos una fuente de luz potente justo detrás de la pared para iluminar los electrones que pasan cerca de los agujeros. Si el electrón dispersa un fotón, se verá un destello de luz. La posición del destello nos dirá si el electrón pasó por el agujero 1 o por el agujero 2.
Resultado experimental: cuando se puede "saber" por cuál pasó¶
🟡 Lina: Cuando encendemos la fuente de luz y realizamos el experimento, ocurre lo siguiente:
- Cada vez que un electrón llega al detector con un "clic", se ve un destello de luz cerca del agujero 1 o del agujero 2
- El destello siempre ocurre en uno solo de los dos — nunca hay luz en ambos simultáneamente
🔵 Kai: ¡Lo sabía! ¡Los electrones pasan por uno u otro!
🟡 Lina: ...eso pensarías, ¿verdad? Pero aquí viene el problema. Con la fuente de luz encendida, recogemos solo los electrones confirmados como "pasaron por el agujero 1" y construimos la distribución de probabilidad \(P_1'(x)\), y hacemos lo mismo con los de "pasaron por el agujero 2" para obtener \(P_2'(x)\). Entonces—
Y la distribución de probabilidad total es:
⚪ Mei: ...¡El patrón de interferencia ha desaparecido!
🟡 Lina: Así es. Cuando se confirma "por cuál pasó", la interferencia desaparece. Mira la Fig. 3.6「Desaparición del patrón de interferencia por observación. Diferencia en la distribución de probabilidad según se observe o no. Izquierda: cuando no se observa "por cuál rendija pasó", aparece el patrón de interferencia. Derecha: cuando se observa, las contribuciones de cada rendija se suman simplemente y el patrón de interferencia desaparece. La observación cambia el resultado mismo」, donde se ve claramente cómo cambia la distribución según se observe o no.
Fig. 3.6: Desaparición del patrón de interferencia por observación. Diferencia en la distribución de probabilidad según se observe o no. Izquierda: cuando no se observa "por cuál rendija pasó", aparece el patrón de interferencia. Derecha: cuando se observa, las contribuciones de cada rendija se suman simplemente y el patrón de interferencia desaparece. La observación cambia el resultado mismo — una propiedad central de la mecánica cuántica.
✅ Verificación de comprensión: Cuando se observa con luz por cuál rendija pasó el electrón, ¿cómo cambia la distribución de probabilidad?
Respuesta
El patrón de interferencia desaparece y la distribución de probabilidad se convierte en \(P_{12}' = P_1 + P_2\). Es decir, vuelve a ser la suma simple del caso de partículas clásicas (balas). Cuando se obtiene la información de "por cuál pasó", el término de interferencia desaparece.
🔵 Kai: Eh... ¿sin iluminar con luz hay interferencia, pero al iluminar no? ¿Es que la luz perturba al electrón?
🟡 Lina: Es natural pensar eso. De hecho, el fotón transfiere momento al electrón y perturba su trayectoria — esto es un hecho. Como vimos en la dispersión Compton en Cap. 2, el momento por fotón es \(p = h/\lambda\) (\(h\) es la constante de Planck), así que fotones con longitud de onda más larga tienen menor momento. Entonces, ¿si usamos luz de mayor longitud de onda podríamos reducir la perturbación al electrón? ...si haces el experimento pensando así, descubres que la cosa no es tan simple.
Experimento con longitud de onda más larga¶
🟡 Lina: Al ir aumentando gradualmente la longitud de onda de la luz, ocurren dos cosas simultáneamente:
- La perturbación al electrón disminuye → el patrón de interferencia empieza a recuperarse
- Sin embargo, al aumentar la longitud de onda disminuye la resolución de la luz → ya no se puede distinguir por cuál agujero pasó el electrón
"La resolución disminuye" significa lo siguiente. Si la separación entre las dos rendijas es \(d\), para distinguir "si el electrón estaba cerca del agujero 1 o del agujero 2" se necesita determinar la posición con una precisión de al menos \(d\). Sin embargo, la luz tiene una limitación de principio: "no puede distinguir posiciones más finas que su longitud de onda". Una onda no puede "ver" estructuras más pequeñas que su longitud de onda — por ejemplo, cuando tiras una piedra en un estanque, una onda de 1 m de longitud de onda apenas nota la presencia de una estaca de 10 cm y la rodea. En la física del instituto aprendiste que "cuando el ancho de la rendija es del mismo orden que la longitud de onda, la luz se difracta y se expande" — es el mismo principio.
🔵 Kai: Ah, eso lo vimos con la difracción. Cuando una onda pasa por una abertura más estrecha que su longitud de onda, se expande y se pierde la dirección.
🟡 Lina: Exacto. Cuando un fotón se dispersa al chocar con algo, el fotón dispersado se expande como onda. La anchura de esa expansión es del orden de la longitud de onda \(\lambda\) — es decir, el fotón no puede llevar la información de "dónde exactamente, dentro de un rango menor que su longitud de onda, se dispersó". Esto es también la otra cara de la relación de de Broglie \(\lambda = h/p\) que vimos en Cap. 2 — para conocer la posición con precisión \(\Delta x\), se necesita luz con longitud de onda \(\lambda \lesssim \Delta x\). El momento de tal fotón es \(p = h/\lambda \gtrsim h/\Delta x\), así que cuanto más precisamente quieras conocer la posición, mayor momento del fotón necesitas, y mayor es la perturbación al electrón.
⚪ Mei: Si intentas conocer la posición con precisión, la perturbación del momento aumenta; si intentas reducir la perturbación, la posición se vuelve desconocida — es un compromiso (trade-off).
🟡 Lina: Exactamente así. Intuitivamente, es como tratar de buscar un botón pequeño con guantes grandes. Con una longitud de onda corta puedes tocar con "dedos finos" y saber la posición, pero con longitud de onda larga solo puedes tocar con "dedos gruesos" y no puedes distinguir. Por eso, cuando la longitud de onda de la luz \(\lambda\) es mayor que la separación entre rendijas \(d\) (\(\lambda > d\)), no se puede distinguir cerca de cuál rendija se dispersó el fotón.
🔵 Kai: Entonces... ¿cuando se ve el patrón de interferencia no se sabe "por cuál pasó", y cuando se sabe "por cuál pasó" el patrón de interferencia desaparece?
🟡 Lina: Precisamente así. Y esto no es una cuestión de "quizás con un método más ingenioso se podrían ver ambos a la vez". Se prueben todos los métodos experimentales que se prueben, la siguiente conclusión no cambia:
En situaciones donde se puede identificar en principio por cuál rendija pasó el electrón, el patrón de interferencia desaparece. Solo en situaciones donde la identificación es en principio imposible, aparece el patrón de interferencia.
🔵 Kai: ¿"En principio" significa incluso si no se mira realmente?
🟡 Lina: Sí. Aunque no se verifique realmente en cuál detector entró el fotón, con que exista la posibilidad de verificarlo la interferencia desaparece. Es decir, se determina por si la información para distinguir existe o no en algún lugar del universo. No importa si realmente se lee esa información o no.
⚪ Mei: Lo importante no es "si se miró o no" sino "si la información existe o no".
Organización matemática: distinguibilidad y formas de sumar probabilidades¶
🟡 Lina: Vamos a organizar matemáticamente el mecanismo por el cual desaparece la interferencia. En el experimento con la fuente de luz, necesitamos considerar el "sistema completo" que incluye no solo el electrón sino también el estado del fotón.
Las variables a considerar son dos: "por cuál agujero pasó el electrón" (agujero 1 o agujero 2) y "a cuál detector va el fotón dispersado" (\(D_1\) o \(D_2\)). Dos opciones × dos opciones dan un total de 4 combinaciones. Vamos a definir una amplitud para cada combinación.
Coloquemos los detectores de fotones en \(D_1\) (cerca del agujero 1) y \(D_2\) (cerca del agujero 2). Defino cuatro amplitudes complejas de la siguiente manera (el cuadrado del valor absoluto de cada una da la probabilidad de que el fotón vaya a ese detector "dado que el electrón pasó por ese agujero"):
Amplitudes para que el fotón se detecte en \(D_1\):
- \(a\): cuando el electrón pasa por el agujero 1 → el fotón va al cercano \(D_1\) ("acierto")
- \(b\): cuando el electrón pasa por el agujero 2 → el fotón va al lejano \(D_1\) ("fallo")
Amplitudes para que el fotón se detecte en \(D_2\):
- \(b'\): cuando el electrón pasa por el agujero 1 → el fotón va al lejano \(D_2\) ("fallo")
- \(a'\): cuando el electrón pasa por el agujero 2 → el fotón va al cercano \(D_2\) ("acierto")
Para recordar: las del tipo \(a\) (\(a\), \(a'\)) son amplitudes de "el fotón va al detector cercano al agujero por donde pasó el electrón" (acierto), las del tipo \(b\) (\(b\), \(b'\)) son amplitudes de "va al detector lejano" (fallo). Sin prima (\(a\), \(b\)) es cuando el fotón va a \(D_1\), con prima (\(a'\), \(b'\)) es cuando va a \(D_2\). Es decir, \(|a|^2\) es "la probabilidad de que, dado que el electrón pasó por el agujero 1, el fotón dispersado llegue al detector cercano \(D_1\)".
Como el fotón necesariamente entra en \(D_1\) o \(D_2\), si el electrón pasa por el agujero 1 se cumple \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\), y si pasa por el agujero 2 se cumple \(|a'|^2 + |b|^2 = 1\). Es decir, \(|a|^2\) es "la probabilidad de que el fotón del electrón que pasó por el agujero 1 vaya correctamente a \(D_1\)".
🔵 Kai: ¿Por qué \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\)?
🟡 Lina: El fotón va necesariamente a \(D_1\) o \(D_2\) — no tiene otro lugar adonde ir. Así que "probabilidad de ir a \(D_1\)" + "probabilidad de ir a \(D_2\)" = 1. Como la probabilidad es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud, resulta \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\). Es lo mismo que en la probabilidad del instituto, "la suma de probabilidades de todos los eventos posibles es 1".
🔵 Kai: Ah, claro. Es simplemente que la probabilidad total es 1 escrita en términos de amplitudes. ...Además, la distinción entre \(a\) y \(a'\), \(b\) y \(b'\) me resulta un poco confusa...
🟡 Lina: Buena observación. Recuérdalo así. \(a\) y \(a'\) son amplitudes de "el fotón va al detector correcto (cercano)" — \(a\) es electrón por agujero 1 → \(D_1\), \(a'\) es electrón por agujero 2 → \(D_2\). \(b\) y \(b'\) son amplitudes de "va al detector equivocado (lejano)" — \(b\) es electrón por agujero 2 → \(D_1\), \(b'\) es electrón por agujero 1 → \(D_2\). Es decir, los de tipo \(a\) son "aciertos", los de tipo \(b\) son "fallos". Y sin prima (\(a\), \(b\)) son amplitudes de que el fotón vaya a \(D_1\), con prima (\(a'\), \(b'\)) de que vaya a \(D_2\) — con esta organización la estructura de las ecuaciones (3.7) y (3.8) se ve más clara.
Si la longitud de onda es corta, \(a\) y \(a'\) son grandes y \(b\) y \(b'\) son pequeños (el fotón del electrón que pasa por el agujero 1 tiende a ir a \(D_1\), y el del agujero 2 tiende a ir a \(D_2\)). Al contrario, si la longitud de onda es larga, la distinción de a cuál detector va el fotón se pierde, y \(a \approx b\), \(a' \approx b'\).
Usando esto, la amplitud de "el electrón pasa por el agujero 1 y el fotón se detecta en \(D_1\)" es \(a\phi_1\), y la de "el electrón pasa por el agujero 2 y el fotón se detecta en \(D_1\)" es \(b\phi_2\). Más detalladamente: \(\phi_1\) es la amplitud de "el electrón pasa por el agujero 1 y llega a la posición \(x\)", \(a\) es la amplitud de "el fotón dispersado cerca del electrón que pasó por el agujero 1 llega a \(D_1\)". Como estos dos eventos ocurren en secuencia, la amplitud total es su producto \(a\phi_1\). En la probabilidad del instituto aprendiste que "la probabilidad de que ocurran tanto el evento independiente A como B es \(P(A) \times P(B)\)". Con la misma idea, usando amplitudes en lugar de probabilidades, "la amplitud de procesos que ocurren en secuencia es el producto". Esto se formulará oficialmente como la ley fundamental de Feynman en el siguiente capítulo (Cap. 4). Finalmente, \(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\) coincide con el producto de probabilidades, así que puedes confirmar que es una extensión natural de la regla anterior.
🔵 Kai: Así que se reemplaza la regla del producto de probabilidades por el producto de amplitudes. Entonces, ¿cómo se obtiene la ecuación (3.7)?
🟡 Lina: Bien, queremos hallar la probabilidad de "el electrón está en \(x\) y el fotón está en \(D_1\)". Hay dos caminos que llevan a este estado final: "el electrón pasa por el agujero 1 y el fotón va a \(D_1\)" (amplitud \(a\phi_1\)) y "el electrón pasa por el agujero 2 y el fotón va a \(D_1\)" (amplitud \(b\phi_2\)). Lo importante aquí es que la única información que tenemos al final es "el electrón está en \(x\)" y "el fotón está en \(D_1\)". Solo con el hecho de que el fotón está en \(D_1\), no se puede distinguir si el electrón pasó por el agujero 1 o el 2 — si \(b \neq 0\), el fotón puede llegar a \(D_1\) también por la vía del agujero 2. Por tanto, estos dos caminos son indistinguibles, y se suman las amplitudes antes de elevar al cuadrado:
De manera similar, la probabilidad de "el electrón está en \(x\) y el fotón está en \(D_2\)" es:
🔵 Kai: Espera un momento. Con probabilidades entiendo que "eventos independientes se multiplican", pero ¿con amplitudes también se puede hacer el producto así? Las amplitudes no son probabilidades, ¿verdad?
🟡 Lina: Buena pregunta. Hay dos puntos clave.
Primero, en las reglas de probabilidad teníamos "probabilidad de que B ocurra después de A = P(A) × P(B)". Como en la mecánica cuántica usamos amplitudes en lugar de probabilidades, es natural extender a "amplitud de que B ocurra después de A = (amplitud de A) × (amplitud de B)", ¿no?
Segundo, esta extensión no contradice las reglas anteriores. Porque el valor absoluto de un producto de números complejos es el producto de los valores absolutos — \(|zw| = |z||w|\) — así que \(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\), que tiene la misma forma que el producto de probabilidades. (Se puede verificar que \(|zw|^2 = (zw)^*(zw) = z^* w^* z w = |z|^2|w|^2\).)
Es decir, al nivel de probabilidades es consistente con las reglas anteriores, y además los resultados calculados con esta regla coinciden con los experimentos — esa es la justificación. En el siguiente capítulo lo formularemos oficialmente como ley fundamental de Feynman, pero por ahora acéptalo como "la regla del producto de probabilidades trasladada a amplitudes".
🔵 Kai: Reemplazar el producto de probabilidades por el producto de amplitudes... es la misma idea que reemplazar la suma de probabilidades por la suma de amplitudes. Entonces, ¿cómo se usan las ecuaciones (3.7) y (3.8)?
🟡 Lina: Aquí está el núcleo. La ecuación (3.7) es la probabilidad "cuando el fotón está en \(D_1\)", y la (3.8) es "cuando el fotón está en \(D_2\)". Estos dos casos son estados finales distinguibles — mirando el contador de fotones se sabe si entró en \(D_1\) o en \(D_2\).
La regla de la mecánica cuántica es:
Para estados finales distinguibles, se suman las probabilidades (cuadrados del valor absoluto de las amplitudes). No se deben sumar las amplitudes.
🔵 Kai: Un momento. Antes dijiste "para caminos indistinguibles se suman las amplitudes". ¿Por qué cuando son distinguibles ahora se suman probabilidades? ¿No debería ser la suma de amplitudes por defecto?
🟡 Lina: Buena pregunta. Piénsalo así. Cuando se suman amplitudes aparece el término de interferencia — es decir, los dos caminos se "mezclan". Pero la situación de que el fotón esté en \(D_1\) y la de que esté en \(D_2\) son situaciones físicamente completamente diferentes. Concretamente, después de terminar el experimento, si miras el detector de fotones sabrás con certeza si "sonó \(D_1\)" o "sonó \(D_2\)". Y un solo fotón nunca entra en ambos \(D_1\) y \(D_2\) simultáneamente — es decir, estas dos situaciones no ocurren al mismo tiempo. Es exactamente la misma estructura que en la probabilidad del instituto, "la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes se suma". Como los eventos mutuamente excluyentes A y B no ocurren simultáneamente, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Los estados finales distinguibles son igual: "el fotón está en \(D_1\)" y "el fotón está en \(D_2\)" no se cumplen simultáneamente y son situaciones mutuamente excluyentes, así que se suman las probabilidades.
⚪ Mei: Si son eventos mutuamente excluyentes se suman las probabilidades — la misma estructura de la regla de adición del instituto aparece en la mecánica cuántica como "estados finales distinguibles".
🟡 Lina: Exacto. Dicho al revés, si sumáramos las amplitudes, significaría que "el mundo con el fotón en \(D_1\)" y "el mundo con el fotón en \(D_2\)" interfieren — pero si al mirar el detector está confirmado en uno u otro, tal mezcla no puede ocurrir. Más concretamente, la interferencia es un fenómeno que ocurre cuando "dos posibilidades son indistinguibles y no se puede decidir cuál se realizó". Pero si en el instante en que el detector de fotones suena se confirma "fue \(D_1\)", la otra posibilidad queda confirmada como no realizada — no hay margen para mezclarse. Esto es algo que debe aceptarse como la regla que reproduce correctamente los hechos experimentales, más que como una explicación última de "por qué es así". Cuando lo reordenaremos como las leyes fundamentales de Feynman en el siguiente capítulo, lo enunciaremos de una forma más clara.
🔵 Kai: Ya veo... solo cuando "no se puede distinguir" las amplitudes se mezclan y ocurre la interferencia.
🟡 Lina: Así es. Bien, lo que queremos saber es "la probabilidad de que el electrón llegue a la posición \(x\)". Pero en el experimento con la fuente de luz, cada vez que llega un electrón, un fotón también entra necesariamente en algún detector. Los casos de que el fotón entre en \(D_1\) y de que entre en \(D_2\) son mutuamente excluyentes — no ocurren simultáneamente. Por tanto, la probabilidad total es la suma de las probabilidades de estos dos casos.
🔵 Kai: Según la regla de antes, "el fotón está en \(D_1\)" y "el fotón está en \(D_2\)" son estados finales distinguibles, así que se suman sus respectivas probabilidades.
🟡 Lina: Exactamente. La ecuación (3.7) es "la probabilidad cuando el fotón está en \(D_1\)", y la (3.8) es "la probabilidad cuando el fotón está en \(D_2\)", así que el total es:
🟡 Lina: En la ecuación (3.5) sumamos \(\phi_1\) y \(\phi_2\) completamente y elevamos al cuadrado — es decir, las amplitudes vía agujero 1 y vía agujero 2 se mezclaban y aparecía el término de interferencia. En cambio, en la ecuación (3.9) separamos en dos casos distinguibles: "fotón en \(D_1\)" y "fotón en \(D_2\)", dentro de cada uno sumamos amplitudes y elevamos al cuadrado, y al final sumamos esas probabilidades. Como las amplitudes no se mezclan entre casos, la interferencia entre \(\phi_1\) y \(\phi_2\) se suprime. Es decir, la estructura es: "para cada caso distinguible se calcula la probabilidad y se suma", "dentro de cada caso, las amplitudes de caminos indistinguibles se suman antes de elevar al cuadrado" — una estructura en dos niveles.
⚪ Mei: "Sumar probabilidades para cada caso distinguible" es la misma idea que la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes del instituto.
🟡 Lina: Si la longitud de onda del fotón es suficientemente corta y la identificación es completa, entonces \(b \approx 0\), \(b' \approx 0\). Sustituyendo \(b \approx 0\) en el primer término de la ecuación (3.9): \(|a\phi_1 + 0|^2 = |a\phi_1|^2\). Aquí el valor absoluto de un producto de complejos es el producto de valores absolutos — \(|a\phi_1| = |a| \cdot |\phi_1|\) — así que \(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\). De manera similar, el segundo término es \(|a'\phi_2|^2 = |a'|^2|\phi_2|^2\). Por tanto:
🔵 Kai: ¡Oh, el término de interferencia \(\phi_1^* \phi_2\) ha desaparecido completamente!
🟡 Lina: El término de interferencia que contiene \(\phi_1^* \phi_2\) desaparece, quedando una suma ponderada de \(P_1\) y \(P_2\) — es decir, la misma estructura de "sin interferencia" que las balas. Además, si \(b' \approx 0\) entonces \(|a|^2 \approx 1\) (porque \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\)), y de igual modo \(|a'|^2 \approx 1\), así que \(P_{12}' \approx P_1 + P_2\), coincidiendo con la ecuación (3.6).
⚪ Mei: Que \(b \approx 0\) significa "la probabilidad de que el fotón del electrón que pasó por el agujero 1 vaya a \(D_2\) es casi cero" — es decir, con el destino del fotón se conoce completamente el camino, y por eso el término de interferencia desaparece.
🟡 Lina: Exacto. Al contrario, si la longitud de onda es larga y no se puede identificar nada — como la longitud de onda del fotón es mayor que la separación entre rendijas, el fotón no puede llevar la información de "cerca de cuál agujero se dispersó". Es decir, tanto si el electrón pasa por el agujero 1 como por el 2, la amplitud de que el fotón vaya a \(D_1\) es la misma. Por eso \(a = b\) y \(a' = b'\) (si el montaje es simétrico también se cumple \(a = a'\), \(b = b'\), pero aquí basta con \(a = b\), \(a' = b'\)). Entonces, sustituyendo \(b = a\) en el primer término de la ecuación (3.9): \(|a\phi_1 + a\phi_2|^2 = |a(\phi_1 + \phi_2)|^2 = |a|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\). Sustituyendo \(b' = a'\) en el segundo término: \(|a'\phi_1 + a'\phi_2|^2 = |a'|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\). Sumando ambos: \((|a|^2 + |a'|^2)|\phi_1 + \phi_2|^2\). Sustituyendo \(b' = a'\) en \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\) obtenemos \(|a|^2 + |a'|^2 = 1\), así que el total es igual a \(|\phi_1 + \phi_2|^2\), y el patrón de interferencia se recupera completamente.
🔵 Kai: "Si se puede distinguir o no" determina matemáticamente la presencia o ausencia del término de interferencia... pero, ¿dónde está el límite de "poder distinguir"? Si cambias la longitud de onda continuamente, ¿el patrón de interferencia también cambia continuamente?
🟡 Lina: Buena pregunta. De hecho, la distinguibilidad no es de todo o nada, puede variar continuamente. Al ir aumentando gradualmente la longitud de onda, el contraste (diferencia entre claro y oscuro) del patrón de interferencia se recupera continuamente. Mira la Fig. 3.7「Relación entre distinguibilidad y visibilidad del patrón de interferencia (complementariedad)」. Aquí la distinguibilidad \(\mathcal{D}\) es una cantidad de 0 (no se puede distinguir nada) a 1 (se distingue completamente) que expresa "cuánto se puede acertar el camino del electrón a partir del resultado de detección del fotón". Intuitivamente, \(\mathcal{D} = 0\) es el estado "da igual en cuál detector entre el fotón, no da pistas sobre el camino" (cuando \(a = b\)), y \(\mathcal{D} = 1\) es el estado "mirando el detector del fotón se sabe el camino con certeza" (cuando \(b = 0\)). En casos intermedios \(\mathcal{D}\) toma valores entre 0 y 1. La visibilidad \(\mathcal{V}\) cuantifica la diferencia claro-oscuro del patrón de interferencia y se define como \(\mathcal{V} = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})\) (donde \(I_{\max}\) es la intensidad en la parte más brillante del patrón y \(I_{\min}\) en la más oscura). La diferencia \(I_{\max} - I_{\min}\) es la "amplitud del contraste", y al dividir por la suma \(I_{\max} + I_{\min}\) se normaliza a un valor entre 0 y 1 independiente del brillo total — \(\mathcal{V} = 1\) significa que la parte más oscura es completamente cero (franjas nítidas), \(\mathcal{V} = 0\) significa que no hay diferencia claro-oscuro (sin franjas). Entre estos dos se cumple la relación de complementariedad \(\mathcal{D}^2 + \mathcal{V}^2 \leq 1\) (omito la demostración rigurosa, pero intuitivamente se puede entender porque al variar \(|a|\) y \(|b|\) en la ecuación (3.9), la magnitud del término de interferencia y la precisión de identificación del camino entran en un compromiso).
Fig. 3.7: Relación entre distinguibilidad y visibilidad del patrón de interferencia (complementariedad). Izquierda: cuanto mayor es la distinguibilidad del camino \(\mathcal{D}\), menor es la visibilidad \(\mathcal{V}\) del patrón de interferencia. Derecha: cuando \(\mathcal{D} = 0\) (camino desconocido) la interferencia es máxima, cuando \(\mathcal{D} = 1\) (camino determinado) la interferencia desaparece, y en casos intermedios hay un gradiente.
🟡 Lina: Pero aquí resumamos primero los dos casos extremos como regla general:
- Cuando los procesos son en principio indistinguibles → se suman amplitudes (con interferencia)
- Cuando los procesos son en principio distinguibles → se suman probabilidades (sin interferencia)
Esta regla es el núcleo del cálculo de probabilidades en mecánica cuántica.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es el criterio para distinguir cuándo se "suman amplitudes" y cuándo se "suman probabilidades" en mecánica cuántica?
Respuesta
Cuando los procesos (caminos) son en principio indistinguibles, se suman las amplitudes (se produce interferencia); cuando son en principio distinguibles, se suman las probabilidades (no hay interferencia). El criterio no es si se observó realmente, sino si la información para distinguir existe en principio.
✅ Verificación de comprensión: Incluso cuando "no se observó por cuál rendija pasó el electrón", puede ocurrir que la interferencia desaparezca. ¿En qué situación sucede esto?
Respuesta
Aunque no se observe, si "información que en principio permite distinguir" queda almacenada en algún lugar del entorno (por ejemplo: un fotón se dispersó y, si se examinara después, se podría saber el camino), la interferencia desaparece. No importa si la información se lee realmente o no; la mera existencia de la información es lo que destruye la interferencia.
📝 Ejercicios:
- Longitud de onda del fotón y visibilidad del patrón de interferencia → Problema B-4. Condiciones de máximos y mínimos en el patrón de interferencia
3.5 El colapso de la visión clásica del mundo — Qué se abandona y qué se acepta¶
🔵 Kai: Resumiendo lo que hemos visto hasta ahora... los electrones se detectan uno a uno como partículas, pero si no se pregunta "por cuál pasó" interfieren. Si se pregunta, la interferencia desaparece. ...Sinceramente, no entiendo nada de lo que está pasando.
🟡 Lina: Sentir que "no entiendes" es la reacción correcta. El propio Feynman dijo: "Creo que puedo decir con seguridad que nadie entiende la mecánica cuántica". Lo importante es aclarar qué es lo que no se puede explicar con la forma clásica de pensar.
🟡 Lina: Organizemos los tres casos vistos hasta ahora.
Tabla 3.2: Tres casos en el experimento de la doble rendija y presencia/ausencia de interferencia
| Caso | Información del camino | Regla de composición de probabilidades | Patrón de interferencia |
|---|---|---|---|
| Sin observación | Desconocido (indistinguible) | \(P_{12} = \lvert\phi_1 + \phi_2\rvert^2\) | Sí |
| Observación con luz de longitud de onda corta | Conocido (distinguible) | \(P_{12}' = P_1 + P_2\) | No |
| Observación con luz de longitud de onda larga | Desconocido (indistinguible) | Se aproxima a \(P_{12}\) | Se recupera |
Verificación de la imagen clásica de partícula¶
🟡 Lina: Primero, verifiquemos la siguiente proposición:
Proposición A: Cada electrón pasa por la rendija 1 o por la rendija 2, una u otra.
Si la proposición A fuera correcta, con la misma lógica que las balas debería cumplirse \(P_{12} = P_1 + P_2\). Sin embargo, el resultado experimental es \(P_{12} \neq P_1 + P_2\).
🔵 Kai: ¿Entonces la proposición A es falsa? ¿El electrón pasa por ambos agujeros simultáneamente?
🟡 Lina: La expresión "pasa simultáneamente" también es lenguaje clásico, así que no es precisa. Lo que se puede decir con precisión es:
Si se supone que "el electrón pasó por uno u otro", se contradice el resultado experimental.
No se está diciendo "pasó por ambos simultáneamente" ni "no pasó por ninguno". La pregunta misma de "por cuál pasó" no tiene sentido en esta situación experimental.
⚪ Mei: ¿"No tiene sentido" significa que no es que no se conozca la respuesta, sino que la pregunta misma es inapropiada?
🟡 Lina: Así es. Es similar a preguntar "¿cuántos años tiene la esposa del soltero?". No hay respuesta porque la premisa de la pregunta no se cumple.
Verificación de la imagen clásica de onda¶
🔵 Kai: ¿Entonces el electrón es una onda? Si es una onda, es natural que interfiera.
🟡 Lina: Si el electrón fuera una onda clásica, debería llegar energía continua al detector. Si se debilita la fuente, la energía que llega debería disminuir continuamente. Pero en el experimento—
🔵 Kai: Ah, siempre llega con un "clic" de energía de una unidad. No hay "medio clic".
🟡 Lina: Exacto. La onda clásica no puede explicar el hecho de que "se detectan como partículas individuales".
En resumen:
Tabla 3.3: Comparación de la capacidad explicativa de la imagen clásica de partícula y de onda
| Modelo clásico | Lo que puede explicar | Lo que no puede explicar |
|---|---|---|
| Imagen de partícula | Se detectan uno a uno | Patrón de interferencia |
| Imagen de onda | Patrón de interferencia | Se detectan uno a uno |
Ninguna de las dos imágenes clásicas puede describir completamente el comportamiento del electrón.
El colapso del determinismo¶
🔵 Kai: Hay otra cosa que me preocupa... ¿se puede predecir dónde llegará cada electrón a la pantalla?
🟡 Lina: No se puede.
🔵 Kai: ¿Eh, en absoluto?
🟡 Lina: En absoluto. Con el mismo montaje, con electrones de la misma energía, disparados de la misma manera, la posición de llegada es diferente cada vez. Lo único que se puede predecir es la distribución de probabilidad. Nadie puede decir "el siguiente electrón llegará a \(x = 3{,}7\) mm de la pantalla".
⚪ Mei: En la mecánica de Newton, si las condiciones iniciales son las mismas, el resultado también es el mismo — era determinista. ¿En la mecánica cuántica eso no se cumple?
🟡 Lina: No se cumple. Y no es que "no se pueda predecir porque el conocimiento de las condiciones iniciales es insuficiente". Incluso con condiciones iniciales perfectamente preparadas, el resultado solo se determina probabilísticamente. Esto es el colapso del determinismo en la mecánica cuántica.
🔵 Kai: Pero, ¿es realmente "en principio impredecible"? ¿No podría ser simplemente que hay alguna variable oculta dentro del electrón que no conocemos, y si la conociéramos podríamos predecir...?
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es el "colapso del determinismo" en la mecánica cuántica? ¿En qué se diferencia de la incertidumbre en la mecánica clásica (por ejemplo, errores de medición en las condiciones iniciales)?
Respuesta
En la mecánica cuántica, incluso con condiciones iniciales perfectamente preparadas, los resultados individuales de cada medición solo se determinan probabilísticamente. La incertidumbre de la mecánica clásica es de tipo epistemológico — "no se puede predecir porque el conocimiento de las condiciones iniciales es insuficiente" — pero la indeterminación cuántica es de principio: no es una falta de conocimiento, sino una propiedad de la naturaleza misma.
⚪ Mei: Es decir, lo que Kai quiere decir es: "¿no será que solo parece aleatorio, pero en realidad hay una variable oculta dentro del electrón que no conocemos, y si la conociéramos el resultado estaría determinado?". Que quizás tiene la misma estructura que un dado en la mecánica clásica, donde el resultado "en principio" está determinado por las condiciones iniciales.
🟡 Lina: Excelente pregunta. Esa "información oculta" se llama en física variable oculta (hidden variable). De hecho, Einstein pensaba exactamente eso. "Dios no juega a los dados", decía. Lo que dio una resolución experimental a esta cuestión fue la desigualdad de Bell, que trataremos en detalle en Cap. 23. Adelantando solo la conclusión — la naturaleza realmente juega a los dados, eso es lo que indica la evidencia experimental actual.
🔵 Kai: ¿Algo que ni siquiera Einstein podía aceptar se resolvió experimentalmente...? Pero, ¿cómo se puede confirmar experimentalmente que "no hay variables ocultas"? Probar que algo invisible "no existe" parece difícil.
🟡 Lina: Precisamente ahí está la genialidad de Bell. Demostró que "si existen variables ocultas, cierta desigualdad se cumple necesariamente", y luego se investigó experimentalmente si esa desigualdad se viola o no. Lo trataremos en detalle en Cap. 23. Tenlo como algo a lo que mirar con ilusión.
🔵 Kai: "Una desigualdad que debería cumplirse si existen" se viola experimentalmente... entonces se puede decir que "no existen". Es una reducción al absurdo. Pero, ¿se puede derivar "una desigualdad universal" solo de la suposición de que existen, sin suponer su forma concreta? ¿Con solo asumir la existencia, sin conocer el contenido de las variables ocultas, puede salir una consecuencia universal?
🟡 Lina: Buena pregunta. Intuitivamente es así — no se pregunta por el "contenido" de las variables ocultas, sino que solo se impone la condición de que "los resultados de mediciones en lugares separados no se influyen instantáneamente" (localidad). Entonces aparece un límite superior en las correlaciones entre resultados de medición de dos partículas separadas. La mecánica cuántica predice correlaciones que superan ese límite — por eso se pueden distinguir experimentalmente.
🔵 Kai: ¿Solo suponiendo localidad ya sale un límite en las correlaciones...? Efectivamente, entonces no necesitas conocer el "contenido".
🟡 Lina: Así es. La habilidad de Bell está en que, sin conocer el contenido concreto de las variables ocultas, solo con las dos suposiciones de "existen variables ocultas locales" se puede derivar una desigualdad. Es decir, de solo "existen variables ocultas" + "localidad" sale la desigualdad, y la mecánica cuántica la viola — por lo tanto al menos una de las suposiciones es incorrecta. No hace falta especificar la forma concreta. Los detalles los veremos cuidadosamente en Cap. 23; por ahora recuerda solo la estructura de "se resuelve por reducción al absurdo".
⚪ Mei: Es decir, incluso sin conocer el contenido, con solo la suposición de "existencia" sale una consecuencia, y por eso se puede refutar experimentalmente. La estructura de la reducción al absurdo se cumple limpiamente. Entonces, la estructura lógica del argumento de Bell es "suposición (variables ocultas + localidad) → desigualdad → se viola experimentalmente → al menos una de las suposiciones es falsa" — exactamente una reducción al absurdo. Como la desigualdad se deriva sin especificar el contenido concreto de las variables ocultas, solo con la existencia y la localidad, la refutación es universalmente válida.
El colapso del realismo¶
🟡 Lina: Hay un problema aún más profundo. La física clásica suponía implícitamente lo siguiente:
Realismo: Las magnitudes físicas tienen siempre valores definidos, independientemente de si se miden o no. La medición no es más que un acto de "leer" un valor que ya existe.
🔵 Kai: ¿Eso no es obvio? La Luna existe aunque no la estés mirando, ¿no?
🟡 Lina: Para objetos macroscópicos como la Luna, efectivamente es así. Pero para "por cuál rendija pasó el electrón", esta forma de pensar se derrumba.
Lo que el experimento de la doble rendija muestra es:
"Por cuál pasó" no está determinado mientras no se mida. La medición no "lee un valor preexistente", sino que es un acto que determina el valor.
🔵 Kai: Entonces, ¿la posición o la velocidad del electrón no están determinadas antes de medirlas?
🟡 Lina: Al menos respecto a "por cuál rendija pasó", no está determinado antes de la medición. Y esto no es algo limitado al camino del electrón. En la mecánica cuántica en general, se abandona la suposición de la teoría clásica de que "todas las magnitudes físicas tienen un valor definido en cada instante". El estado físico no se define como "una lista de valores de todas las magnitudes físicas", sino como "algo que proporciona la distribución de probabilidad de lo que se obtendría al medir".
⚪ Mei: El estado no es "una lista de valores" sino "una receta de distribuciones de probabilidad" — la visión del mundo cambia radicalmente.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es el "realismo" de la física clásica? ¿Cómo lo niega el experimento de la doble rendija?
Respuesta
El realismo clásico es la suposición de que "las magnitudes físicas tienen siempre valores definidos, independientemente de si se miden o no". En el experimento de la doble rendija, "por cuál rendija pasó el electrón" no está determinado antes de la medición, y suponer un camino definido contradice el resultado experimental (\(P_{12} \neq P_1 + P_2\)). La medición no lee un valor preexistente, sino que es un acto que determina el valor.
⚪ Mei: Es decir, lo de "el camino no está determinado" que vimos en la doble rendija es un principio que se aplica a toda la mecánica cuántica.
Conclusiones de este capítulo¶
🟡 Lina: Organicemos lo aprendido del experimento de la doble rendija.
- Amplitud de probabilidad: La probabilidad de llegada del electrón se da por el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de probabilidad compleja \(\phi\): \(|\phi|^2\)
- Superposición: Cuando hay múltiples caminos, se suman las amplitudes de los caminos indistinguibles y luego se eleva al cuadrado
- Efecto de la observación: Cuando existe información que distingue los caminos, el término de interferencia desaparece y se vuelve a la suma simple de probabilidades
- Colapso del determinismo: Dónde llega cada electrón individual es en principio impredecible. Solo se puede predecir la distribución de probabilidad
- Modificación del realismo: No se puede atribuir un valor definido a una magnitud física no medida
🔵 Kai: Siento que mi forma de ver el mundo va a cambiar radicalmente...
🟡 Lina: Así es. Pero lo importante es que esto no es una especulación filosófica, sino una conclusión derivada de hechos experimentales. La naturaleza es así.
⚪ Mei: Es decir, lo que vimos en este capítulo es que la regla de "sumar amplitudes de probabilidad y luego elevar al cuadrado" reproduce correctamente los hechos experimentales, y que es precisamente el estado donde "por cuál pasó" no está determinado lo que genera la interferencia.
🟡 Lina: Así es. Y al revés, la visión clásica del mundo que supone valores definidos para las magnitudes físicas antes de la medición no puede explicar este experimento. Si formulamos matemáticamente estas reglas con precisión, podremos predecir cuantitativamente el comportamiento de los átomos. En el siguiente capítulo veremos esto como las tres leyes fundamentales organizadas por Feynman.
✅ Verificación de comprensión: Para poder afirmar "el electrón pasó por la rendija 1", ¿qué condiciones son necesarias? ¿Y qué ocurre cuando esas condiciones se cumplen?
Respuesta
Para afirmar "el electrón pasó por la rendija 1" se necesita una medición que identifique el camino (por ejemplo: dispersar un fotón cerca de la rendija). Sin embargo, al realizar esa medición el patrón de interferencia desaparece y la distribución de probabilidad se convierte en \(P_{12} = P_1 + P_2\). "Saber por cuál pasó" y "ver el patrón de interferencia" son incompatibles.
3.6 Complemento: Experimentos reales e historia¶
🟡 Lina: Para terminar, añado una nota histórica sobre este experimento.
Cuando Feynman escribió este experimento de la doble rendija en su libro de texto en la década de 1960, el experimento de enviar electrones de uno en uno y observar el patrón de interferencia aún no se había realizado. Feynman escribió explícitamente que "este experimento nunca se ha realizado exactamente en esta forma".
Sin embargo, en 1989, Tonomura Akira y colaboradores de Hitachi, utilizando un biprisma de electrones, lograron fotografiar cómo se forma gradualmente el patrón de interferencia al enviar electrones de uno en uno. Los resultados coincidieron completamente con las predicciones del experimento mental de Feynman.
🔵 Kai: Un experimento mental verificado 30 años después.
🟡 Lina: El poder de los modelos en física reside precisamente aquí. Poder predecir los resultados de experimentos que aún no se han realizado. Y que esas predicciones se confirmen posteriormente con experimentos. Esta es la fortaleza de los modelos científicos que poseen "falsabilidad".
⚪ Mei: Es decir, precisamente porque las predicciones se confirmaron experimentalmente es que la mecánica cuántica es confiable — si hubieran fallado, habría sido necesaria una corrección.
🟡 Lina: Exactamente. Y el modelo de la mecánica cuántica, hasta ahora, no ha encontrado tal refutación. Por eso se confía en él como "la mejor hipótesis disponible en la actualidad".
Avance del siguiente capítulo¶
🟡 Lina: En este capítulo, a través del experimento de la doble rendija, descubrimos las reglas de "sumar amplitudes de probabilidad" y "para procesos indistinguibles sumar amplitudes, para procesos distinguibles sumar probabilidades".
Pero seguro que quedan preguntas:
- ¿Cómo se calcula concretamente la amplitud de probabilidad \(\phi\)?
- ¿Qué pasa cuando hay "3 o más caminos"?
- Cuando se pasa por "caminos intermedios", ¿cómo se combinan las amplitudes?
En el siguiente capítulo (Cap. 4), daremos una forma más general y precisa a las reglas de "sumar amplitudes" y "multiplicar amplitudes" que vislumbramos en este capítulo, y junto con una ley más las formularemos como las tres leyes fundamentales de la amplitud de probabilidad. Con estas tres leyes organizadas por Feynman, podremos calcular las probabilidades de cualquier fenómeno cuántico.
Problemas de práctica¶
📝 Ejercicios:
- Derivación de la condición de interferencia en la doble rendija → Problema M-4. Comprender la desaparición de la interferencia mediante la "descomposición condicional de probabilidades"
- Signo del término de interferencia y franjas claras/oscuras → Problema B-1. Cálculo del término de interferencia
- Longitud de onda del fotón y visibilidad del patrón de interferencia → Problema B-4. Condiciones de máximos y mínimos en el patrón de interferencia
Referencias¶
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Ch. 1 "Quantum Behavior", Ch. 3 "Probability Amplitudes" (Addison-Wesley, 1965)
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Ch. 1 (Cambridge University Press, 2021)
- 清水明『新版 量子論の基礎 — その本質のやさしい理解のために』（サイエンス社, 2004）, 第 2 章「基本的枠組み」
- 広江克彦『趣味で量子力学』第 3 章「二重スリットの実験」
- A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa, "Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern", American Journal of Physics 57, 117–120 (1989)
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